于祥敏， 陳德偉， 白植舟， 洪能達

(1. 同濟大學 土木工程學院， 上海 200092； 2. 寧波市江東陽光軟件開發(fā)中心， 浙江 寧波 315040)

工程中經(jīng)常用到滑輪與索形成的組合結構，其中一種為滑移索結構，即滑輪用于索結構的轉(zhuǎn)向和支承，索可繞滑輪滑動直到達到平衡狀態(tài).滑移索結構中滑輪兩邊的索段長度會不斷變化，其內(nèi)力和變形的求解較復雜，常規(guī)的有限元方法不便于求解，僅有少量研究涉及到滑移索結構的有限元法分析[1-2].郭彥林等[2]提出了冷凍升溫法，通過虛加溫度荷載來調(diào)整滑輪兩側索單元的長度；Mcdonald等[3]建立了一種新單元模擬索在鏈桿連接的滑輪上滑動；唐建民等[4]通過推導索的滑移剛度矩陣來考慮索的滑移；Aufaure[5]采用附加廣義自由度的方法以考慮索的滑移；魏建東等[6]采用二分法調(diào)整滑輪兩側索的無應力長度實現(xiàn)滑輪處索力連續(xù)性；彭偉賢等[7]提出了拉力分配法，即將不平衡拉力按相應的不平衡力分配系數(shù)進行分配，直到不平衡拉力為零；Ju等[8]提出一種超級單元模型以研究索繞多個滑輪的轉(zhuǎn)動；Chung等[9]提出一種三維懸鏈線索單元考慮索的滑移效應；俞鋒等[10]將索離散成相互聯(lián)系的質(zhì)點集合，通過質(zhì)點運動描述索滑移.

針對滑移索結構，本文提出一種基于滑輪相鄰索單元角平分線的簡捷分析方法，可有效解決其分析復雜和困難的難題.計算示例和工程實例均驗證了該方法的正確性和高效性.

1 基本假定

(1)索為理想柔性且滿足虎克定律，始終處于彈性工作階段.

(2)不計滑輪與索之間的摩擦力，即平衡狀態(tài)滑輪兩側的索力大小相等.

(3)滑輪半徑是小量，不計滑輪半徑的影響，將其簡化為一個點.

2 計算原理

對于如圖1a所示滑移索結構，當繞過滑輪的索在兩側存在不平衡力F1、F2時(假定F1

a 滑移索結構

b 簡化模型圖1 滑移索結構及簡化分析模型Fig.1 Sliding cable structure and simplified model

3 計算方法

采用多段桿單元模擬索，采用固定鉸模擬滑輪對索的約束作用，簡化模型如圖1b所示.其中，O點為滑輪鄰近索單元的切線交點；α1、α2為滑輪處相鄰索單元的水平夾角；β為滑輪處相鄰索單元角平分線的方向角；F1、F2為滑輪處相鄰索單元的最終索力，平衡狀態(tài)時F1=F2.為敘述方便，后文將沿角平分線方向的約束反力簡稱為徑向反力，而垂直于角平分線方向的約束反力簡稱切向反力.平衡狀態(tài)下固定鉸約束力作用方向與相鄰索單元的角平分線重合，因此其切向反力為零.

3.1 無應力長度調(diào)整影響矩陣M

滑移索結構中索單元所承受的自重和外荷載不會改變索的無應力長度，只有給索單元主動施加的索力會改變其無應力長度[12].在滑移索結構有限元分析時，滑輪對索的約束作用簡化為一固定鉸.當索繞滑輪滑動時(假設左側索滑入右側索時滑輪處無應力索長調(diào)整量為正，反之為負)，當該滑動作用導致左側索無應力長度縮短ΔL時，右側索無應力長度將增長ΔL，顯然通長索整體的無應力長度依然保持恒定.

當該滑輪處無應力長度調(diào)整量為單位長度時(即ΔL=1)，索主動施加的初始索力變化(即名義索力)為

(1)

式中：L1和L2分別為左側和右側索的無應力索長；E和A分別為索的彈性模量和有效截面積.

在新荷載作用下，問題的求解最后歸結為每個滑輪處無應力長度調(diào)整量，未知數(shù)個數(shù)即為滑輪數(shù)量.本文采用影響矩陣法求解，即

Ftar=Mf+Fcon

(2)

式中：M為滑輪無應力長度調(diào)整影響矩陣，其子元素Mij代表j滑輪無應力長度調(diào)整量為單位長度時產(chǎn)生的i處滑輪切向反力，顯然，當i、j為非相鄰滑輪時，該子元素為零；f為滑輪無應力長度調(diào)整量向量，屬于需要求解的未知數(shù)；Fcon為自重和外荷載等固定荷載作用下滑輪切向反力向量;Ftar為零向量，即所有滑輪處滑輪切向反力為零，由此滿足索力連續(xù)性.求解方程(2)即可得到滑輪無應力長度調(diào)整量向量.

在求解得到各滑輪處無應力調(diào)整量后，仿照公式(1)對各子索主動施加的初始索力進行調(diào)整，施加自重和外荷載即可計算得到無應力長度調(diào)整后各子索的線形和內(nèi)力.

