劉月飛， 樊學平

(1. 蘭州大學 西部災害與環(huán)境力學教育部重點實驗室， 甘肅 蘭州 730000；2. 蘭州大學 土木工程與力學學院， 甘肅 蘭州 730000)

橋梁健康監(jiān)測(BHM)是保障橋梁結構安全的重要技術，通常包括數(shù)據(jù)采集和監(jiān)測數(shù)據(jù)的合理應用兩方面內(nèi)容.數(shù)據(jù)采集方面主要包括監(jiān)測系統(tǒng)組裝技術[1]、數(shù)據(jù)壓縮[2-3]和數(shù)據(jù)恢復[4]方法等，目前已處于相對成熟階段.監(jiān)測數(shù)據(jù)處理主要集中在模態(tài)分析、損傷識別、損傷評估、可靠性評估以及模型修正等領域[5-9]，目前研究結果仍難以有效預測結構的動態(tài)可靠性.因此如何有效利用BHM信息預測結構可靠性仍是BHM領域備受關注的研究難點.

考慮到橋梁有限元建模和模型更新的復雜性和困難性，采用無需模型的分析方法逐漸成為BHM領域的研究趨勢.基于實際監(jiān)測數(shù)據(jù)，采用無需模型的分析方法預測橋梁的動態(tài)可靠性已取得一些研究成果.Frangopol等[10-11]提出了基于監(jiān)測極值的橋梁性能的可靠性預測方法，并與同年提出了基于貝葉斯更新的橋梁可靠性預測方法，兩種方法分析過程中分別采用一次回歸函數(shù)和常值函數(shù)進行可靠性預測，均未考慮監(jiān)測變量的動態(tài)隨機性.趙卓[12]采用自回歸滑動平均(ARMA)模型動態(tài)預測了長春伊通河橋構件的荷載效應(撓度、加速度以及索力等)，并基于此進行了可靠性評估，分析過程中亦未考慮監(jiān)測變量的動態(tài)隨機性，且存在模型長期預測精度不高的問題.樊學平等[13-16]利用BHM數(shù)據(jù)，研究了基于貝葉斯動態(tài)線性模型和貝葉斯動態(tài)非線性模型的橋梁構件可靠性動態(tài)預測方法，分析過程中將非線性模型近似轉化為線性模型來處理，但貝葉斯動態(tài)線性模型存在對狀態(tài)方程和觀測方程依賴性高的問題，對此，樊學平等進一步研究了基于高斯粒子濾波器的橋梁構件可靠性動態(tài)預測方法，在分析過程中，雖然解決了對狀態(tài)空間模型依賴性強的問題，但又存在高斯粒子濾波器重要性函數(shù)的合理選擇問題，于是又進行了橋梁極值應力的改進高斯混合粒子濾波器預測算法研究，但分析過程中存在如何使動態(tài)線性模型合理簡單化和折扣因子如何選擇的問題.

綜上所述，考慮到貝葉斯動態(tài)線性模型和高斯粒子濾波器中動態(tài)模型的復雜性，本文作者經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)以下問題需要解決：①如何確定合理的折扣因子和建立監(jiān)測數(shù)據(jù)簡單可行的動態(tài)模型；② 如何基于折扣高斯粒子濾波器算法和BHM數(shù)據(jù)建立橋梁動態(tài)可靠性預測方法.

鑒于上述問題，本文研究了折扣高斯粒子濾波器和BHM數(shù)據(jù)相結合的橋梁構件動態(tài)可靠性預測方法，具體研究步驟為：①以在役BHM系統(tǒng)歷史監(jiān)測的大量日常極值應力信息為一個時間序列，建立極值應力的折扣動態(tài)線性模型；②基于建立的動態(tài)線性模型和實時監(jiān)測數(shù)據(jù)，結合高斯粒子濾波器算法不斷動態(tài)預測極值應力信息，給出影響預測精度的合理折扣因子區(qū)間和最優(yōu)折扣高斯粒子濾波器預測算法；③研究最優(yōu)折扣高斯粒子濾波器算法和一次二階矩(FOSM)可靠性方法相結合的橋梁動態(tài)可靠性預測方法，并通過實際橋梁的監(jiān)測數(shù)據(jù)驗證所提方法的合理性和適用性.

1 橋梁日常監(jiān)測極值應力的動態(tài)線性模型

動態(tài)線性模型由線性觀測方程、線性狀態(tài)方程以及初始狀態(tài)信息3部分組成.狀態(tài)方程反映了監(jiān)測變量和系統(tǒng)隨時間變化的水平，觀測方程反映了監(jiān)測變量和狀態(tài)變量之間的關系.本文主要通過橋梁歷史日常監(jiān)測極值應力數(shù)據(jù)建立動態(tài)線性模型，如圖1所示.

1.1 狀態(tài)方程的建立

由圖1可知，狀態(tài)方程可以由初始狀態(tài)信息得到，如圖2所示.

