李 賓

（吉林大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中心，吉林 長春 130021)

一、前言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程是高等院校理工科專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，也是許多專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考內(nèi)容，其概念繁多、理論抽象、方法獨(dú)特，與各專業(yè)的其他課程聯(lián)系緊密。學(xué)習(xí)這門課不但為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，拓展了視野，也對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力和運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的能力有著極其重要的意義。然而，傳統(tǒng)的教學(xué)模式和方法往往是“就理論講理論、就概念講概念”，枯燥乏味，不能很好地解決學(xué)生對抽象的概念和理論理解的難題，使得學(xué)生往往因在學(xué)習(xí)中遇到理解困難而產(chǎn)生抵觸情緒，學(xué)習(xí)興趣不濃。因此迫切需要對傳統(tǒng)的教學(xué)模式進(jìn)行改進(jìn)，將Mathematica數(shù)學(xué)軟件引入到傳統(tǒng)教學(xué)中就是一種新的嘗試和創(chuàng)新。

Mathematica是1988年由美國Walt Research公司開發(fā)的一款綜合數(shù)學(xué)軟件包，其操作簡單，易學(xué)好用。通過編制簡單的程序可以解決大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，它不但擁有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和符號運(yùn)算能力，還擁有很強(qiáng)的繪圖功能，可以繪制數(shù)學(xué)上的各種二維和三維圖形。將Mathematica軟件應(yīng)用到教學(xué)中，用先進(jìn)的現(xiàn)代化技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，可以有效地彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)中的不足，提高教學(xué)效果。這樣不但能加深學(xué)生對抽象概念和理論的理解，還能增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也為學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)工作中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識自行解決實(shí)際問題打下基礎(chǔ)。

二、利用Mathematica軟件顯示常用分布的圖形

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中有很多需要通過圖形表示的量，如離散型隨機(jī)變量的分布律、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度以及隨機(jī)變量的分布函數(shù)等等。準(zhǔn)確地繪制這些函數(shù)的圖形對于學(xué)生深刻理解隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性有著重要的意義。利用Mathematica軟件的繪圖功能，可以非常容易地準(zhǔn)確地畫出函數(shù)圖形，給學(xué)生直觀清晰的印象。

圖1是二項(xiàng)分布B（20，0.3）的概率分布圖。圖2是σ=1，μ取不同值時(shí)的正態(tài)分布概率密度圖形；圖3是μ=0，σ取不同值時(shí)正態(tài)分布概率密度圖形，通過圖形能非常直觀地看出μ是‘位置’參數(shù)，而σ是‘形狀’參數(shù)。

對于二維正態(tài)分布，其概率密度的表達(dá)式較為復(fù)雜，很難想象其圖形，用Mathematica軟件可以很容易地繪制出它的三維立體圖，如圖4所示。利用該軟件的可視化，還可以從不同角度觀看立體圖形。再比如對于統(tǒng)計(jì)中的三大分布，可以把不同自由度對應(yīng)的概率密度曲線圖畫在同一坐標(biāo)系中，這對學(xué)生了解三大分布的特征、學(xué)習(xí)三大分布的上α分位點(diǎn)等都有很大幫助。圖5所示的是自由度分別為2、6、9、12、16和22的x2分布的概率密度曲線圖，從中很容易看出x2分布概率密度曲線的重心隨著自由度的增加逐漸向右下方移動這一特點(diǎn)。

圖1 的概率分布圖

圖2 σ=1,μ不同的正態(tài)分布圖

圖3 μ=0，σ不同的正態(tài)分布圖

圖4 二維正態(tài)分布概率密度圖

圖5 不同自由度的分布的概率密度圖

三、利用Mathematica軟件簡化繁瑣的推導(dǎo)

在概率統(tǒng)計(jì)中，有些定理和結(jié)論的推導(dǎo)證明往往需要運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識，且需要一定的技巧，課堂推導(dǎo)證明耗時(shí)長，一些學(xué)生因高等數(shù)學(xué)知識的欠缺陷入對某一步的思考，無法跟上老師推導(dǎo)的進(jìn)度，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳。例如在推導(dǎo)二維正態(tài)分布的協(xié)方差時(shí)，其方法就是用變量替換法計(jì)算二重積分，但推導(dǎo)過程繁瑣、技巧性強(qiáng)、篇幅也較長。所以在講授時(shí)只簡單介紹推導(dǎo)的思路，而推導(dǎo)過程用Mathematica軟件編程運(yùn)算結(jié)果代替，只需輸入Mathematica軟件的命令：

就得到二維正態(tài)分布的協(xié)方差結(jié)果：。

這樣做充分利用了Mathematica軟件的符號運(yùn)算能力，用軟件運(yùn)算代替了繁瑣的不必要的手算推導(dǎo)，既得到了協(xié)方差的結(jié)果，又避開了難點(diǎn)，也節(jié)省了課上時(shí)間，給學(xué)生留下了深刻的印象，也激發(fā)了他們的好奇心與學(xué)習(xí)興趣。

