江西師大數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (330027)

付奕玲*

1 引言

一般地，人們對特殊事物往往易于接受、理解，由特殊到一般是人們普遍的認(rèn)識過程.同樣的，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程也往往是在特殊條件下進(jìn)行分析，然后再推廣應(yīng)用于相同屬性的對象.這種從個別或特殊的事物所做的判斷，再推廣到同類事物的判斷，即為從特殊到一般的推理.數(shù)學(xué)概念是建立在相關(guān)法則、公式及定理基礎(chǔ)上的，所以要理解一個數(shù)學(xué)概念，就必須圍繞這個概念逐步構(gòu)建相應(yīng)的概念網(wǎng)絡(luò)，使概念之間形成網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點越多、路徑越豐富，概念理解相對就越深刻.數(shù)學(xué)定理是數(shù)學(xué)知識中的重要基礎(chǔ)和工具，定理的證明和發(fā)現(xiàn)過程對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和邏輯思維具有不可替代的重要意義.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中往往需要將把認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有特殊的概念和定理，與一般的概念和定理建立起合乎學(xué)生理解的邏輯關(guān)系，并努力形成實質(zhì)性的聯(lián)系，從而達(dá)到有意義的數(shù)學(xué)建構(gòu)學(xué)習(xí)的目標(biāo).

2 案例

案例1 由函數(shù)關(guān)于原點對稱推廣到關(guān)于任意點對稱

“數(shù)學(xué)科學(xué)特別展示了秩序、對稱和極限，這些是美的最偉大的形式”.對稱，是數(shù)學(xué)美的一種表現(xiàn)形式，這種對稱美在函數(shù)知識內(nèi)容里有充分的詮釋.比如奇函數(shù)的定義為：對于函數(shù)f(x)的定義域D內(nèi)任意一個x，如果都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù).由定義可知奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱.原點是一個特殊點，其本質(zhì)特征是關(guān)于點的對稱關(guān)系，如果將定義的特殊屬性推廣到一般條件下，最簡單的就是關(guān)于任意點(a,b)的對稱問題.

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，從函數(shù)圖像觀察可知，就是函數(shù)中對應(yīng)點的橫坐標(biāo)關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱，驗證關(guān)系式亦成立，由此猜想是否關(guān)于任意點(a,b)的對稱也就是函數(shù)上的對應(yīng)點橫坐標(biāo)關(guān)于x=a對稱，縱坐標(biāo)關(guān)于y=b對稱.根據(jù)對稱的性質(zhì)，自變量關(guān)于x=a對稱，設(shè)其中一點的橫坐標(biāo)為x,則另一個對稱點的橫坐標(biāo)為-x+2a；對應(yīng)點的因變量分別為f(x),f(-x+2a)，其中一個自變量縱坐標(biāo)為f(x)，那么另一個關(guān)于y=b對稱的對應(yīng)點的自變量縱坐標(biāo)的值應(yīng)該是-f(-x+2a)+2b，即f(x)=-f(-x+2a)+2b，也可以變換為f(a+x)-b=-f(a-x)+b.這是分析和猜想的結(jié)果，要確定是否為此關(guān)系式，還需要經(jīng)過驗證.

一般又可開展以下的特殊化驗證過程：(1)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，把a(bǔ)=0，b=0代入f(x)=

案例2 由勾股定理推廣到余弦定理

勾股定理是數(shù)學(xué)內(nèi)容中的“千年第一定理”，表示的是直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，即c2=a2+b2.定理表示的是三角形邊與邊之間的關(guān)系，其中有一個特殊條件就是直角三角形，所以應(yīng)該是邊角之間的關(guān)系，自然地會猜想一般的三角形是否也存在類似的邊角關(guān)系.因為特殊三角形的邊角關(guān)系滿足一般三角形的邊角關(guān)系，所以一般三角形的邊角關(guān)系式中不可能是在c2=a2+b2中的一項或幾項中乘以某個數(shù)或式子，故一般三角形的邊角關(guān)系式應(yīng)該是在c2=a2+b2的基礎(chǔ)上存在另外的項.

猜想以其中一個角為30°的特殊直角三角形為例進(jìn)行探索，如圖1所示，∠C=90°，∠A=30°，c=2.

圖1

猜想1c2=a2+b2+x(x表示未知項)，當(dāng)∠C=90°時，最后一項不存在，所以在未知項里面可能有cosC，即被求邊的對應(yīng)角的余弦值.

c=2.

猜想7a2=b2+c2-c2bcosA，推理可知，在一般式中，b，c的地位應(yīng)該是一致的，所以添加的一項中應(yīng)該也只有一個c，所以z=2c更合理.

猜想8a2=b2+c2-2bccosA，如果猜想正確，即b2=a2+c2-2accosB也成立，將已知的邊角的值代入最終猜想的一般式中，驗算得出式子兩邊的值相等.

3.結(jié)語

由特殊到一般是數(shù)學(xué)建構(gòu)學(xué)習(xí)的一種重要方式，這種學(xué)習(xí)方式要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的特殊內(nèi)涵分析、提煉，并作廣泛遷移.教師不應(yīng)該是把現(xiàn)成的結(jié)論教給學(xué)生，而是根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生發(fā)展過程，創(chuàng)設(shè)問題情境，充分利用各種方式方法，設(shè)計系列問題，增加輔助環(huán)節(jié)，并讓學(xué)生通過大量的圖形觀察和實際問題的演算，使直觀想象到發(fā)現(xiàn)猜想和歸納，最后進(jìn)行結(jié)論的驗證和理論證明，從而使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程，逐步掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)方式和方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率，真正發(fā)揮由特殊到一般的數(shù)學(xué)建構(gòu)學(xué)習(xí)過程在數(shù)學(xué)教育中的育人價值.