唐慶 陳國華 李軍成 汪聰林

[摘要]為了對婁底市糧食總產(chǎn)量進(jìn)行有效的預(yù)測，將多項(xiàng)式擬合模型、平滑指數(shù)模型、灰色GM（1，1）模型等3種常用的預(yù)測模型進(jìn)行線性組合，構(gòu)建了一種用于婁底市糧食總產(chǎn)量預(yù)測的加權(quán)組合模型。結(jié)果表明，采用加權(quán)組合模型預(yù)測的平均相對誤差較小，具有較高的預(yù)測精度，從而為糧食產(chǎn)量預(yù)測問題的研究提供了一種有效方法。

[關(guān)鍵詞]糧食產(chǎn)量;預(yù)測;多項(xiàng)式擬合;平滑指數(shù);灰色系統(tǒng);加權(quán)組合

[中圖分類號]F326.11[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

糧食產(chǎn)量關(guān)系到國家的穩(wěn)定與發(fā)展。對糧食產(chǎn)量進(jìn)行科學(xué)的預(yù)測，不僅可以為國家或地區(qū)的糧食問題研究提供一定的決策依據(jù)，而且對糧食生產(chǎn)和糧食安全也有著重要的意義。因此，如何對糧食產(chǎn)量進(jìn)行有效的預(yù)測一直以來都是國內(nèi)學(xué)者研究的重要問題。

為了實(shí)現(xiàn)對糧食產(chǎn)量的定量預(yù)測，許多學(xué)者都利用數(shù)學(xué)方法來構(gòu)造相應(yīng)的預(yù)測模型。例如，李炳軍等與李軍成等為了避免單一灰色預(yù)測模型與線性回歸預(yù)測模型的不足，分別構(gòu)建了用于糧食產(chǎn)量預(yù)測的灰色線性回歸組合模型;周永生等針對廣西糧食產(chǎn)量預(yù)測問題，利用多元線性回歸模型進(jìn)行了研究;向昌盛等與陳煥珍考慮到糧食產(chǎn)量的多種復(fù)雜因素，將灰色預(yù)測模型和馬爾科夫模型進(jìn)行融合，分別構(gòu)建了用于糧食產(chǎn)量預(yù)測的灰色馬爾科夫模型;何延治利用時間序列分析來構(gòu)造預(yù)測模型，并利用該模型對吉林省糧食產(chǎn)量進(jìn)行了有效的預(yù)測;楊克磊等利用灰色GM（1，1）模型對我國糧食產(chǎn)量進(jìn)行了中短期預(yù)測;程東亞等通過數(shù)據(jù)分析建立了亳州市糧食產(chǎn)量預(yù)測的對數(shù)模型;黃彭等根據(jù)四川省糧食產(chǎn)量的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，構(gòu)建了一種基于弱化緩沖算子的灰色預(yù)測模型;馬云倩等通過不同模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析，最后采用了LASSO-GM（1，N）模型對我國糧食產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測。

雖然不同學(xué)者提出了各種各樣的糧食產(chǎn)量預(yù)測模型，但由于不同地區(qū)的樣本數(shù)據(jù)特點(diǎn)各不相同，同一模型對不同地區(qū)糧食產(chǎn)量的預(yù)測效果可能會有較大的差別，因此對不同地區(qū)的糧食產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測應(yīng)建立相應(yīng)的模型。婁底市位于湖南省的地理幾何中心，是湖南省“長株潭”城市群的一個重要組成部分，被譽(yù)為“湘中明珠”，對婁底市的糧食總產(chǎn)量進(jìn)行有效的預(yù)測具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文將多項(xiàng)式擬合模型、平滑指數(shù)模型、灰色GM（1，1）模型等3種常用的預(yù)測模型進(jìn)行線性組合，構(gòu)建了一種加權(quán)組合預(yù)測模型，并利用該模型對婁底市的糧食總產(chǎn)量進(jìn)行了有效的預(yù)測。

1? ? 三種常用的預(yù)測模型簡介

1.1? ? 多項(xiàng)式擬合模型

多項(xiàng)式擬合的基本原理是利用一個多項(xiàng)式去逼近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，且要使得多項(xiàng)式曲線在最小二乘準(zhǔn)則下離所有數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能近，從而得到反映數(shù)據(jù)整體變化趨勢的函數(shù)關(guān)系式。給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，設(shè)多項(xiàng)式擬合模型：

（1）

利用最小二乘法可得線性方程組：

通過求解上述方程組可得系數(shù)，從而由式（1）中可得多項(xiàng)式擬合模型。

1.2? ? 平滑指數(shù)模型

平滑指數(shù)模型預(yù)測的基本原理是當(dāng)期的指數(shù)平滑值都是本期實(shí)際觀察值與上期指數(shù)平滑值的加權(quán)平均。根據(jù)次數(shù)不同，平滑指數(shù)模型分為一次平滑指數(shù)模型、二次平滑指數(shù)模型與三次平滑指數(shù)模型。這里采用三次平滑指數(shù)模型。

對于預(yù)測周期為T年、基年為第t年，三次平滑指數(shù)模型為：

（2）

式中，為指標(biāo)預(yù)測值，、、的計(jì)算公式為：

其中，為i次平滑指數(shù)值，為實(shí)際值，為平滑系數(shù)。

利用三次平滑指數(shù)模型進(jìn)行預(yù)測時，若原始數(shù)據(jù)較少，則將最初三期的均值作為初始值、與，且，否則選用第一期的觀察值作為初始值、與;當(dāng)原始數(shù)據(jù)波動較小時，一般將平滑系數(shù)取為0.1～0.3，否則一般將平滑系數(shù)取為0.6～0.8。

