吳書含

(中央民族大學(xué)附屬中學(xué) 100081)

能量是物理學(xué)中十分重要的概念，描述著物質(zhì)世界的運(yùn)行規(guī)律，隱含著研究對(duì)象的性質(zhì)和信息.從能量入手可以深刻地理解物理規(guī)律的本質(zhì).在高中階段我們接觸過多種能量，很多都是在變化過程中產(chǎn)生并積累的，例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能、彈簧彈性勢(shì)能、電容器靜電場(chǎng)能和自感線圈中自感磁能.我們可以運(yùn)用功能轉(zhuǎn)化關(guān)系并借助做功數(shù)值導(dǎo)出其表達(dá)式.不過，在能量積累過程中研究對(duì)象的狀態(tài)可能變化，類似恒力做功公式W=FScosθ這類恒定條件過程的結(jié)論是否適用需要討論.對(duì)這類問題，我們通常將完整過程分解為無數(shù)個(gè)小段，即使從整體來看物理量是變化的，但是在小段內(nèi)由于所涉及的時(shí)間和空間均很小，這些物理量可近似不變，高中階段的公式和經(jīng)驗(yàn)在特定小范圍內(nèi)可以應(yīng)用.整個(gè)過程又可以看成是這些小段的積累，將全部小段內(nèi)做功相加即得到全過程做功，再借助功能轉(zhuǎn)化關(guān)系可以求出能量的表達(dá)式.在這種“微元法”的思維下，高中常見能量表達(dá)式得到了研究，并指出了各能量表達(dá)式中隱含的慣性含義.

一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

描述質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的能量稱為動(dòng)能，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)速度為零時(shí)動(dòng)能為零，而當(dāng)質(zhì)點(diǎn)速度不為零時(shí)，其表達(dá)式可以通過動(dòng)能定理得出.動(dòng)能定理指出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能改變量等于外力做功大小.外力既可能是恒力也可能是變力，若將整個(gè)過程分解為無窮多小段，在每一小段中均可認(rèn)為外力大小恒定，則第n段中外力做功可表述為

ΔWn=FnΔsn

其中Fn是第n段中外力的大小，Δsn是第n段的小位移，數(shù)值趨于零.根據(jù)牛頓第二定律

其中an、Δvn和Δtn分別是第n段的加速度、速度改變量和時(shí)間，Δvn和Δtn均趨于零但比值不為零.第n段做功改寫為

vn為第n段內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的速度，由于Δvn趨于零，vn近似為常數(shù).畫出mv-v的圖象得到一條斜率為m的直線，如圖1所示.

圖1

將v=0至v=v0范圍分成無窮多份，第n份中圖象與橫軸圍成小長(zhǎng)方形且面積為mvnΔvn，與第n段外力做功數(shù)值相等.其他小段結(jié)論與第n段結(jié)論相似.若初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度為零，外力作用后末速度為v0，則對(duì)于整個(gè)過程，外力做功大小等于每一小段做功之和，數(shù)值等于所有小段對(duì)應(yīng)面積之和，即與圖中標(biāo)示的三角形面積數(shù)值相等.整個(gè)過程外力做功為

除了動(dòng)能，常見的能量還有彈簧彈性勢(shì)能、電容器中靜電場(chǎng)能以及自感線圈中自感磁能.下面利用與討論動(dòng)能相同的方法推導(dǎo)它們的能量表達(dá)形式，并揭示它們包含的各種形式的“慣性”.

二、彈簧彈性勢(shì)能

一端固定的彈簧，另一端受到沿彈簧軸線方向的外力作用而發(fā)生形變，其內(nèi)部有彈力的作用，具有彈性勢(shì)能.輕質(zhì)彈簧緩慢伸長(zhǎng)過程中，外力做功數(shù)值等于彈性勢(shì)能增加量.對(duì)于輕質(zhì)彈簧緩慢伸長(zhǎng)這一情況，外力大小與彈簧彈力大小相等，外力是一個(gè)變力，其做功不能應(yīng)用恒力做功公式.如果將這一過程分解為無窮多個(gè)小段，每一小段彈簧伸長(zhǎng)量趨于零，在小段內(nèi)彈力可以近似為常量.第n段外力做功表示為

