楊會(huì)志

[摘 要] 數(shù)學(xué)思維是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容. 而對(duì)于學(xué)生來說，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必定會(huì)遇到困難，因而就需要教師的有效點(diǎn)撥，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中觀察“憤悱”的出現(xiàn)，是教師進(jìn)行點(diǎn)撥的良機(jī)，此過程中要強(qiáng)調(diào)思維引導(dǎo)的有序性. 對(duì)學(xué)生思維能力是否形成，可從知識(shí)的應(yīng)用與思維的遷移兩個(gè)角度來判斷. 在核心素養(yǎng)視角下研究教師的有效點(diǎn)撥，是一個(gè)新的研究方向.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；有效點(diǎn)撥；引導(dǎo)思維；核心素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的思維越來越受到重視，如果說傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生思維的重視還體現(xiàn)在解題過程中的話，那么今天對(duì)數(shù)學(xué)思維的重視應(yīng)該在數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的過程上，也體現(xiàn)在學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題上. 應(yīng)當(dāng)說，在不同的過程中學(xué)生的思維還是有所不同的，這種不同不是思維形式的不同，而是思維在不同的情境作用之下發(fā)揮的機(jī)制不同. 這給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了新的挑戰(zhàn)，思維能力的培養(yǎng)是不可以一勞永逸的，可循的固定規(guī)律是少有的. 因此，試圖借助于某幾個(gè)場(chǎng)合或某幾次思維的訓(xùn)練，來讓學(xué)生在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程變得順利是不大可能實(shí)現(xiàn)的. 也因此，數(shù)學(xué)教師更應(yīng)當(dāng)建立“現(xiàn)象學(xué)”的認(rèn)識(shí)，在不同的情境中通過切切實(shí)實(shí)的努力，為學(xué)生的思維奠基. 考慮到“教”之于學(xué)生“學(xué)”的作用，考慮到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)思維點(diǎn)撥主導(dǎo)地位，本文試從“有效點(diǎn)撥”的角度談?wù)勅绾斡行б龑?dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

憤悱處啟發(fā)，體現(xiàn)點(diǎn)撥的有效性

點(diǎn)撥是啟發(fā)的代名詞，點(diǎn)撥學(xué)生實(shí)際上就是在學(xué)生的思維遇到困難的時(shí)候給學(xué)生以啟發(fā). 即使課程改革推進(jìn)至今，在高中數(shù)學(xué)課堂上也常?？吹揭环N情況，那就是教師往往有一種“迫不及待”的點(diǎn)撥學(xué)生的心理，這里固然有所謂的課堂容量的問題，其實(shí)也有教師內(nèi)心一種忽視學(xué)生學(xué)習(xí)心理的可能. 古人云“不憤不啟，不悱不發(fā)”，強(qiáng)調(diào)的恰恰是點(diǎn)撥時(shí)機(jī)的把握，數(shù)學(xué)教師不可忽視這一基本技能. 例如2013高考江蘇卷第18題，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4. 設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

此題是一道綜合性較強(qiáng)的試題，考查了點(diǎn)到直線的距離公式以及圓與圓的位置關(guān)系的判定. 試題解析如下：第一步，設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到方程為x2+（y+1）2=4. 即得點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D.第二步，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切. 第三步，根據(jù)兩圓的半徑長(zhǎng)，得出兩圓心間距離的范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式. 第四步，求出不等式的解集，即可得到a的范圍.

在這四個(gè)步驟中，學(xué)生理解哪一步是最困難的？根據(jù)一般的經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)當(dāng)是第一、二兩步. 這兩步難（亦即學(xué)生思維的困難）在哪里呢？在實(shí)際教學(xué)中，如果學(xué)生第一次解此類問題，學(xué)生的思維難點(diǎn)在于不知道根據(jù)題目所提供的MA=2MO這一信息來建立方程，從而不知道轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問題. 這個(gè)時(shí)候，教師不要急于告訴學(xué)生應(yīng)當(dāng)怎么做，而是應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生先自主思考，再小組合作討論. 教師在學(xué)生自主思考與討論的過程中，要關(guān)注學(xué)生的思維. 筆者在觀察學(xué)生在草稿紙上涂改的痕跡時(shí)，在傾聽學(xué)生在小組中的討論時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維大體具有這樣的共同點(diǎn)：一是“圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO”意味著什么？MA=2MO這個(gè)條件很多學(xué)生看不懂，不認(rèn)識(shí)這就容易出現(xiàn)“憤悱”的情形；二是理解了MA=2MO建立出等量關(guān)系，而不知與圓C上存在點(diǎn)M有什么聯(lián)系，“存在”是何意？在這也是“憤悱”的情形.