1.3? ? 灰色模型

GM（1，1）模型是最為常見的一種灰色模型，其主要思想是通過一階微分方程來揭示數(shù)據(jù)的內(nèi)部規(guī)律。設(shè)原式數(shù)據(jù)為：

，

其中，。

將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加，得序列：

，

其中，。

令，其中，，則GM（1，1）模型的基本形式為。若記，則利用最小二乘法可求得參數(shù)a與b為，其中：

，。

最后通過累減還原，的原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測模型為：

，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

2? ? 加權(quán)組合預(yù)測模型的建立

在實(shí)際應(yīng)用中，雖然可直接利用多項(xiàng)式擬合模型、平滑指數(shù)模型以及灰色模型都可用于對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，但單一的預(yù)測模型可能會在因素與函數(shù)關(guān)系方面存在一定的弊端，使得預(yù)測效果不太理想。因此，為了進(jìn)一步提高預(yù)測精度，將多項(xiàng)式擬合模型、平滑指數(shù)模型、灰色模型等三種模型進(jìn)行線性加權(quán)組合，構(gòu)造出如下預(yù)測模型：

（4）

式中，分別為多項(xiàng)式擬合模型、平滑指數(shù)模型、灰色模型的預(yù)測值，為各模型的權(quán)重，且滿足。

獲得后，若要利用式（4）計(jì)算得到最終的預(yù)測結(jié)果，還需要確定權(quán)重的取值。常見權(quán)重確定方法包括算術(shù)平均法、方差倒數(shù)法、均方差倒數(shù)法等。這里采用方差倒數(shù)法來確定權(quán)重，即對誤差平方和較好的單一預(yù)測模型賦予較大的權(quán)重，而對誤差平方和較大的單一預(yù)測模型則賦予較小的權(quán)重，其具體計(jì)算方法為：

，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

式中，為第i個單一模型的誤差平方和。

3? ? 婁底市糧食總產(chǎn)量預(yù)測

以湖南省婁底市2005～2017年的糧食總產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為研究樣本，如表1所示。

為了比較不同模型的預(yù)測精度，下面將表1中2005～2012年的糧食總產(chǎn)值數(shù)據(jù)作為輸入樣本，利用預(yù)測模型對2013～2017年的糧食總產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測，并與真實(shí)值進(jìn)行對比。

對輸入樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，通過實(shí)驗(yàn)對比發(fā)現(xiàn)二次多項(xiàng)式擬合的效果較好，因此選用二次擬合多項(xiàng)式進(jìn)行糧食總產(chǎn)量的預(yù)測。利用輸入樣本數(shù)據(jù)根據(jù)式（1）可建立二次多項(xiàng)式擬合預(yù)測模型為：

（6）

建立滑指數(shù)預(yù)測模型時，由于給定的原始數(shù)據(jù)較少，故將最初三期的均值作為初始值且滿足;另外，通過觀察發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)波動較小，故將平滑系數(shù)取為0.2。于是，利用輸入樣本數(shù)據(jù)根據(jù)式（2）所建立的平滑指數(shù)預(yù)測模型為：

（7）

利用輸入樣本數(shù)據(jù)利用式（3）建立的灰色預(yù)測模型為：

（8）

根據(jù)式（6）～（8）計(jì)算出多項(xiàng)式擬合預(yù)測模型、平滑指數(shù)預(yù)測模型、灰色預(yù)測模型等3種單一預(yù)測模型在2013～2017年的糧食總產(chǎn)量（結(jié)果如表1所示）后，利用式（5）可計(jì)算出加權(quán)組合預(yù)測模型的權(quán)重為，，。從而，利用式（4）可得加權(quán)組合預(yù)測模型為：

（9）

分別利用式（6）～（9）計(jì)算可得二次多項(xiàng)式擬合模型、平滑指數(shù)模型、灰色模型、加權(quán)組合模型等4種預(yù)測模型2013～2017年的糧食總產(chǎn)量預(yù)測結(jié)果如表2所示。

由表2可知，加權(quán)組合模型的預(yù)測精確明顯要高于其它3種單一預(yù)測模型。因此，下面利用式（9）表示的加權(quán)組合預(yù)測模型對婁底市未來5年的糧食總產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如表3所示。

由表3可知，婁底市未來5年的糧食總產(chǎn)量相對比較穩(wěn)定，每年的糧食總產(chǎn)量維持在160萬t左右。

4? ? 結(jié)語

為了對婁底市糧食總產(chǎn)量進(jìn)行有效預(yù)測，本文將多項(xiàng)式擬合模型、平滑指數(shù)模型、灰色GM（1，1）模型等3種常用的預(yù)測模型進(jìn)行線性組合，構(gòu)建了一種加權(quán)組合預(yù)測模型，其權(quán)重采用方差倒數(shù)法進(jìn)行選取。采用加權(quán)組合模型對婁底市糧食總產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測的平均相對誤差相對較小，具有較高的預(yù)測精度。對于其他地區(qū)的糧食總產(chǎn)量預(yù)測，也可嘗試使用本文給出的加權(quán)組合模型進(jìn)行研究。

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