四、利用Mathematica軟件演示隨機(jī)變量的相關(guān)性

相關(guān)系數(shù)是概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要的數(shù)字特征，它表示兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)的程度。當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)等于零時(shí)，稱這兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)。在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生大多并不理解，只能機(jī)械地背記相關(guān)系數(shù)的公式和性質(zhì)。為了使學(xué)生能直觀的理解這部分內(nèi)容，通過下面的例子，再利用Mathematica軟件繪制的散點(diǎn)圖，非常直觀地演示了兩個(gè)隨機(jī)變量正線性相關(guān)、不線性相關(guān)以及負(fù)線性相關(guān)的各種狀態(tài)，對學(xué)生理解相關(guān)教學(xué)內(nèi)容很有幫助。

設(shè)隨機(jī)變量 T 服從[0，2π]上的均勻分布，X=sinT，Y=sin(T+a），（a為常數(shù))，討論隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)和（線性）相關(guān)的情況。

由協(xié)方差公式計(jì)算可得X和Y的相關(guān)系數(shù)為ρXY=cos（a），然后利用 Mathematica軟件產(chǎn)生服從[0，2π]上均勻分布的 100 個(gè)隨機(jī)數(shù)，對 a=0，π/6，π/4，π/3，π/2，π 分別用Mathematica軟件繪出X和Y的散點(diǎn)圖。當(dāng)a=0時(shí)，ρXY=1，X與Y（線性）正相關(guān)，這時(shí)X和Y的散點(diǎn)圖呈一條直線，X與Y幾乎就是線性關(guān)系，如圖6所示；隨著a的逐漸增大,相關(guān)系數(shù)ρXY的值逐漸變小，X與Y的線性關(guān)系逐漸變?nèi)?，其散點(diǎn)圖也由扁橢圓逐漸變大，如圖7、圖8和圖9所示；當(dāng)a=π/2時(shí)，ρXY=0，X與Y沒有線性關(guān)系(不相關(guān))，這時(shí)X和Y的散點(diǎn)圖形成一大橢圓，如圖10所示；當(dāng)a從π/2逐漸增大到π，X與Y的線性關(guān)系逐漸變強(qiáng)；當(dāng)a=π時(shí)，ρXY=-1，X與Y又幾乎是線性關(guān)系，這時(shí)X和Y的散點(diǎn)圖又形成一條直線，如圖11所示。

五、利用Mathematica軟件驗(yàn)證辛欽大數(shù)定律

圖6 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖7 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖8 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖9 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖10 時(shí)的散點(diǎn)圖

圖11 時(shí)的散點(diǎn)圖

大數(shù)定理是概率統(tǒng)計(jì)中的非常重要的定理，它揭示了n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均當(dāng)n→∞依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望。大數(shù)定理非常抽象，很難理解。為了幫助學(xué)生更好地理解大數(shù)定理的含義，利用Mathematica軟件給出了大數(shù)定理的直觀演示。例如在講授辛欽大數(shù)定理時(shí)，就利用Mathematica軟件中的Random命令，產(chǎn)生n個(gè)相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布 N（2，32）的隨機(jī)變量 X1，X2，…，Xn，考察當(dāng)隨機(jī)變量個(gè)數(shù)n逐漸增多時(shí)，它們的算術(shù)平均值的變化情況。下面分別給出了當(dāng)n=50、1000、3000三種情況下，n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值的分布情況。從圖12可以明顯看出，當(dāng)n=50時(shí)，50個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均與μ=2有較大的距離。但隨著n越來越大了，n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均越來越密集在μ=2這條直線附近，如圖13和圖14所示。通過這種方式把抽象定理的結(jié)果通過圖形直觀的演示了出來，使學(xué)生耳目一新印象深刻，達(dá)到了很好的教學(xué)效果。

對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課的教學(xué)進(jìn)行改革和創(chuàng)新，運(yùn)用Mathematica軟件輔助課堂教學(xué)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)的許多不足，不但能方便準(zhǔn)確地畫出各種二維和三維圖形，避免一些繁瑣的技巧性較強(qiáng)的推導(dǎo)，還能對抽象的定理和結(jié)論給出直觀清晰的解釋和說明，同時(shí)也節(jié)約了課堂教學(xué)的寶貴時(shí)間，活躍了課堂氣氛，突破了學(xué)生因高等數(shù)學(xué)知識的欠缺而產(chǎn)生的畏難心理障礙，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主學(xué)習(xí)解決問題的積極性，給教學(xué)注入了活力，有效地提高了教學(xué)效果。相信隨著不斷將新技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)方法的有機(jī)地結(jié)合，必將大大地提高《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)效果。

圖12 n=50時(shí)的散點(diǎn)圖

圖13 n=1000時(shí)的散點(diǎn)圖

圖14 n=3000時(shí)的散點(diǎn)圖

參考文獻(xiàn)：

[1]馬淑蘭.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的嘗試和思考[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013,28(10).

[2]林志寶,陳玲菊.數(shù)學(xué)軟件Mathematica及其概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用[J],閩江學(xué)院學(xué)報(bào),2003,24(5).

[3]董小燕.用數(shù)學(xué)軟件直觀演示概率論經(jīng)典定理[J].北京石油化工學(xué)院學(xué)報(bào),2004,12(1).

[4]劉雄偉,李建平,胡小榮.利用Mathematica軟件改善高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果的實(shí)踐[J].中國教育技術(shù)裝備,2007,（04）.