新課改中教師的作用不是淡化了，而是更加重要了. 教師是教學(xué)過程的主導(dǎo)者，必須正視自身的存在，而且必須合理把握自身的角色. 在教學(xué)中抓住這個(gè)機(jī)會(huì)去點(diǎn)撥學(xué)生，如同觸碰到學(xué)生的癢癢處，就會(huì)起到激活學(xué)生思維的作用.

實(shí)踐中引導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)過程的有序性

引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并不是簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生怎樣做，因?yàn)槟菢訉?shí)際上剝奪了學(xué)生的思維的機(jī)會(huì). 思維貴在引導(dǎo)，而引導(dǎo)又貴在過程的有序性！所謂數(shù)學(xué)思維的有序性，是指學(xué)生的思維表現(xiàn)出的邏輯特征. 如果學(xué)生在思維的過程中邏輯不清晰，那就認(rèn)為邏輯是無序的，也就說明教師的“點(diǎn)撥”需要進(jìn)一步優(yōu)化.

如在上面學(xué)生的兩處“憤悱”之時(shí)，筆者通過蘇教版數(shù)學(xué)必修2第112頁習(xí)題2.2第12題進(jìn)行引導(dǎo)，第一步，解決如下例題：已知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線. 解析如下：設(shè)M（x，y）是曲線上的任意點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式列出距離的比關(guān)系式，整理后得到方程為（x+1）2+y2=4.即得動(dòng)點(diǎn)軌跡為以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓，做出圖形即可.這類關(guān)于某動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的問題是課本上的典型習(xí)題，我們常用直接法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡（阿波羅尼斯圓問題），此題是上述高考題的原型，以此題鋪墊引導(dǎo)，會(huì)大大減輕學(xué)生的思維困難. 第二步，基于上述分析構(gòu)建一個(gè)“動(dòng)畫”，幾何畫板演示M的軌跡. 第三步，給學(xué)生進(jìn)一步點(diǎn)撥——?jiǎng)狱c(diǎn)分別在兩個(gè)圓上運(yùn)動(dòng). 于是，關(guān)于a的不等式就呼之欲出了.

在筆者看來，這樣的三步點(diǎn)撥最大的價(jià)值不僅在于給了學(xué)生一個(gè)思路，更在于給了學(xué)生一個(gè)清晰的思維步驟，讓學(xué)生知道每一步之間是如何銜接的，是如何一步步完成問題的解決的. 這就是思維過程的有序性. 思維引導(dǎo)的有序性在實(shí)際教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)感覺來判斷，如果學(xué)生理解問題、解決步驟比較順利，那么學(xué)生聽起來必然不吃力——此時(shí)學(xué)生的表情應(yīng)當(dāng)與點(diǎn)撥之前的“憤悱”有明顯的區(qū)別：憤悱之時(shí)如同打仗突圍時(shí)左沖右突但卻無法有效突破一般，而在有序的思維引導(dǎo)之下則如同突圍之時(shí)撕開了一道口子順利突圍一般.

但是有一點(diǎn)需要注意，那就是數(shù)學(xué)思維引導(dǎo)的有序性，固然要強(qiáng)調(diào)學(xué)生“聽得舒服”，但是要防止只是“聽得舒服”. 因?yàn)槎嗄甑慕虒W(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，聽得懂未必是真的懂，能夠有效輸出（傳統(tǒng)教學(xué)思路中強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生說出來、做出來，課程改革強(qiáng)調(diào)的課堂展示都是這個(gè)思想）才是衡量有沒有真的聽懂的關(guān)鍵. 但是有一點(diǎn)可以肯定的是，在此前有了憤悱的心境，再加上隨后的有序引導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維一定是有所發(fā)展的.

