王冬晴

1 教材分析

本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教版必修一第三章第一節(jié)——第一課時(shí)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈接點(diǎn)，它從不同的角度，將數(shù)與形，函數(shù)與方程聯(lián)系在一起，本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)為零點(diǎn)的概念，函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系；教學(xué)難點(diǎn)為對(duì)零點(diǎn)存在性定理的理解與應(yīng)用.學(xué)習(xí)本節(jié)課為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是：1）從HPM的視角引入新課，引導(dǎo)學(xué)生在函數(shù)與方程之間建立聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力；2）從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生自己得出函數(shù)零點(diǎn)概念、方程的根和函數(shù)圖像之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力和直觀想象能力；3）學(xué)生歸納出零點(diǎn)存在性定理后，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理解決問題，使學(xué)生學(xué)以致用、鞏固新知，為下節(jié)“二分法”這一數(shù)學(xué)運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。

2.1 問題導(dǎo)入

問題1 求下列方程的根

（1） ；（2） ；（3） .

分析 學(xué)生很容易求出第1個(gè)小題，但后面兩個(gè)小題不會(huì).老師通過引用1824年挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾成功的證明了五次及以上的方程沒有根式解這一數(shù)學(xué)史，將此過程巧妙過渡到本節(jié)課課題.并說明，現(xiàn)如今高次方程求解方法有很多，今天我們探討其中一個(gè)方法，從函數(shù)圖像角度來研究方程的根。

設(shè)計(jì)意圖 從HPM的視角來設(shè)計(jì)教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)，在教學(xué)過程中潛移默化的豐富學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)，引出本節(jié)課研究?jī)?nèi)容。

2.2 建構(gòu)概念

問題2 寫出函數(shù) 的圖像與 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析 該函數(shù)圖像不要求學(xué)生畫出，應(yīng)用學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)想象出函數(shù)圖像的具體形式，學(xué)生說出函數(shù)圖像與 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)縱坐標(biāo)為0時(shí)，橫坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù)，將這一實(shí)數(shù)賦予一個(gè)新名字，即函數(shù)的零點(diǎn)，由此引出零點(diǎn)的概念.接下來，通過引導(dǎo)學(xué)生判斷諸如函數(shù) ； 等是否存在零點(diǎn)，來鞏固零點(diǎn)的概念。

設(shè)計(jì)意圖 通過數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究方程的根與函數(shù)圖像間的關(guān)系，從數(shù)與形的角度來說，方程的根在對(duì)應(yīng)的函數(shù)中所具有的多重意義.在這一環(huán)節(jié)中，不要求學(xué)生畫出該函數(shù)圖像，以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

問題3 一般方程的根和其對(duì)應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)之間有怎樣的關(guān)系？

分析 在這一環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，歸納方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)圖像間關(guān)系，由此得出等價(jià)關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)的零點(diǎn)是新概念，這一問題的提出，避免學(xué)生與方程的根以及幾何概念中的點(diǎn)混淆.雖然它們有各自不同的特性，但反映的卻是共同的本質(zhì)。明晰三者之間相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，在這一環(huán)節(jié)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

2.3 探究定理

問題4 滿足什么條件，函數(shù)存在零點(diǎn)呢？

先解決這樣一個(gè)問題，已知函數(shù) 在區(qū)間[-2，1]、[2，4]內(nèi)有零點(diǎn)，計(jì)算 、 ，觀察乘積有什么特點(diǎn)。

分析 引導(dǎo)學(xué)生畫出并觀察函數(shù)圖像，計(jì)算問題4中的乘積，并予以說明，分析乘積特點(diǎn)得出函數(shù) 在區(qū)間（-2，1）、（2，4）內(nèi)有零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖 通過老師的引導(dǎo)以及學(xué)生的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，抽象推理能力，由此概括地歸納出函數(shù)存在零點(diǎn)的條件，得出零點(diǎn)存在性定理。

2.4 剖析定理

定理是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，需要注意的是該定理是充分不必要的，為了讓學(xué)生在課堂上準(zhǔn)確理解定理內(nèi)容，進(jìn)行下面的剖析：定理中有兩個(gè)條件，若只給出其中一個(gè)，能否得出在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；若將定理反過來描述，得到的結(jié)論是否成立。

設(shè)計(jì)意圖 三個(gè)問題有助于學(xué)生理解零點(diǎn)存在性定理的本質(zhì)，明確定理中充分不必要的條件，有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，直觀想象能力和數(shù)學(xué)抽象能力。

2.5 應(yīng)用定理

（1）判斷方程 根的個(gè)數(shù)。

（2）若該方程的一個(gè)跟在區(qū)間 內(nèi)，求出正整數(shù) 。

設(shè)計(jì)意圖 此例題解決了問題導(dǎo)入中遺留的問題，這一例題的解決進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生體會(huì)函數(shù)思想與方程思想的轉(zhuǎn)化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時(shí)為下節(jié)課“二分法”做了鋪墊。

2.6 總結(jié)與作業(yè)

（1）課堂總結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生自己回顧與總結(jié)，在知識(shí)內(nèi)容與思想方法兩個(gè)方面的收獲，讓不同的學(xué)生表達(dá)不同的看法，教師根據(jù)學(xué)生的回答及時(shí)的總結(jié)與提升。

（2）課后作業(yè)：判斷方程 有幾個(gè)根？每個(gè)根所在的區(qū)間 內(nèi)，求 的值。

設(shè)計(jì)意圖：完整的總結(jié)可以豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，完善學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng).作業(yè)題讓學(xué)生應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理解決方程根的問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的邏輯推理能力。

3 教學(xué)反思

本節(jié)課的設(shè)計(jì)有三個(gè)指導(dǎo)思想，分別是：方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想；作為下一節(jié)課的起始課；處理好數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的關(guān)系.正如史寧中教授所指出的“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”。只有抽象的東西獲得具體事例的支持，實(shí)現(xiàn)從思維的抽象發(fā)展到思維的具體，在思維中再現(xiàn)整體性和具體性，才能深入認(rèn)識(shí)新概念新思想。

（作者單位：洛陽師范學(xué)院）