高超聲速飛行器的多冪次滑?？刂脾?/h1>

2018-05-11 09:13楊文駿

固體火箭技術(shù)訂閱 2018年2期 收藏

關(guān)鍵詞：超聲速滑模擾動(dòng)

方 雪，楊文駿，樊 征，張 科

(1.西北工業(yè)大學(xué) 招標(biāo)與設(shè)備采購中心，西安 710072；2.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072； 3.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

0 引言

高超聲速飛行器(Hypersonic Flight Vehicle, HFV)有速度高、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、具備全球打擊能力等諸多優(yōu)點(diǎn)，在軍事和民用方面都具有巨大的應(yīng)用價(jià)值。近年來，許多國家和科研機(jī)構(gòu)都大力開展高超聲速相關(guān)技術(shù)的研究，掀起了高超聲速飛行器的研究熱潮[1-3]。但也因其具有強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合性和快時(shí)變等特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)就更困難，也更具挑戰(zhàn)性[4-6]。

文獻(xiàn)[7-13]分別采用增益調(diào)度、魯棒控制、反演控制和滑?？刂频瓤刂品椒▽?shí)現(xiàn)了高超聲速飛行器的飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)?；？刂茖?duì)擾動(dòng)和不確定性具備良好的魯棒性，得到了廣泛關(guān)注和應(yīng)用，但傳統(tǒng)滑模存在抖振和收斂速度慢等問題，限制了其發(fā)展及應(yīng)用。而通過提高趨近律階次改善滑模控制的品質(zhì)，是一種簡(jiǎn)便有效的方法。文獻(xiàn)[14]提出了一種采用雙冪次趨近律提高系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度的設(shè)計(jì)方案，使得在不確定性影響下，系統(tǒng)狀態(tài)及導(dǎo)數(shù)可快速收斂到平衡點(diǎn)的鄰域。文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了一種基于特定雙冪次趨近律的滑模控制方法，并分析了其全局快速收斂特性。文獻(xiàn)[16]提出了一種基于新型雙冪次組合函數(shù)的滑?？刂品桨福ＷC系統(tǒng)全局固定時(shí)間收斂的同時(shí)，具有更快的收斂速度。文獻(xiàn)[17]則提出了一種多冪次滑模趨近律，通過三個(gè)冪次項(xiàng)系數(shù)在系統(tǒng)趨近過程的不同階段進(jìn)行針對(duì)性調(diào)節(jié)，顯著提高了系統(tǒng)的收斂速度。

針對(duì)系統(tǒng)同時(shí)存在參數(shù)不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)的影響，采用干擾觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償是一種有效可行的方法。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器[18](Extended State Observer,ESO)模型依賴性低，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便，能實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)不確定性和外部擾動(dòng)等的有效估計(jì)。文獻(xiàn)[19]設(shè)計(jì)了含ESO的非線性動(dòng)態(tài)逆控制器，實(shí)現(xiàn)了高超聲速飛行器在模型不確定和外部擾動(dòng)影響下對(duì)速度和高度的穩(wěn)定跟蹤。Gao[20]在此基礎(chǔ)上，提出了設(shè)計(jì)更簡(jiǎn)便的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Linear Extended State Observer,LESO)。文獻(xiàn)[10]采用LESO實(shí)現(xiàn)了對(duì)高超聲速飛行器巡航飛行過程中存在的模型不確定性和外界干擾精確估計(jì)，結(jié)合所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)面控制器，保證了速度和高度的高精度指令跟蹤性能。

本文針對(duì)存在模型參數(shù)不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)的高超聲速飛行器縱向模型，設(shè)計(jì)了基于多冪次趨近律的滑模控制器，并采用LESO對(duì)模型參數(shù)不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)組成的集總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，最后理論證明了所設(shè)計(jì)控制器能保證系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，并通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了其有效性。

1 高超聲速飛行器模型

本文采用文獻(xiàn)[10，19]中的HFV縱向模型，利用非線性動(dòng)態(tài)逆技術(shù)，經(jīng)精確反饋線性化后，系統(tǒng)可描述為