圖1 動態(tài)線性模型的建立Fig.1 Building of dynamic linear model

圖2 狀態(tài)方程的建立Fig.2 Building of state equation

狀態(tài)方程的詳細建立步驟如下：

(1)利用五點三次平滑處理方法[12]，對歷史監(jiān)測日常極值應力數(shù)據(jù)進行重采樣，近似得到初始狀態(tài)數(shù)據(jù).

(2)對初始狀態(tài)數(shù)據(jù)進行一階差分處理，差分值的平均值或中位值作為初始狀態(tài)的平均變化水平.

(3)利用所得的狀態(tài)值和差分值，建立狀態(tài)方程.

基于圖2和詳細建立步驟，所建立的狀態(tài)方程為

θt+1=θt+E(Δt)(或M(Δt))+ωt，

ωt～N(0,Wt)

(1)

式中：θt為t時刻的狀態(tài)值；Δt為t時刻及以前的狀態(tài)數(shù)據(jù)差分集合；E(Δt)和M(Δt)分別為Δt的平均值和中位值；N(·)為高斯概率密度函數(shù)；ωt為t時刻的狀態(tài)誤差；Wt為狀態(tài)誤差的方差.

1.2 觀測方程的建立

觀測方程可以用監(jiān)測數(shù)據(jù)和狀態(tài)變量來表示，考慮到監(jiān)測極值數(shù)據(jù)的不確定性和隨機性，建立的觀測方程為

yt+1=θt+1+νt+1,νt+1～N(0,Vt+1)

(2)

式中：yt+1為t+1時刻的監(jiān)測值；νt+1為監(jiān)測誤差，且服從方差為Vt+1的正態(tài)分布.

基于1.1節(jié)和1.2節(jié)，本文建立的動態(tài)線性模型如下：

觀測方程為

yt+1=θt+1+νt+1,νt+1～N(0,Vt+1)

(3)

狀態(tài)方程為

θt+1=θt+E(Δt)(或M(Δt))+ωt,

ωt～N(0,Wt)

(4)

初始狀態(tài)信息為

θt|Dt～N(θt|mt,Ct,Dt)

(5)

式中：mt為點估計得到的θt的平均值；Ct為θt的方差；Dt為t時刻及以前的監(jiān)測數(shù)據(jù)集，即Dt={yt,Dt-1}.

動態(tài)線性模型中，θt、νt+1以及ωt+1之間相互獨立，且各自獨立.

1.3 動態(tài)線性模型中主要概率參數(shù)的確定

動態(tài)線性模型中需要確定的主要概率參數(shù)包括Vt+1、Wt+1、mt和Ct，這些參數(shù)的確定方法如下：

Vt+1可以通過θt+1和yt+1之間差值的方差近似估計得到.由文獻[13,17-18]可知，Wt+1可利用折扣因子近似表達，即

(6)

式中：δ是折扣因子.為了提高動態(tài)線性模型的預測精度，將在下文詳細討論確定合理的折扣因子預測值及區(qū)間.

mt和Ct可由t時刻及以前監(jiān)測值的重采樣數(shù)據(jù)近似估計得到[16].

相對于文獻[16]所建立的非線性動態(tài)模型，本文建立的動態(tài)線性模型(主要包括線性觀測方程和線性狀態(tài)方程)更簡化，而且建模過程更詳實.

2 高斯粒子濾波器及概率遞推過程

考慮到卡爾曼濾波器離線預測、短期預測以及預測精度不高的局限性[13]，本文基于所建立的折扣動態(tài)線性模型，采用高斯粒子濾波器[19-20]在線動態(tài)預測日常極值應力，概率模擬遞推流程框圖如圖3所示.

動態(tài)線性模型相關的理論概率遞推過程可參考文獻[16]，如式(7)～(9)所示.

θt+1的先驗概率分布函數(shù)為

(7)

一步向前預測分布函數(shù)為

(8)

圖3 基于高斯粒子濾波器的概率模擬遞推過程Fig.3 Probability recursive processes basedon Gaussian particle filter

利用Bayes方法，結合式(7)、式(8)，可得θt+1的后驗分布函數(shù)為

(9)

結合式(7)～(9)，利用高斯粒子濾波器，在線粒子模擬預測詳細過程如下：

(1)p(θt+1|Dt+1)的粒子模擬遞推

Step 2 當獲得新的監(jiān)測值yt+1時，計算每個粒子的權重.

(10)

(11)

Step 3 權重的標準化.

(12)

(13)

(14)

(2)p(θt+2|Dt+1)的粒子模擬遞推

Step 3 利用式(15)和式(16)，可以得到p(θt+2|Dt+1)的概率統(tǒng)計參數(shù)(平均值和方差).

(15)

(16)

(3)p(yt+2|Dt+1)的粒子模擬遞推

Step 3 利用式(17)和式(18)，可以得到p(yt+2|Dt+1)的平均值和方差，即

(17)

(18)

第(1)步至第(3)步在時變監(jiān)測數(shù)據(jù)下，不斷地循環(huán)模擬遞推即可實現(xiàn)圖3所示的基于高斯粒子濾波器的概率模擬遞推過程.