ΔWn=FnΔxn

其中Fn是第n段中外力的大小，Δxn是第n段形變量，數(shù)值趨于零.根據(jù)胡克定律Fn=kxn，第n段做功改寫為

ΔWn=kxnΔxn

畫出kx-x的圖象將得到斜率為k的直線，與圖1的圖象類似.仿照動(dòng)能討論，將kx-x圖象橫軸分解為無窮多小份，其中第n份圖象與橫軸圍成的面積為kxnΔxn，與第n段外力做功數(shù)值大小相同.對(duì)于彈簧從原長(zhǎng)緩慢伸長(zhǎng)到形變量為x0這一狀態(tài)，外力做功數(shù)值與這個(gè)形變范圍內(nèi)圖象與橫軸圍成的面積相同，表述為

三、電容器中的靜電場(chǎng)能

對(duì)于電容為C，初始兩極板不帶電的電容器，經(jīng)外力做功搬運(yùn)電荷使兩極板間產(chǎn)生電勢(shì)差U0.外力做功轉(zhuǎn)化為電容器存儲(chǔ)的靜電場(chǎng)能，通常取初始電勢(shì)差為零時(shí)靜電場(chǎng)能為零.欲推導(dǎo)靜電場(chǎng)能的表達(dá)式，需求解該過程中外力做功，再利用功能轉(zhuǎn)化關(guān)系求得.隨著兩極板間電勢(shì)差逐漸增大，外力搬運(yùn)相同電荷所做的功不同.若將整個(gè)過程分解為無數(shù)個(gè)小段，在每一小段中兩極板電勢(shì)差變化量趨于零，兩極板電勢(shì)差近似不變.在第n段中，外力做功

ΔWn=UnΔqn

其中Un是第n段內(nèi)兩極板間電勢(shì)差，Δqn為該段內(nèi)搬運(yùn)的電荷量，根據(jù)電容的定義式得出Δqn=CΔUn，ΔUn為該段內(nèi)電勢(shì)差改變量趨于零.代入第n段做功表達(dá)式得出

ΔWn=UnΔqn=CUnΔUn

畫出CU-U的圖象將得到一條斜率為C的直線.與前方討論類似，若將橫軸分成無數(shù)個(gè)小份，第n份中圖象與橫軸圍成的面積等于第n段外力做功大小.對(duì)于初狀態(tài)不帶電，末狀態(tài)兩極板間電勢(shì)差為U0的電容器，外力在整個(gè)過程中做功大小等于在橫軸相應(yīng)范圍內(nèi)圖象與橫軸圍成的總面積

四、自感線圈中的自感磁能

自感線圈由于自感作用，線圈中電流變化會(huì)產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)，若線圈中電流由初始為零增大到末狀態(tài)I0的過程中，電荷通過線圈需克服線圈自感電動(dòng)勢(shì)做功，該過程使得電荷的能量轉(zhuǎn)化為線圈的自感磁能.在電流逐漸變大的過程中，相同時(shí)間內(nèi)通過的電荷量不同，轉(zhuǎn)化為自感磁能的數(shù)量不同.將整個(gè)過程分解為無窮多個(gè)小段，每一小段中電流改變量趨于零，電流近似為常量.但是在相同的小段內(nèi)時(shí)間也趨于零，趨于零的電流改變量與趨于零的時(shí)間比值不為零，即自感電動(dòng)勢(shì)不為零.第n段中電荷通過線圈克服自感電動(dòng)勢(shì)做功

ΔWn=εnΔqn

畫出LI-I的圖象將得到一條斜率為L(zhǎng)的直線.與前方討論類似，將橫軸分成無窮多份，第n份中圖象與橫軸圍成的面積等于第n段做功數(shù)值.對(duì)于電流由初始狀態(tài)為零增大到末狀態(tài)為I0的過程，電荷克服自感電動(dòng)勢(shì)做功等于圖象與橫軸圍成的總面積

五、總結(jié)

參考文獻(xiàn)：

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