(1)

式中V和H分別為HFV的速度和高度；βc和δe分別為發(fā)動(dòng)機(jī)節(jié)流閥開度和升降舵偏轉(zhuǎn)；FV、FH和B的詳細(xì)表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[10,19,21]。

假設(shè)1 控制矩陣B非奇異。

注1 考慮到HFV在巡航飛行過程中，航跡角很小，HFV的飛行航跡不可能是垂直的，故矩陣B非奇異。

考慮HFV的模型參數(shù)不確定性：

(2)

式中 “●0”為參數(shù)標(biāo)稱值；“Δ●”為參數(shù)偏移量。

參數(shù)偏移量滿足約束條件：

(3)

引入外部擾動(dòng)，則系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可表述為

(4)

式中 ΔFV、ΔFH和ΔB為系統(tǒng)不確定項(xiàng)；B0為標(biāo)稱控制矩陣；d1(t)和d2(t)為外部擾動(dòng)。

系統(tǒng)對(duì)ΔB的敏感程度要遠(yuǎn)高于ΔFV和ΔFH，故ΔFV和ΔFH可忽略不計(jì)[21]。故式(4)可改為

(5)

其中，dv(t)和dh(t)為速度和高度通道中的系統(tǒng)不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)組成的集總擾動(dòng)，如式(6)：

(6)

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 多冪次滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

暫不考慮系統(tǒng)的集總擾動(dòng)，針對(duì)速度和高度子系統(tǒng)，定義滑模面：

(7)

式中ev=V-Vd；eh=H-Hd；Vd和Hd分別為速度和高度指令；p1和p2為所需設(shè)計(jì)的正數(shù)。

式(7)求導(dǎo)可得

(8)

其中

設(shè)計(jì)多冪次滑?？刂破?Multi Power Sliding Mode Controller, MPSMC)為

(9)

其中

ψ1=-kv,1sigc1(sv)-kv,2sigc2(sv)-kv,3sigc3(sv)-kv,4sv

ψ2=-kh,1sigc1(sh)-kh,2sigc2(sh)-kh,3sigc3(sh)-kh,4sh

其中，sigc(s)=|s|csgn(s);kv,j,kh,j>0(j=1,2,3,4);

c1>0,0

(10)

將控制器(9)代入式(8)中，可得

(11)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)滿足|si|<1時(shí)，式(11)主要受-ki,2sigc2(si)-ki,3sigc3(si)的影響；系統(tǒng)狀態(tài)滿足|si|≥1時(shí)，式(11)主要受-ki,1sigc1(si)-ki,3sigc3(si)的影響。c3的取值可保證系統(tǒng)在狀態(tài)滿足|si|>c1或|si|

(12)

對(duì)式(12)沿式(8)求導(dǎo)可得

(13)

故兩個(gè)子系統(tǒng)的滑模面均滿足可達(dá)性條件，sv和sh將在有限時(shí)間內(nèi)漸近收斂到零。根據(jù)滑模面定義式(7)，速度和高度的指令跟蹤誤差也將漸近收斂到零，故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

2.2 LESO設(shè)計(jì)

(14)

針對(duì)系統(tǒng)(14)設(shè)計(jì)二階LESO:

(15)

(16)

λ0(s)=s2+l1s+l2=(s+ω0)2

(17)

只要滿足ω0>0，式(17)就具有負(fù)實(shí)部根，保證了A是Hurwitz穩(wěn)定的。令ω0=1/ε，則有l(wèi)i=αi/εi，取gi(e1(t))=αie1(t)，式(15)可轉(zhuǎn)換為

(18)

定義：

(19)

則系統(tǒng)(18)對(duì)系統(tǒng)(14)的觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)為

(20)

假設(shè)2[10]HFV速度和高度通道的集總擾動(dòng)dv(t)和dh(t)屬于C1類函數(shù)且其一階導(dǎo)數(shù)有界。

注2 HFV巡航飛行過程中，其參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)均在一定范圍內(nèi)。