3.2 角平分線法迭代過程

角平分線法的流程如圖2所示，具體步驟如下：

(1)建立滑移索結構的有限元模型.

(2)對每根索施加公式(1)的索力變化量，求解得到滑輪單位無應力長度調(diào)整影響矩陣M，求解方程(2)得到滑輪無應力長度調(diào)整量.

(3)重新計算各子索的線形，調(diào)整滑輪兩側索單元角平分線的方向角，按照步驟(2)重新計算，重復至全部子索的線形和內(nèi)力收斂.

為方便起見，圖2流程圖僅僅列出以角平分線方向角收斂(即索的線形)為判斷準則，實際計算可同時應用索力收斂判斷，即采用線形和內(nèi)力雙控作為收斂判斷準則.

圖2 角平分線法流程圖Fig.2 Flowchart of angle bisector method

4 計算示例

4.1 算例1

滑移索結構的算例1如圖3所示，索單元總無應力長度為150 m，其中左邊索的無應力長度L1=50 m，角度為45°，劃分為16個單元；右邊索無應力長度L2=100 m，角度為15°，劃分為32個單元.索單元截面積均為A=0.017 48 m2，彈性模量E=195 GPa，自重γ=96 kN·m-3.

圖3 算例1Fig.3 Sample 1

由于該算例的滑移索結構只有1個滑輪，因此其影響矩陣M為1階，即1個數(shù)值.算例1迭代過程的關鍵結果列于表1，其中“影響矩陣”和“無應力索長調(diào)整量”欄均為當前行“角平分線方向角”對應的求解值；“最終索力”欄為考慮各子索無應力索長調(diào)整后的求解值，下一行的“角平分線方向角”即為該行“最終索力”作用下結構的變形結果.

由表1可知：①影響矩陣M隨著索形的變化在迭代過程中不斷更新.②迭代過程中，在無應力索長調(diào)整后的基礎上計算索力，可以發(fā)現(xiàn)滑輪處左右側索力將存在不閉合誤差.該不閉合誤差隨著迭代的進行不斷收斂，4步迭代后不閉合誤差僅為0.002%.③迭代過程中角平分線方向角同樣很快收斂，4步前后誤差僅為0.012%，略慢于索力不閉合誤差的收斂速度.

4.2 算例2

文獻[2]的算例為工型截面懸臂鋼梁，通過一根跨過滑輪的鋼索懸掛，其中作用于鋼梁上的均布荷載為3.16 kN·m-1，如圖4所示.索和鋼梁的彈性模量分別為180 GPa和210 GPa，面積分別為3.65 cm2和33.36 cm2.采用本文提出的角平分線法進行索滑移的模擬，并與文獻[2]中的冷凍升溫法進行對比，計算結果見表2.由表2可知：角平分線法與冷凍升溫法相比，索力不閉合誤差更小，收斂速度更快，二者計算結果吻合很好.

圖4 斜拉梁算例(單位：mm)Fig.4 Cable-stayed beam(unit: mm)表1 算例1迭代過程Tab.1 Iteration process for sample 1

迭代次數(shù)α/(°)116單元117單元β/(°)βi-βi-1βi()%M/kN無應力索長/m最終索力/kN調(diào)整量總長度116單元117單元最終索力不閉合誤差/%145.00015.000105.00039321.5400.01584121501380.2811412.0182.248246.16418.203103.9810.98039439.8190.01633041501406.3291407.2380.065346.14218.214103.9640.01639441.5970.01632431501406.7681407.1590.028446.13018.226103.9520.01239442.8330.01632011501407.0771407.1030.002

表2 算例2結果比較Tab.2 Result comparison for sample 2

5 工程實例

貴黔高速上的鴨池河特大橋為主跨800 m的混合梁斜拉橋，主跨為鋼桁梁，邊跨為預應力混凝土梁，其中主跨鋼桁梁采用纜索吊機懸臂拼裝施工[13].纜索吊機設計起吊能力為350 t，單側主纜由12根Φ60 mm鋼絲繩組成，左邊和右邊主纜水平投影長度分別為(208.6+800.0+323.1)m、(243.2+800.0+287.4)m，如圖5所示.

纜索吊機的索鞍為典型的滑移索結構，主要由定滑輪組和鋼框架組成.索鞍固定在主塔橫梁上，主纜可繞滑輪滑動.為驗證纜索吊機的性能，纜索吊機在投入使用前進行了試吊試驗.試驗過程中，纜索吊機將251 t試驗荷載從貴陽岸的起吊點運送到黔西岸卸載，期間測量了主纜力和主塔位移.

圖5 工程實例(單位：m)Fig.5 Application to engineering (unit: m)

采用本文提出的方法進行纜索吊機仿真分析，有限元模型及單元編號如圖6所示，其中主塔和主纜分別采用梁單元和多段桿單元模擬，主纜面積為A=0.001 824 m2，彈性模量為E=195 GPa.該纜索吊機每側主纜有2個滑輪，全橋共4個滑輪，因此其影響矩陣M為4×4階方陣.迭代過程采用線形和索力雙控，誤差控制精度均設為δ=0.05%.

