沈毅

[摘 要] 分析學(xué)生數(shù)學(xué)解題出錯(cuò)的原因，是有針對(duì)性教學(xué)的前提，學(xué)生為什么會(huì)錯(cuò)呢？不能簡單地認(rèn)為學(xué)生不聰明、馬虎，其背后有科學(xué)的成分，分析成因就是要找到癥結(jié)之所在.

[關(guān)鍵詞] 解題錯(cuò)因；概念；思維方法；解題能力

如何提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，很多時(shí)候我們教師在“教”和“考”上下功夫，但是當(dāng)學(xué)生出錯(cuò)后，卻往往是灌輸正確的解題方法，然后讓學(xué)生訂正，而這些錯(cuò)誤在下次考試或作業(yè)中又出現(xiàn)了，為什么會(huì)這樣？筆者認(rèn)為我們對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤，只看到“錯(cuò)”，卻沒有去分析學(xué)生為什么出錯(cuò)，即沒有找到病根，如果我們每次都能去尋找學(xué)生出錯(cuò)的原因，就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生出錯(cuò)的原因是很多的，不能簡單地認(rèn)為“我一樣教的，為什么有同學(xué)能做對(duì)，這部分做錯(cuò)的學(xué)生就是差.” 不可否認(rèn)，出錯(cuò)是“差”引起的，但是錯(cuò)誤與正確到底有多少距離，差距在哪里呢？筆者認(rèn)為這個(gè)錯(cuò)因有必要幫助學(xué)生寫出來，借此來影響學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

學(xué)生雙基不牢

1. 不重視概念定義的學(xué)習(xí)

有相當(dāng)一部分學(xué)生雙基不牢根本原因就是不夠重視概念本身的學(xué)習(xí)，由于不重視導(dǎo)致對(duì)概念的理解一知半解，不能很好地把握基本概念的本質(zhì)屬性，這樣一旦遇到要運(yùn)用概念的“定義”、“本質(zhì)”來解決問題時(shí)，低級(jí)錯(cuò)誤就馬上出現(xiàn)了.

例1：a=0是復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的________條件.

很多學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為是“充要條件”，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤？筆者認(rèn)為這是由于這部分學(xué)生沒有重視純虛數(shù)概念的定義導(dǎo)致的，純虛數(shù)a=0，b≠0，這類錯(cuò)誤“頑疾”，一點(diǎn)就通，但往往因?yàn)閷?duì)概念本身認(rèn)識(shí)不全面導(dǎo)致錯(cuò)誤反復(fù)出現(xiàn).

2. 抽象概括能力不強(qiáng)

我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的意蘊(yùn)是通過多種方式表征和抽象出來的，尤其是符號(hào)與圖像表征，需要我們學(xué)生有一定的概括、抽象能力，而且需要能夠?qū)追N表征方式互譯，如若不然，很容易遇到不認(rèn)識(shí)的符號(hào)，或理解錯(cuò)誤，導(dǎo)致解題失敗.

例2：設(shè)α，β是兩個(gè)不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，試判斷下面幾個(gè)命題的正誤.

命題1：若m⊥α，nα，則m⊥n；

命題2：若mα，nα，m∥β，則α∥β；

命題3：若α⊥β，α∩β=m，nα，n⊥m，則n⊥β；

命題4：m⊥α，α⊥β，m∥n，則n∥β.

從學(xué)生判斷的結(jié)果來看，五花八門，說明了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理的理解還不到位，抽象概括能力還有所欠缺.從本題的能力要求來看，學(xué)生要想正確解答，需要能夠從多角度認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)語言”，尤其是要重視數(shù)學(xué)符號(hào)語言與文字語言之間的互譯，如果不能將題目中給定的數(shù)學(xué)符號(hào)與學(xué)生大腦中的數(shù)學(xué)概念、定理的多重表征想聯(lián)系并完成轉(zhuǎn)化，則往往會(huì)出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤.

此外，我們的數(shù)學(xué)知識(shí)具有整體性和系統(tǒng)性，在高中階段學(xué)習(xí)的知識(shí)之間大多是相互聯(lián)系著的，從新教材的編排來看，也特別注重概念、規(guī)律、方法間的聯(lián)系，教材中的例題、習(xí)題就有這方面的滲透，對(duì)于學(xué)生而言如果沒有建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的意識(shí)，則往往在解決有一定綜合能力要求的數(shù)學(xué)問題時(shí)，出錯(cuò)就在所難免了.