假設(shè)3[10]?ζ(t)=[ζ1(t),ζ2(t)]T∈R2,存在常數(shù)λi(i=1,2,3,4)，β以及連續(xù)可微、徑向無界的正定函數(shù)V,W:R2→R，滿足如下條件：

(i)λ1‖ζ‖2≤V(ζ)≤λ2‖ζ‖2,λ3‖ζ‖2≤W(ζ)≤λ4‖ζ‖2;

?t∈[tε,∞)

(21)

參數(shù)ε取得足夠小即LESO的帶寬ω0取得足夠大時(shí)，所設(shè)計(jì)的LESO能有效估計(jì)系統(tǒng)(14)的狀態(tài)，其估計(jì)誤差收斂于O(ε3-i)。ω0的取值越大，LESO的響應(yīng)速度越快，估計(jì)精度越高，但(由于高增益)容易引起明顯的峰值現(xiàn)象，同時(shí)也會(huì)減弱其對(duì)高頻噪聲的抑制能力，繼而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤精度，因此ω0的選取應(yīng)在保證LESO的響應(yīng)速度和估計(jì)精度與滿足系統(tǒng)性能要求之間取折中。

保持參數(shù)設(shè)置不變，將該LESO應(yīng)用于速度子系統(tǒng)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)速度通道集總擾動(dòng)的估計(jì)補(bǔ)償。最終可得含LESO估計(jì)補(bǔ)償?shù)亩鄡绱位？刂破鳎?/p>

(22)

2.3 穩(wěn)定性分析

將式(5)代入系統(tǒng)(8)中，可得

(23)

式中d=[dv(t),dh(t)]T。

定理2 考慮系統(tǒng)不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)，針對(duì)系統(tǒng)(5)，設(shè)計(jì)控制器如式(22)，能保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且系統(tǒng)滑模面能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)域：

(24)

證明 選取Lyapunov函數(shù)如式(12)，對(duì)其沿式(23)求導(dǎo)可得

(25)

代入控制器(22)，可得

(26)

(27)

取k4=min(kv,4,kh,4)，式(27)可變換為

(28)

(29)

由引理1可知，系統(tǒng)滑模面s可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)的鄰域(24)內(nèi)，通過合理的參數(shù)設(shè)置可使該鄰域任意小，故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，根據(jù)2.1節(jié)，速度和高度的跟蹤誤差也漸近收斂到零。因此，所設(shè)計(jì)控制器(22)能夠保證系統(tǒng)在參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)的綜合影響下的漸近穩(wěn)定性。

證畢。

3 仿真驗(yàn)證

以高超聲速飛行器巡航飛行為例，對(duì)本文所提出的LESO和多冪次滑?？刂破鬟M(jìn)行仿真驗(yàn)證。飛行器初始參數(shù)為：速度V=3016.152 m/s，高度H=30 km，攻角α=3.625°，航跡角γ=0°，節(jié)流閥開度βc=0.258，升降舵偏角δe=0.656°。速度通道每200 s給予80 m/s的階躍指令信號(hào)，高度通道參考指令是幅值為200 m的方波信號(hào)，參考指令均通過二階參考模型后給出。從仿真的130 s開始引入外部擾動(dòng)

(30)

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性，在相同的仿真條件下，與傳統(tǒng)滑模控制器(Conventional Sliding Mode Controller, CSMC)及雙冪次滑?？刂破鱗14-15](Double Power Sliding Mode Controller,DPSMC)進(jìn)行對(duì)比，其雙冪次趨近律如

(31)

滑模面參數(shù)取為：p1=0.3,p2=0.38；控制器參數(shù)選取為：a1=0.7,a2=0.9,b1=1.5,b2=0.5;ki,1=0.7,ki,2=0.9,ki,3=1.2,ki,4=1.5,c1=1.5,c2=0.5,i=v,h；LESO的帶寬取為：ω0=10。