首先根據(jù)設計空纜線形確定主纜的無應力長度和索力，即確定結構的初始平衡狀態(tài).試驗過程中荷載從貴陽岸移動到黔西岸，加載點和計算工況較多，但分析過程相似.本文僅給出251 t試驗荷載位于跨中位置的迭代過程，詳見表3.由表3可知：僅2次迭代即可達到滑輪兩側的索力不閉合誤差均小于0.05%的精度，計算效率很高.最后輸出主纜力和主塔位移等結果并與荷載試驗的現(xiàn)場實測值進行對比，如圖7所示.從圖7可以看出：纜索吊機的數(shù)值分析結果與現(xiàn)場實測值吻合較好，二者誤差小于3.5%，驗證了本文提出方法的正確性和可行性.

表3 荷載位于跨中的迭代計算Tab.3 Iteration process for test load at mid-span

圖6 纜索吊機有限元模型及單元編號Fig.6 Finite element model for cable crane andelement number

a 主纜力

b 主塔位移圖7 荷載試驗結果Fig.7 Results of load test

6 結 語

滑移索結構中，由于索可繞滑輪滑動，因此求解其內(nèi)力和變形非常復雜.本文提出一種基于角平分線和無應力長度調(diào)整影響矩陣的簡捷分析方法，并以計算示例和工程實例進行驗證.該方法具有力學概念清晰、計算效率高等優(yōu)點，文中算例僅需要2～4次迭代即可達到很高精度的收斂解.

參考文獻:

[1] 張立新, 沈祖炎. 預應力索結構中的索單元數(shù)值模型[J]. 空間結構, 2000, 6(2): 18.

ZHANG Lixin, SHEN Zuyan. Numerical model of prestressed cable element in cable structure [J]. Spatial Structures, 2000, 6(2): 18.

[2] 郭彥林, 崔曉強. 滑動索系結構的統(tǒng)一分析方法——冷凍-升溫法[J]. 工程力學, 2003, 20(4): 156.

GUO Yanlin, CUI Xiaoqiang. An unified analytical method for gliding cable structures-frozen-heated method [J]. Engineering Mechanics, 2003, 20(4): 156.

[3] MCDONALD B M, PEYROT A H. Analysis of cables suspended in sheaves [J]. Journal of Structural Engineering, ASCE, 1988, 114(3): 693.

[4] 唐建民, 沈祖炎. 懸索結構非線性分析的滑移索單元法[J]. 計算力學學報, 1999, 16(2): 17.

TANG Jianmin, SHEN Zuyan. Sliding cable element method for nonlinear analysis of cable structure [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 1999, 16(2): 17.

[5] AUFAURE M. A three node element ensuring the continuity of the horizontal tension a clamp cable element [J]. Computers & Structures, 2000, 7(4): 243.

[6] 魏建東, 劉忠玉. 一種連續(xù)索滑移的處理方法[J]. 計算力學學報, 2003, 20(4): 495.

WEI Jiandong, LIU Zhongyu. A method of continuous slipping cable [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2003, 20(4): 495.

[7] 彭偉賢, 陳春雷, 梁佶, 等. 一種滑移索的簡捷計算方法[J]. 結構工程師, 2005, 21(1): 30.

PENG Weixian, CHEN Chunlei, LIANG Ji,etal. A simplified calculation method for dealing with sliding cable [J]. Structural Engineers, 2005, 21(1): 30.

[8] JU F, CHOO Y S. Super element approach to cable passing through multiple pulleys [J]. International Journal of Solids and Structures, 2005, 42(11): 3533.

[9] CHUNG K, CHO J, PARK J,etal. Three-dimensional elastic catenary cable element considering sliding effect [J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 2011, 137(4): 276.

[10] 俞鋒, 羅堯治. 索桿結構中索滑移行為分析的有限質(zhì)點法[J]. 工程力學, 2015, 32(6): 109.

YU Feng, LUO Yaozhi. The finite particle method for analysing cable sliding in cable-strut structures [J]. Engineering Mechanics, 2015, 32 (6): 109.

[11] 趙朝陽, 楊文爽, 李傳習, 等. 纜索吊裝主索系統(tǒng)的受力分析算法與工作性能[J]. 廣西大學學報(自然科學版), 2010, 35(4): 615.

ZHAO Chaoyang, YANG Wenshuang, LI Chuanxi,etal. Study on static analysis and working performance of the main cable system in the cable-hoisting system [J]. Journal of Guangxi University (Natural Science), 2010, 35(4): 615.

[12] 秦順全. 斜拉橋安裝無應力狀態(tài)控制法[J]. 橋梁建設, 2003, 33(2): 31.

QIN Shunquan. Control method of stress-free status for erection of cable-stayed bridges [J]. Bridge Construction, 2003, 33 (2): 31.

[13] 于祥敏, 陳德偉, 白植舟, 等. 貴黔高速鴨池河特大橋鋼桁梁施工關鍵技術 [J]. 橋梁建設，2017, 47(4): 107.