解題思維受阻

除了知識(shí)缺失外，學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的思維障礙和受阻也是導(dǎo)致解題出錯(cuò)的重要原因，思維受阻勢(shì)必導(dǎo)致解題失敗. 解決數(shù)學(xué)問題需要學(xué)生有連貫的數(shù)學(xué)思維，有時(shí)甚至需要“頓悟”，什么是頓悟？就是學(xué)生在思考和解決問題時(shí)，本來較為迷茫，或按部就班，或原地打轉(zhuǎn)，突然有了一種靈感，而且這種靈感背后的思維指向正確的解決途徑，這種現(xiàn)象看似很神奇且具有偶然性，其實(shí)是學(xué)生知識(shí)、方法積累到一定程度后解題思維通暢的外在表現(xiàn)，而與之相反則是解題思維受阻.

例3：已知a≥2，求橢圓+=1離心率的取值范圍.

學(xué)生在解決“例3”時(shí)，往往會(huì)由于在解題過程中缺乏“頓悟”，導(dǎo)致解題中斷無法向前，這道題學(xué)生的思維容易堵在如下兩個(gè)位置：（1）當(dāng)學(xué)生得到e2=后，不知道該如何求值域了；（2）做到e2==-后沒有及時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，導(dǎo)致解題進(jìn)程受阻.

例4：動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足=2x+y+2，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并分析其軌跡是什么曲線？

這道題有相當(dāng)一部分學(xué)生出錯(cuò)，筆者在統(tǒng)計(jì)學(xué)生出錯(cuò)答案并與學(xué)生訪談后發(fā)現(xiàn)大多是這部分學(xué)生思維品質(zhì)不佳導(dǎo)致的，有部分學(xué)生不能看出表示的是（x，y）與（1，1）之間的距離，有部分學(xué)生則是沒有將x+y+2轉(zhuǎn)變?yōu)椤み@一形式導(dǎo)致思維受阻.

當(dāng)然，如果我們細(xì)致地分析導(dǎo)致學(xué)生解題過程中思維受阻的因素則是多方面的：（1）學(xué)生大腦在記憶方面，短時(shí)間記憶容量是有限的，而當(dāng)前的教學(xué)模式下，學(xué)生每天接收到信息要遠(yuǎn)大于這個(gè)容量上限，對(duì)于擅長學(xué)習(xí)的學(xué)生往往能夠通過合適的方式把大腦這一“容器”順一順，便于存儲(chǔ)更多的信息與知識(shí)，在解題過程中借助于讀題、審題的過程將題干信息與大腦中存貯的相關(guān)知識(shí)相匹配，銜接思維，促進(jìn)問題解決，而對(duì)于“不擅長”學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，則往往短時(shí)間記憶的內(nèi)容雜，缺乏條理性，導(dǎo)致在數(shù)學(xué)習(xí)題解答過程中難以找到與問題相對(duì)應(yīng)的知識(shí)、方法，思路受阻；（2）學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法時(shí)，不同的學(xué)生掌握程度各異，有些學(xué)生的學(xué)習(xí)存在較大的缺陷，對(duì)同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生而言，知識(shí)的廣度是差不多的，但是單個(gè)知識(shí)掌握的缺陷越大，那么知識(shí)體系的漏洞就越大，相對(duì)而言，學(xué)生積累的知識(shí)越完整、豐富，其在數(shù)學(xué)解題過程中思維會(huì)越順暢；（3）除了記憶力和知識(shí)掌握程度上的差異外，筆者認(rèn)為思維品質(zhì)的差異也是導(dǎo)致解題出現(xiàn)差異的原因之一，有些學(xué)生思維品質(zhì)低下，表現(xiàn)在思維不夠靈活性，不具有批判意識(shí)，容易思維定式等等，這些情況只要題目的情境稍微有所變化，則往往會(huì)因?yàn)檎也坏较惹敖M織者而導(dǎo)致解題思維受阻.