仿真結(jié)果如圖1～圖6所示。圖中下標(biāo)“1”表示CSMC+LESO，下標(biāo)“2”表示DPSMC+LESO，下標(biāo)“3”表示MPSMC+LESO。圖1和圖2分別表示了高超聲速飛行器的速度和高度跟蹤曲線及其跟蹤誤差曲線，圖3為攻角和航跡角響應(yīng)曲線，圖4為速度和高度子系統(tǒng)滑模面，表1給出平均絕對(duì)誤差(Mean Absolute Error,MAE)、平均相對(duì)誤差(Mean Relative Error,MRE)、均方誤差(Mean Squared Error,MSE)和均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)評(píng)價(jià)指標(biāo)(均是評(píng)估值越小，表明跟蹤精度越高)框架下的速度和高度指令跟蹤誤差評(píng)估數(shù)據(jù)。

圖1 速度和高度指令跟蹤Fig.1 Velocity and altitude command tracking

圖2 速度和高度指令跟蹤誤差Fig.2 Velocity and altitude commandtracking errors

圖3 攻角和航跡角響應(yīng)曲線Fig.3 Responses of angle of attack andflight-path angle

圖4 速度和高度子系統(tǒng)滑模面Fig.4 Sliding surfaces of velocity andaltitude subsystem

由圖1～圖3可知，在本文所設(shè)計(jì)的控制方案作用下，速度和高度跟蹤誤差均能快速收斂到零，攻角和航跡角也能較快趨于平衡狀態(tài)，且在整個(gè)飛行過程中都處在合理范圍內(nèi)，和其他兩種控制方案相比，尤其在引入外部擾動(dòng)之后，本文控制器展現(xiàn)了更好的擾動(dòng)抑制能力，穩(wěn)態(tài)性能更優(yōu)。從圖4中可看出，本文控制器使得系統(tǒng)在遠(yuǎn)離滑模面和接近滑模面時(shí)均具備更快的收斂速度，且當(dāng)存在外部時(shí)變擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)能保持穩(wěn)定在平衡點(diǎn)附近小鄰域內(nèi)，無抖振現(xiàn)象，而傳統(tǒng)滑模控制器和雙冪次滑?？刂破鲃t均存在較大波動(dòng)。表1中的數(shù)據(jù)也表明本文控制器的性能更優(yōu)。

表1 速度和高度指令跟蹤誤差評(píng)估

圖5為本文控制器作用下的集總擾動(dòng)估計(jì)曲線，可以看出，所設(shè)計(jì)的LESO能對(duì)集總擾動(dòng)進(jìn)行有效估計(jì)，實(shí)現(xiàn)在控制器中的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，從而增強(qiáng)控制器的擾動(dòng)抑制能力。圖6為控制輸入曲線，傳統(tǒng)滑?？刂破鞯目刂屏咳贪橛休p微的抖振現(xiàn)象，雙冪次及多冪次控制方案的控制量都維持在合理范圍內(nèi)且較平滑，不存在抖振現(xiàn)象，130 s后開始的波動(dòng)抑制了外部擾動(dòng)的影響，保證了飛行的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

(1)設(shè)計(jì)基于多冪次趨近律的滑?？刂破鳎突陔p冪次趨近律的滑?？刂破飨啾龋沟孟到y(tǒng)具有更好的指令跟蹤性能和抗干擾能力，且在遠(yuǎn)離和接近滑模面時(shí)收斂速度更快。

(2)利用系統(tǒng)精確反饋線性化的部分信息，設(shè)計(jì)二階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)對(duì)系統(tǒng)不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)值用于控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，顯著提升了控制器的擾動(dòng)抑制能力和系統(tǒng)的魯棒性。

圖5 集總擾動(dòng)估計(jì)Fig.5 Estimation of lumped disturbances

圖6 控制輸入Fig.6 Control inputs

參考文獻(xiàn)：

[1] 方洋旺,柴棟,毛東輝,等.吸氣式高超聲速飛行器制導(dǎo)與控制研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)[J].航空學(xué)報(bào),2014,35(7):1776-1786.

FANG Yangwang,CHAI Dong,MAO Donghui,et al.Status and development trend of the guidance and control for air-breathing hypersonic vehicle[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2014,35(7):1776-1786.

