摘要：介紹了局部有限維的介紹了局部有限維的Hopf π-代數(shù)上π-H-模代數(shù)的對偶是Hopf π-余代數(shù)上π-■-余模余代數(shù).在此基礎上，討論π-H-模代數(shù)的單側(cè)π-H-模理想與π-■-余模余代數(shù)的單側(cè)π-■-余模余理想之間的對偶關(guān)系.

關(guān)鍵詞：π-H-模代數(shù)；π-■-余模余代數(shù)；π-H-模左（右）理想；π-■-余模左（右）余理想

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）12-0209-03

近年來，弱化意義下Hopf代數(shù)越來越受到人們的歡迎，出現(xiàn)很多推廣形式，如分次Hopf代數(shù)、弱Hopf代數(shù)和Hopf群余代數(shù)等2000年Turaev于2000年引進了Hopf π-余代數(shù)，構(gòu)造出π-范疇，并得出了產(chǎn)生3維同倫量子場理論在Hopf π-余代數(shù)的基礎上，Virelizer構(gòu)造出3維流形上主π-叢的Hennings-like與Kuperberg-like不變量在文獻[1]中作者得到了Hopf π-子余代數(shù)的對偶是Hopf π-代數(shù)H■的一個Hopf π-理想在本文中，筆者先介紹π-H-模代數(shù)的對偶是π-■-余模余代數(shù)，在此基礎上進一步證明了π-H-模代數(shù)的單側(cè)π-H-模理想與π-■-余模余代數(shù)的單側(cè)π-■-余模余理想之間的對偶關(guān)系.

本文中設k為一個域，所有的空間都是k上向量空間，所有的（余）代數(shù)均指k上（余）代數(shù).π是一個乘法群，其單位元為1.A？茚■B寫成A？茚B，本文中其他概念和記號見文獻[2-3].

定義1 假定H=（H■，Δ■，ε■■，m■■，u，S■■）是一個Hopf π-代數(shù)，A={A■，

m′■，u′■}■是一簇代數(shù).若賦予一簇k上線性映射η■=η■■：A■？茚H■→A■■，且使得下列條件成立：（1）（A，η）是一個π-H-模；（2）η■■（m′■？茚id■）=m′■η■■，？坌α，β∈π；（3）u′■η■■=η■■（u′■？茚id■），？坌α，β∈π，其中η■■：k？茚H■→k，η■■（1■？茚h）=ε■（h），？坌h∈H■.則稱A=（A■■，m′，u′，η=η■■■）為π-H-模代數(shù).

定義2 設■=（■■，m■，u■■，Δ■■，ε，■■■）是一個Hopf π-余代數(shù)，C={C■，Δ′■，ε′■}■是一簇余代數(shù)，其中余代數(shù)C■的余乘法為Δ′■（c）=∑c■？茚c■∈C■？茚C■，？坌c∈C■，α∈π.若存在一簇k上線性映射ρ=ρ■：C■→C■？茚■■■使得下列條件成立：（1）C=（C■■，ρ=ρ■■■）是一個π-■-余模；（2）ρ■■Δ′■=（Δ′■？茚id■）ρ■■，？坌α，β∈π，∑（c■）■？茚（c■）■？茚（c■）■（c■）■=∑（c■）■？茚（c■）■？茚c■，？坌c∈C■；（3）ρ■■ε′■=（ε′■？茚id■）ρ■■，？坌α，β∈π，其中，ρ■■：k→k？茚■■，ρ■■（1■）=1■？茚1■，則稱C=（C■■，Δ′，ε′，ρ=ρ■■■）為π-■-余模余代數(shù).

注：兩個π-■-余模張量積C？茚C={C■？茚C■}■還是一個π-■-余模，其余模作用結(jié)構(gòu)映射為ρ■■：

C■？茚C■→C■？茚C■？茚H■，ρ■■（c？茚d）=∑c■？茚

d■？茚c■d■，？坌c，d∈C■，？坌α，β∈π.

令Hopfπ-代數(shù)H上的π-模（U，η）=（U■■，η■■）.記U■=U■■■，U■■={所有的k上線性映射f：U■→k}，其中U■■為U■的對偶空間.模結(jié)構(gòu)映射η■：U■？茚H■→U■，還可定義一簇k上線性映射■=■■=η■■：U■■→U■■？茚H■■■.令（A，η）=（A■，m■■，u■■■，η■■）是一個π-H-模代數(shù)。其對偶空間可定義為A■■，k上線性映射■■■=（m■■）■：A■■→A■■？茚A■■，和■■■=（u■■）■■，于是有如下的結(jié)論.