解題的習(xí)慣不佳

與知識(shí)、能力相比，筆者認(rèn)為解題的習(xí)慣也很重要，習(xí)慣差的學(xué)生思維也好不到哪里去，而且丟三落四，解題過程中錯(cuò)誤不少，學(xué)生的解題習(xí)慣不佳表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：

1. 缺乏解題后反思的意識(shí)

很多時(shí)候我們學(xué)生出錯(cuò)，只要回到思維的原點(diǎn)想一下就可以自我發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，并找到正確的解題方法，但是由于當(dāng)前學(xué)生解題習(xí)慣比較差，盲目地應(yīng)付作業(yè)，答題后根本不注重回頭望，缺乏反思的意識(shí)導(dǎo)致即使某一類數(shù)學(xué)問題當(dāng)時(shí)做得對(duì)，但是稍微變化一下就不會(huì)了，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況？解題后反思，是對(duì)題干信息的再審讀與思考，通過反思學(xué)生會(huì)主動(dòng)地搜索有沒有其他解決問題的方法，拓寬解決問題的思路，保證思維通暢.

2. 計(jì)算能力不強(qiáng)

與“想不到”，或思維受阻導(dǎo)致解題失敗相比，還有一種情況讓人感到遺憾，即由于學(xué)生計(jì)算能力不強(qiáng)，導(dǎo)致出現(xiàn)了“想得到卻做不對(duì)、做不全”的現(xiàn)象，計(jì)算能力偏弱是當(dāng)下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的通病，為什么？因?yàn)橄喈?dāng)一部分學(xué)生片面地認(rèn)為計(jì)算能力不重要，認(rèn)為計(jì)算僅僅是機(jī)械的勞動(dòng)，不具有創(chuàng)新性和技術(shù)含量，“對(duì)而不全”的遺憾之錯(cuò). 許多學(xué)生包括部分老師對(duì)計(jì)算都有一種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，認(rèn)為計(jì)算是機(jī)械的并沒有多大價(jià)值，在平時(shí)的訓(xùn)練中，有部分學(xué)生就理了理思路，然后就不繼續(xù)做下去了，缺失很多計(jì)算訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，其實(shí)計(jì)算是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)，而且計(jì)算并非是機(jī)械的勞動(dòng)，尤其是在作業(yè)和考試中，有些習(xí)題需要計(jì)算出關(guān)鍵量才能銜接思維.

3. 缺乏對(duì)解題具體過程的重視

平時(shí)，我們教師經(jīng)常能夠聽到學(xué)生問：“這道題的答案是什么？”尤其是考試時(shí)，似乎學(xué)生僅僅只關(guān)心答案，其實(shí)這種習(xí)慣是不對(duì)的，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生注重解題過程，強(qiáng)調(diào)過程意識(shí)才能得到正確的結(jié)果，解題習(xí)慣不佳導(dǎo)致解題錯(cuò)誤率居高不下的一個(gè)重要方面就是學(xué)生只對(duì)解題的結(jié)果特別關(guān)心，而不太注重對(duì)解題過程的理解.

例5：若函數(shù)f（x）=（k為常數(shù)）在定義域上為奇函數(shù)，求k的值.

筆者在作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)了這道題兩種錯(cuò)解.

錯(cuò)解1：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=0，即f（0）===0，得k=1.

錯(cuò)解2：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1），即=-，得k=±1.

這兩種錯(cuò)誤都是學(xué)生思維習(xí)慣不佳導(dǎo)致的，一味地追求結(jié)果，而忽視了對(duì)概念本身含義的理解，錯(cuò)解1從奇函數(shù)的特性f（0）=0出發(fā)，但是學(xué)生在應(yīng)用時(shí)卻忽視定義域中是否一定含有0，錯(cuò)解2最終的答案是正確的，但是過程是有問題的，和錯(cuò)解1一樣仍然沒有考慮選擇的特殊值是否在定義域之中，其實(shí)只要在解題過程中稍微反思即可避免這兩種錯(cuò)誤.

當(dāng)然，學(xué)生數(shù)學(xué)解題出錯(cuò)的原因遠(yuǎn)不止本文所述，筆者撰寫本文僅僅是為了提醒我們每一個(gè)數(shù)學(xué)教師要關(guān)注學(xué)生的解題過程，幫助學(xué)生找到出錯(cuò)的病因，讓我們的例題講解、作業(yè)布置、試卷講評(píng)更高效.