[2] 翟岱亮,雷虎民，李海寧,等.面向軌跡預(yù)測(cè)的高超聲速飛行器氣動(dòng)性能分析[J].固體火箭技術(shù),2017,40(1):115-120.

ZHAI Dailiang,LEI Humin,LI Haining,et al.Trajectory prediction oriented aerodynamic performances analysis of hypersonic vehicles[J].Journal of Solid Rocket Technology,2017,40(1):115-120.

[3] Parker J T,Serrani A,Yurkovich S,et al.Control-Oriented Modeling of an Air-Breathing Hypersonic Vehicle[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2007,30(3):856-869.

[4] 孫長(zhǎng)銀,穆朝絮,余瑤.近空間高超聲速飛行器控制的幾個(gè)科學(xué)問題研究[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2013,39(11):1901-1913.

SUN Changyin,MU Chaoxu,YU Yao.Some control problems for near space hypersonic vehicles[J].Acta Automatica Sinica,2013,39(11):1901-1913.

[5] 王易南,陳康,符文星,等.帶有攻角約束的高超聲速飛行器航跡傾角跟蹤控制方法[J].固體火箭技術(shù),2016,39(1):125-130.

WANG Yinan,CHEN Kang,FU Wenxing,et al.Hypersonic flight vehicle's flight path angle tracking control with attack angle constraints[J].Journal of Solid Rocket Technology,2016,39(1):125-130.

[6] Guo Z Y,Zhou J,Guo J G,et al.Coupling-characterization-based robust attitude control scheme for hypersonic vehicles[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2017,64(8):6350-6361.

[7] 孫辰昕.高超聲速飛行器的增益調(diào)度控制器設(shè)計(jì)[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2016.

SUN Chenxin.The design of gain scheduling controller of hypersonic vehicle[D].Harbin:Harbin Institute of Technology,2016.

[8] 李昭瑩,余令藝,劉昊,等.高超聲速飛行器非線性魯棒控制律設(shè)計(jì)[J].控制理論與應(yīng)用,2016,33(1):62-69.

LI Zhaoying,YU Lingyi,LIU Hao,et al.Nonlinear robust controller design for hypersonic vehicles[J].Control Theory & Applications,2016,33(1):62-69.

[9] 卜祥偉,吳曉燕,白瑞陽,等.基于滑模微分器的吸氣式高超聲速飛行器魯棒反演控制[J].固體火箭技術(shù),2015,38(1):12-17.

BU Xiangwei,WU Xiaoyan,BAI Ruiyang,et al.Sliding-mode-differentiator-based robust backstepping control of air-breathing hypersonic vehicles[J].Journal of Solid Rocket Technology,2015,38(1):12-17.

[10] 楊文駿,張科,王佩.含LESO的高超聲速飛行器動(dòng)態(tài)面控制[J].宇航學(xué)報(bào),2017,38(8):830-838.

YANG Wenjun,ZHANG Ke,WANG Pei.LESO-based dynamic surface control for a hypersonic flight vehicle[J].Journal of Astronautics,2017,38(8):830-838.

[11] 耿潔,劉向東,王亮.高超聲速飛行器的動(dòng)態(tài)滑模飛行控制器設(shè)計(jì)[J].兵工學(xué)報(bào),2012,33(3):307-312.

GENG Jie,LIU Xiangdong,WANG Liang.Dynamic sliding mode control of a hypersonic flight vehicle[J].Acta Armamentarii, 2012,33(3):307-312.

[12] Zong Q,Wang J,Tian B L,et al.Quasi-continuous high-order sliding mode controller and observer design for flexible hypersonic vehicle[J].Aerospace Science and Technology,2013,27(1):127-137.

[13] Zhang R M,Sun C Y,Zhang J M,et al.Second-order terminal sliding mode control for hypersonic vehicle in cruising flight with sliding mode disturbance observer[J].Journal of Control Theory and Applications,2013,11(2):299-305.

[14] 張合新,范金鎖,孟飛,等.一種新型滑?？刂齐p冪次趨近律[J].控制與決策,2013,28(2):289-293.

