浙江省金華市第六中學(xué) (321000)

虞 懿

浙江省麗水中學(xué) (323000)

曹 斌

1 證法舉隅

證法1(平面向量法)：

思考：本證法是最常見(jiàn)的證明方法，但計(jì)算量是比較大的．

思考：上述證法是運(yùn)用空間解析幾何的向量積，雖然這是個(gè)平面問(wèn)題，但是平面也是空間的一部分，這也充分說(shuō)明向量積在處理某些面積問(wèn)題時(shí)是有優(yōu)勢(shì)的.

圖1

考慮到A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)可以互換，所以SΔAOB=

思考：對(duì)面積進(jìn)行合理割補(bǔ)，從而構(gòu)成我們所熟悉的圖形面積問(wèn)題進(jìn)而解決，這是很常用的方法．

思考：幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算，用點(diǎn)到直線的距離以及最常規(guī)的面積公式解決問(wèn)題．

2 應(yīng)用舉隅

(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；(2)求ΔPAB的面積．

解：(1)由直線PA的斜率存在，設(shè)切線PA的方程為y=k(x-t)(k≠0).聯(lián)立方程

由Δ=16k2-16kt=0,解得k=t.當(dāng)k=t時(shí)，由x2-4kx+4kt=0,解得x=2t.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2).

評(píng)注：利用三角形面積公式的坐標(biāo)表示來(lái)求解問(wèn)題(2)，避免了對(duì)邊長(zhǎng)和高的計(jì)算，簡(jiǎn)化了解題步驟，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

圖2

解：如圖2所示，設(shè)A=(cosα,sinα),B=(cosβ,

評(píng)注：利用三角形面積的坐標(biāo)公式求解關(guān)鍵在于確定三角形各點(diǎn)的坐標(biāo)．

評(píng)注：本題的解法多種多樣，但運(yùn)用三角形面積公式的坐標(biāo)形式解決，可使思路清晰，過(guò)程優(yōu)化．

例4 (2011河南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第11題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心，分別以a,b(a>b>0)為半徑作兩個(gè)圓．點(diǎn)Q是大圓半徑OP與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AN⊥Ox，垂足為N,過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥PN,垂足為M,記當(dāng)半徑OP繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

評(píng)注：這里應(yīng)用三角形面積的坐標(biāo)公式及用橢圓的參數(shù)方程形式表示橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，將已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值問(wèn)題，避免了復(fù)雜的運(yùn)算．從而使解題過(guò)程清晰流暢，令人賞心悅目，流連忘返．

從以上數(shù)例可以看出，運(yùn)用三角形面積公式