引理1 設H=（H■，Δ■，ε■■，m■■，u，S■■）為Hopf π-代數(shù)，（A，η）=（A■，m■■，u■■■，η■■）是π-H-模代數(shù).則其對偶空間（A*，■）=（A■*，■■■，■■■■■，■■■）是π-H*-余模余代數(shù).

定義3 H=（H■，Δ■，ε■■，m■■，u，S■■）為Hopf π-代數(shù)，（A，η）為π-H-模代數(shù).若滿足：I=I■：I■？哿A■■是A的一簇右（左）理想（即每個I■都是代數(shù)A■的右（左）理想，？坌α∈π），且I是A的一個π-H-子模，即：滿足η■（I■？茚H■）？哿I■（

η■（H■？茚I■）？哿I■），？坌α，β∈π，則稱I是A的一個π-H-模右（左）理想。

定義4 設■=（■■，m■，u■■，Δ■■，ε，■■■）為Hopf π-余代數(shù)，（C，ρ）為π-■-余模余代數(shù).若滿足：J=J■：J■？哿C■■為C的一簇右（左）余理想（即每個J■都是余代數(shù)C■的右（左）余理想，？坌α∈π），且J是C的一個π-■-子余模，即：滿足ρ■（J■）？哿J■？茚■■（ρ■（J■）？哿H■？茚■■），？坌α，β∈π，則稱J是C的一個π-■-余模右（左）余理想.

引理2 設H為Hopf π-代數(shù)，（A，η）為π-H-模代數(shù)，若J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一個π-H-模左（右）理想，則J■=J■■■是（A■，■）的一個π-H■-余模左（右）余理想.

證明：題目僅證J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一個π-H-模右理想.而對于J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一個π-H-模左理想類似可得證.

由題意可得J■是A■的子空間，可令映射：i=

i■■，其中i■：J■→A■為嵌入映射于是η■（i■■？茚id■）=i■■η■，即i=i■■■為π-H-模同態(tài)?？紤]另一簇線性映射i■=i■■■，其中i■■：A■■→J■■為其的對偶映射，則對任意的α，β∈π，a∈A■■，h∈H■■，f∈

A■■，有<（i■■？茚id■）■■（f），a？茚h>=

id■）（a？茚h）>==<■■i■■（f），a？茚h>所以（i■■？茚id■）■■=■■i■■，于是i■=i■■■為π-H■-余模同態(tài)。

又由于J■■=f∈U■■|=0，？坌j∈J■，且keri■■={n∈A■■|=0，？坌j■∈J■}，即J■■=keri■■.又因為（i■■？茚id■）■■（J■■）=■■i■■（J■■）=0，所以■■（J■■）？哿ker（i■■？茚id■）.而ker（i■■？茚id■）=keri■■？茚H■■+A■■？茚kerid■=keri■■？茚H■■=J■■？茚H■■，即■■（J■■）？哿J■■？茚H■■，即J■是（A■，■）的一個π-H■-余模右余理想.

引理3 設H為Hopf π-代數(shù)，（A，η）為π-H-模代數(shù)，若J={J■：J■？哿A■■}■是（A■，■）的一個π-H■-余模左（右）余理想，則J■=J■■■是（A，η）的一個π-H-模左（右）理想.

證明：類似引理2可證得.

定理4 設H為Hopf π-代數(shù)，（A，η）為π-H-模代數(shù)，則J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一個π-H-模左（右）理想當且僅當J■=J■■■是（A■，■）的一個π-H■-余模左（右）余理想.

證明：由引理2，引理3可得證。

參考文獻：

[1]衡美芹，孫建華.Hopf π-余代數(shù)與 π-子余代數(shù) [J].純粹與應用數(shù)學，2009，25（4）：706-710.

[2]VIRELIZER A. Hopf group-coalgebras [J]. J Pure Algebra，2002，171：75-122.

[3]趙士銀.單側(cè)π-理想[J].山東理工大學學報，2012，26（2）：

[4] 孫建華，蘇航贇.-余模代數(shù)與-張量積[J].揚州大學學報， 2010，13（1）：1-5.

[5] 衡美芹，孫建華. 模代數(shù)的模理想[J].數(shù)學的實踐與認識，2015，45（10）：238-244.

Unilateral Module Ideal

HENG Mei-qin

（Department of Mathematics，Suqian College，Suqian，Jiangsu 223800，China）

Abstract：Let H be a local finite dimensional Hopf π-algebra，we show that the dual spaces of a π-H-module algebra is a π-■-comodule coalgebra. The perfect duality between unilateral π-H-module ideal of π-H-module algebra and unilateral π-■-comodule coideal of π-■-comodule coalgebra was obtained on this basis.

Key words：π-H-module algebra； π-■-comodule coalgebra； π-H-moduleleft （right） ideal；π-■-comodule left （right） coideal