ZHANG Hexin,FAN Jinsuo,MENG Fei,et al.A new double power reaching law for sliding mode control[J].Control and Decision,2013,28(2):289-293.

[15] 李慧潔,蔡遠(yuǎn)利.基于雙冪次趨近律的滑?？刂品椒╗J].控制與決策,2016,31(3):498-502.

LI Huijie,CAI Yuanli.Sliding mode control with double power reaching law[J].Control and Decision,2016,31(3):498-502.

[16] 廖瑛,楊雅君,王勇.滑?？刂频男滦碗p冪次組合函數(shù)趨近律[J].國防科技大學(xué)學(xué)報(bào),2017,39(3):105-110.

LIAO Ying,YANG Yajun,WANG Yong.Novel double power combination function reaching law for sliding mode control[J].Journal of National University of Defense Technology,2017,39(3):105-110.

[17] 張瑤,馬廣富,郭延寧,等.一種多冪次滑模趨近律設(shè)計(jì)與分析[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2016,42(3):466-472.

ZHANG Yao,MA Guangfu,GUO Yanning,et al.A multi power reaching law of sliding mode control design and analysis[J].Acta Automatica Sinica,2016,42(3):466-472.

[18] 韓京清.自抗擾控制技術(shù)--估計(jì)補(bǔ)償不確定因素的控制技術(shù)[M].北京:國防工業(yè)出版社,2008.

HAN Jingqing.Active disturbance rejection control technique-the technique for estimating and compensating the uncertainties[M].Beijing:National Defense Industry Press,2008.

[19] 楊文駿,張科,張明環(huán),等.基于ESO的高超聲速飛行器非線性動(dòng)態(tài)逆控制[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2016,34(5):805-811.

YANG Wenjun,ZHANG Ke,ZHANG Minghuan,et al.ESO based nonlinear dynamic inversion control for hypersonic flight vehicle[J].Journal of Northwestern Polytechnical University,2016,34(5):805-811.

[20] Gao Z Q.Active disturbance rejection control:a paradigm shift in feedback control system design[C]// Proceedings of the 2006 American Control Conference,Minneapolis,USA,June 14-16,2006:2399-2405.

[21] Xu H J,Mirmirani M D,Ioannou P A.Adaptive sliding mode control design for a hypersonic flight vehicle[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2004,27(5):829-838.

[22] Bhat S P,Bernstein D S.Finite-time stability of continuous autonomous systems[J].SIAM Journal of Control and Optimization,2000,38(3):751-766.

[23] Aghababa M P,Khanmohammadi S,Alizadeh G.Finite-time synchronization of two different chaotic systems with unknown parameters via sliding mode technique[J].Applied Mathematical Modelling,2011,35(6):3080-3091.

猜你喜歡

超聲速滑模擾動(dòng)

一類五次哈密頓系統(tǒng)在四次擾動(dòng)下的極限環(huán)分支（英文）

上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版(2022年3期)2022-07-11

艦船科學(xué)技術(shù)(2022年10期)2022-06-17

滑模及分?jǐn)?shù)階理論在電機(jī)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用

大電機(jī)技術(shù)(2022年2期)2022-06-05

高超聲速出版工程

軍民兩用技術(shù)與產(chǎn)品(2022年2期)2022-06-01

高超聲速飛行器

鳳凰動(dòng)漫(軍事大王)(2022年1期)2022-04-19

科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新(2021年35期)2022-01-14

擾動(dòng)作用下類巖石三軸蠕變變形特性試驗(yàn)研究

山東建筑大學(xué)學(xué)報(bào)(2021年6期)2021-12-23

大直徑庫體滑模施工技術(shù)應(yīng)用研究

建材發(fā)展導(dǎo)向(2021年14期)2021-08-23

帶擾動(dòng)塊的細(xì)長(zhǎng)旋成體背部繞流數(shù)值模擬

北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)(2021年7期)2021-08-13

高超聲速伸縮式變形飛行器再入制導(dǎo)方法

北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)(2021年6期)2021-07-20