何尚文 賈文禎 何冰冰 梅永鋼 張莎莎

摘 要：針對(duì)工程中廣泛存在的二維干摩擦問題，通過引入斜彈簧建立一種可考慮x，y兩個(gè)方向耦合的振子模型。定義摩擦力方位角來描述動(dòng)、靜摩擦力矢量分量，并考慮振子振動(dòng)過程中可能出現(xiàn)黏滯，提出了一種分析二維耦合干摩擦振子黏滑運(yùn)動(dòng)的方法，給出了二維耦合干摩擦振子黏滑運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜邊界條件。基于指數(shù)型動(dòng)態(tài)摩擦模型對(duì)二維耦合干摩擦振子的黏滑運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，給出了x方向和y方向相同激振頻率相同相位角、相同激振頻率不同相位角、不同激振頻率不同相位角3種工況下的仿真結(jié)果及系統(tǒng)解隨激振頻率和相位角的變化規(guī)律。仿真結(jié)果表明，二維耦合摩擦振子運(yùn)動(dòng)中可能出現(xiàn)黏滑狀態(tài)轉(zhuǎn)換;當(dāng) x方向和y方向的激勵(lì)頻率和相位角均不相等時(shí)，與前兩種工況相比，質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)軌跡、系統(tǒng)相圖均為更加復(fù)雜的平面曲線，同時(shí)一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)可出現(xiàn)多次黏滑轉(zhuǎn)換;兩個(gè)方向激振頻率相同時(shí)，改變激振頻率和激勵(lì)相位角，系統(tǒng)的解均沒有出現(xiàn)次諧波，振子為周期運(yùn)動(dòng)。所提出的方法可為進(jìn)一步研究二維耦合干摩擦振子的動(dòng)力學(xué)特性及運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性提供參考。

關(guān)鍵詞：機(jī)械動(dòng)力學(xué)與振動(dòng);黏滑運(yùn)動(dòng);二維干摩擦;摩擦力方位角;耦合;振動(dòng)特性

中圖分類號(hào)：O322?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-1542（2018）06-0494-08

干摩擦結(jié)構(gòu)在機(jī)械系統(tǒng)中廣泛存在[1]，在工程中會(huì)經(jīng)常遇到二維摩擦問題，如渦輪葉片干摩擦阻尼器設(shè)計(jì)等。在二維摩擦問題中，摩擦力的大小和方向事先是未知的，且具有強(qiáng)時(shí)變性。因此，準(zhǔn)確求解摩擦力的大小和方向是解決二維干摩擦問題的關(guān)鍵。

宋保江等[2]從宏觀尺度和微觀尺度兩個(gè)方面介紹了界面黏滑摩擦的研究進(jìn)展。從一維局部滑動(dòng)模型和軌跡跟蹤法出發(fā)，采用帶滑動(dòng)觸點(diǎn)的并聯(lián)彈簧來模擬二維平面運(yùn)動(dòng)時(shí)葉片-阻尼器間的干摩擦接觸，何冰冰等[3]、何尚文等[4]提出了求解干摩擦阻尼器耦合振動(dòng)的二維局部摩擦模型并做了仿真分析。TARIKU等[5]用sgn模型來模擬彈簧阻尼干摩擦結(jié)構(gòu)的二維黏滑運(yùn)動(dòng)。黏滯時(shí)，質(zhì)量塊靜止;滑動(dòng)時(shí)，摩擦力隨著滑動(dòng)速度的方向改變符號(hào)。解析法用來求解滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程。XIA[6]提出了沒有剛度和阻尼耦合的二維干摩擦振子黏滑運(yùn)動(dòng)的分析方法。HE等[7]研究了考慮相鄰葉片之間的摩擦與碰撞的二維運(yùn)動(dòng)摩擦模型。將含干摩擦的非線性振動(dòng)系統(tǒng)看作分段線性系統(tǒng)，張有強(qiáng)等[8]提出求解各黏滑狀態(tài)階段的解析方法。沈鋼等[9]通過研究一維、二維摩擦副動(dòng)力學(xué)性能提高了車輛動(dòng)力學(xué)模型中非線性元件數(shù)學(xué)模型的模擬精度。

