李一帆

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它在自然科學(xué)、工程技術(shù)等方面都有廣泛應(yīng)用。本文將介紹如何將生活中的有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，以此說(shuō)明導(dǎo)數(shù)對(duì)實(shí)際生活生產(chǎn)的重要性。

1 導(dǎo)數(shù)有關(guān)的基本內(nèi)容

1.1導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 在 處取得增量 時(shí)，相應(yīng)的 取得增量 ；當(dāng) 時(shí)，極限 存在，則稱 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，并稱此極限值為 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記為 ， ， 。

1.2 常見的導(dǎo)數(shù)的定義形式

1.3導(dǎo)函數(shù)的定義

如果函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)。對(duì)任意 都對(duì)應(yīng)著 的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做 的導(dǎo)函數(shù)，記作： ， ， 或 ，導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。

即

2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活生產(chǎn)中的重要應(yīng)用

在日常生活、生產(chǎn)中，常常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，即求在什么條件下，可以使材料最省、時(shí)間最少、效率最高、利潤(rùn)最大等，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)在謝的情況下，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?。

2.1導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)領(lǐng)域的重要應(yīng)用

例1 在圖1所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為 ，電動(dòng)勢(shì)為 ，外電阻 為多大時(shí)，才能使電功率最大？最大電功率是多少？

解 電功率 ，其中 為電流強(qiáng)度，則

由 ，解得： 。

分析得，當(dāng) 時(shí)， 取得極大值，且是最大值.最大值為

即：當(dāng)電阻R等于內(nèi)電阻 時(shí)，電功率最大，最大電功率是 。

2.2導(dǎo)數(shù)在幾何領(lǐng)域的重要應(yīng)用

例2 在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖2），做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？

解 法一：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為 cm，則箱高 cm，可得箱子容積為

令 ，解得 （舍去）， 。

將 代入 得 得箱子的容積為16000cm3。

由題意可知，當(dāng) 過(guò)小（接近0）或過(guò)大（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因此，16000是最大值.。

即當(dāng) cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16000 cm3。

法二：此題也可設(shè)箱高為 cm，則箱底長(zhǎng)為 cm，如圖3，

則可得箱子容積為

令 ，解得 （舍去）， 。

將 代入 得 得箱子的容積為16000 cm3。

由題目的兩種方法看出，箱子的容積的最大值出現(xiàn)在函數(shù)的極值點(diǎn)處。事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù) ， 在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，如果畫出函數(shù)圖象，即圖像只有一個(gè)波峰，這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，此時(shí)不需要考慮端點(diǎn)的函數(shù)值。

2.3 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的重要應(yīng)用

在實(shí)際生產(chǎn)中，如何擴(kuò)大經(jīng)濟(jì)效益，提高生產(chǎn)利潤(rùn)是生產(chǎn)者思考的問(wèn)題。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總利潤(rùn)是指銷售 個(gè)單位的產(chǎn)品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記 為總利潤(rùn)，則：

（其中 表示銷售量）

將 稱為平均利潤(rùn)函數(shù)。

例3 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知總收益 為年產(chǎn)量 的函數(shù)，且

問(wèn)每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最大？此時(shí)總利潤(rùn)是多少？

解 由題意總成本函數(shù)為：

從而可得利潤(rùn)函數(shù)為：

令

所以 時(shí)總利潤(rùn)最大，此時(shí) ，即當(dāng)年產(chǎn)量為300個(gè)單位時(shí)，總利潤(rùn)最大，此時(shí)總利潤(rùn)為25000元。

3 結(jié)語(yǔ)

在本文中，介紹了與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的基本內(nèi)容，并將實(shí)際生活生產(chǎn)中的物理問(wèn)題、幾何問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題以及建筑問(wèn)題等有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解，以此說(shuō)明了導(dǎo)數(shù)對(duì)實(shí)際生活生產(chǎn)的重要性。

（作者單位：河南工業(yè)和信息化職業(yè)學(xué)院）