能力之形成，注重知識(shí)的應(yīng)用性

在數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)行有效的點(diǎn)撥，目的是瞄準(zhǔn)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，這個(gè)起點(diǎn)與終點(diǎn)之間的關(guān)系是明確的. 但這個(gè)目標(biāo)的達(dá)成或者說終點(diǎn)的達(dá)成與否，是需要教師在教學(xué)中認(rèn)真判斷的. 如何判斷學(xué)生的能力是否達(dá)成？應(yīng)用是一個(gè)重要思路（這與上面強(qiáng)調(diào)的知識(shí)的輸出原理是一樣的）.

應(yīng)用有兩層含義：一是解決數(shù)學(xué)習(xí)題；二是解決數(shù)學(xué)問題. 前者高中數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)有了大量研究，此文不贅述. 談到數(shù)學(xué)問題，其與數(shù)學(xué)習(xí)題的區(qū)別在于其往往具有生活因素，因而在建立數(shù)學(xué)模型以解決這些問題的時(shí)候，需要進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)抽象，而數(shù)學(xué)抽象就是一個(gè)數(shù)學(xué)思維含量很高的過程，這個(gè)過程中學(xué)生也常常會(huì)遇到難以解決的問題，需要教師適時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥，因此學(xué)生的思維培養(yǎng)的過程便蘊(yùn)含其中. 再例如：

1. 已知圓O：x2+y2=9，點(diǎn)B（-5，0），在直線OB上，是否存在定點(diǎn)A（不同于點(diǎn)B），滿足對(duì)于圓O上任意一點(diǎn)P，都有，試求所有滿足條件的點(diǎn)A的坐標(biāo).

2. 已知圓O：x2+y2=9，點(diǎn)B（-5，0），在直線OB上，是否存在定點(diǎn)A（不同于點(diǎn)B），滿足對(duì)于圓O上任意一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)？若存在，求所有滿足條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求；若不存在，說明理由.

這兩題實(shí)際上是原問題的變式，學(xué)生的解題思路可以由原問題的解決過程得到一種隱性的指導(dǎo)，同時(shí)變式的提供本身又是一次新的應(yīng)用機(jī)會(huì).

這種應(yīng)用過程的最大價(jià)值在于發(fā)揮原有例題的隱性點(diǎn)撥作用（當(dāng)然對(duì)于部分學(xué)生而言，還需要教師再次進(jìn)行顯性的點(diǎn)撥，這也是教學(xué)中的常規(guī)情形，只是需要教師考慮是不是需要一種新的點(diǎn)撥思路，在此不贅述），在于讓學(xué)生在新的情境中進(jìn)一步讓思維變得清晰與熟練，這也是衡量能力形成的另一個(gè)標(biāo)志，尤其是面對(duì)高考的需要，這種能力形成是必需的.

素養(yǎng)之培育，關(guān)注思維的遷移性

核心素養(yǎng)是當(dāng)下的一個(gè)熱門話題，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度來看，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的點(diǎn)撥及其作用之下學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，筆者以為需要建立一個(gè)新的維度來關(guān)注學(xué)生的思維，這個(gè)維度就是思維的遷移性.

所謂思維的遷移性，就是數(shù)學(xué)思維在非純粹數(shù)學(xué)情境中的運(yùn)用. 當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)中，這種遷移性的評(píng)價(jià)是不明顯的，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要目的，就是讓學(xué)生以數(shù)學(xué)思維去觀察、判斷身邊的事物，這些事物的數(shù)學(xué)特征有時(shí)并不那么明顯，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的思維是否能夠有效地幫他們對(duì)這些事物形成客觀、有效的判斷，值得數(shù)學(xué)教師去研究. 而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)在“與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)聯(lián)的特定情境中的運(yùn)用”，就是對(duì)思維遷移性最好的引導(dǎo)性思路. 在思維的遷移性研究中，教師的點(diǎn)撥肯定要發(fā)揮一定的作用，這個(gè)作用在何時(shí)發(fā)揮，應(yīng)當(dāng)發(fā)揮到什么程度，筆者以為這是一個(gè)新的研究方向，需要一線教師做出不懈的努力.