諧波平衡法經(jīng)常用來近似解析求解二維干摩擦振子在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)?；谡w-局部統(tǒng)一滑動(dòng)模型，何尚文等[10]用一次諧波平衡法對(duì)葉片緣板阻尼器的減振特性進(jìn)行了分析。SANLITURK等[11]提出了平面運(yùn)動(dòng)的二維局部滑動(dòng)模型，并且使用基于軌跡跟蹤法的一階諧波平衡法來求解該系統(tǒng)的非線性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。由于一次諧波平衡法不能獲得諧波共振現(xiàn)象，CHEN等[12]提出了用以求解帶干摩擦結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的多階諧波平衡法。PETROV等[13]和SANTHOSH等[14]采用多階諧波平衡法（MHBM）獲得了渦輪葉片系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期解。

POPP等[15]研究了兩種離散和兩種連續(xù)的黏滑振動(dòng)模型，它們表現(xiàn)出各種動(dòng)態(tài)行為，包括混沌現(xiàn)象。文獻(xiàn)[16—17]研究了帶干摩擦系統(tǒng)響應(yīng)的分岔和混沌現(xiàn)象，這些研究均基于一維摩擦模型，運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線。

本文研究了二維耦合干摩擦振子的黏滑運(yùn)動(dòng)，給出了二維干摩擦振子黏滑運(yùn)動(dòng)的邊界條件?；谥笖?shù)型動(dòng)態(tài)摩擦模型，提出了一種能夠求解非光滑摩擦和處理二維耦合的數(shù)值算法，可以用于計(jì)算任意激勵(lì)下干摩擦振子的響應(yīng)。引入了用來確定動(dòng)、靜摩擦力向量分量的摩擦力方位角的概念，摩擦力方位角由相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度或非摩擦力分量確定。用龍格-庫塔法計(jì)算，振子由黏滯到滑動(dòng)轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵點(diǎn)用二分法捕捉。

1?力學(xué)模型與動(dòng)力學(xué)方程的建立

二維干摩擦振子的力學(xué)模型如圖1所示。質(zhì)量塊m與平面接觸并通過3個(gè)線性彈簧和3個(gè)線性黏性阻尼固定。k3和c3與軸的夾角為45°，這使得2個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)耦合在一起。根據(jù)耦合振動(dòng)的理論[18]，二維干摩擦振子的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成式（1）。

4?結(jié)?論

引入斜彈簧建立了一種可考慮平面內(nèi)2個(gè)方向耦合的二維干摩擦振子動(dòng)力學(xué)模型;通過定義摩擦力方位角并考慮振子振動(dòng)中可能出現(xiàn)黏滯的情況，提出了一種基于二維庫侖摩擦模型、可考慮黏滑轉(zhuǎn)換的運(yùn)動(dòng)分析方法，給出了二維干摩擦振子黏滑運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜邊界條件。在此基礎(chǔ)上研究了二維耦合干摩擦振子的黏滑運(yùn)動(dòng)特性與系統(tǒng)解的變化規(guī)律，結(jié)論如下。

1）二維耦合干摩擦振子運(yùn)動(dòng)過程中可能出現(xiàn)黏滑狀態(tài)轉(zhuǎn)換。

2）考慮耦合的振子運(yùn)動(dòng)軌跡、相圖、摩擦力變化規(guī)律相比不考慮耦合時(shí)更為復(fù)雜;激勵(lì)頻率和相位角均不相等時(shí)，與激勵(lì)頻率相等且相位角相等或激勵(lì)頻率相等且相位角不等相比，振子的運(yùn)動(dòng)軌跡、系統(tǒng)相圖均為更加復(fù)雜的平面曲線，同時(shí)一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)可出現(xiàn)多次黏滑轉(zhuǎn)換。

3）x，y方向激振頻率相同情況下，隨著激勵(lì)頻率和激勵(lì)相位角變化，系統(tǒng)響應(yīng)的性質(zhì)沒有變化，均沒有出現(xiàn)次諧波且高次諧波分量很小，該情況下計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)減振效果時(shí)可使用諧波平衡法提高運(yùn)算效率。

目前求解振子的振動(dòng)特性時(shí)多假定基礎(chǔ)靜止，下一步將考慮基礎(chǔ)振動(dòng)，對(duì)振子的動(dòng)力學(xué)特性及運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行深入研究。

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