相對于文獻[16]所建立的非線性動態(tài)模型而言，本文建立的動態(tài)線性模型概率遞推過程更簡化，更有利于BHM大量數(shù)據(jù)的不斷修正.

3 基于折扣高斯粒子濾波器的橋梁構件可靠性動態(tài)預測算例分析

3.1 基于折扣高斯粒子濾波器的橋梁構件極值荷載效應動態(tài)預測

美國I-39北橋建于1961年，是一座五跨連續(xù)鋼板梁橋，總長度為188.81 m.橋梁監(jiān)測項目包括結構特定構件的應力和應變評估等[10-11,13, 21].關于檢測項目的詳細內(nèi)容和目的，參見文獻[21].此項目對橫向第二跨鋼板的跨中梁底極值應力進行了83 d的監(jiān)測，由文獻[10-11,13-14,16]可知，這些監(jiān)測數(shù)據(jù)可以反應橋梁結構響應的變化趨勢.

83 d的監(jiān)測數(shù)據(jù)只考慮了由車輛荷載、溫度荷載、收縮徐變和結構變化引起的應力的變異性，由鋼板和混凝土恒載引起的應力信息不包括在內(nèi).現(xiàn)利用前60 d的監(jiān)測極值應力數(shù)據(jù)，建立極值應力的動態(tài)線性模型.

基于圖1、圖2以及式(1)～(5)，建立動態(tài)線性模型.

觀測方程為

yt+1=θt+1+νt+1,νt+1～N(0,21.48)

(19)

狀態(tài)方程為

θt+1=θt+0.010 6+ωt,

ωt～N(0,Wt)

(20)

初始狀態(tài)信息為

θt|Dt～p(θt|Dt)≈N(25.17,23.50)

(21)

基于所建立的動態(tài)線性模型(見式(19)～(21))，采用高斯粒子濾波器(見式(7)～(18))，利用不同的折扣因子(變化范圍為0.18～0.98)，動態(tài)預測了后23 d(第61天到第83天)的極值應力.預測結果見圖4～13.

本文通過預測精度、預測變異系數(shù)以及均方根誤差(反應所有預測數(shù)據(jù)的精密程度)3個指標來確定折扣因子的合理區(qū)間.由圖4～13可知3個指標的預測變化規(guī)律為：

(1)從圖4a～13a可以看出，預測的極值應力及其范圍和監(jiān)測的極值應力基本保持一致.但從圖14可以看出，預測值的均方根誤差(RMSE)隨著折扣因子的增加而增加，所以應取較小的折扣因子.

(2)從圖4b～13b可以看出,折扣高斯粒子濾波器的預測精度(預測方差的倒數(shù))隨著折扣因子的增大而增大，所以建議取較大的折扣因子.

(3)從圖4c～13c可以看出,預測值的變異系數(shù)隨著折扣因子的增大而減小，由于變異系數(shù)可以反映預測值與監(jiān)測值的離散程度，所以建議取較大的折扣因子.

從上面的預測規(guī)律可以看出，折扣因子對極值應力的預測有很明顯的影響.為全面考慮預測值的精度、變異系數(shù)以及均方根誤差對預測數(shù)據(jù)的影響規(guī)律，本文作者建議利用本文建立的折扣高斯粒子濾波器進行極值應力的預測，合理的折扣因子區(qū)間為0.48～0.98.

3.2 基于折扣高斯粒子濾波器的橋梁構件可靠性動態(tài)預測

對美國I-39北橋第二跨邊跨梁中間底部的應力進行了動態(tài)監(jiān)測，該梁的極限狀態(tài)函數(shù)為

g(R,S,C,M)=R-S-C-γMM

(22)

式中：R為鋼材屈服強度；S為鋼材自重產(chǎn)生的應力；C為混凝土自重產(chǎn)生的應力；M為監(jiān)測或預測的極值應力；γM為傳感器的影響系數(shù).

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖4 折扣因子為0.18時的預測結果Fig.4 Predicted data at δ=0.18

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖5 折扣因子為0.28時的預測結果Fig.5 Predicted data at δ=0.28

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖6 折扣因子為0.38時的預測結果Fig.6 Predicted data at δ=0.38

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖7 折扣因子為0.48時的預測結果Fig.7 Predicted data at δ=0.48

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖8 折扣因子為0.58時的預測結果Fig.8 Predicted data at δ=0.58

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖9 折扣因子為0.68時的預測結果Fig.9 Predicted data at δ=0.68

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖10 折扣因子為0.78時的預測結果Fig.10 Predicted data at δ=0.78

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖11 折扣因子為0.88時的預測結果Fig.11 Predicted data at δ=0.88

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖12 折扣因子為0.90時的預測結果Fig.12 Predicted data at δ=0.90

a 預測和監(jiān)測的極值應力

b 預測精度

c 預測的變異系數(shù)圖13 折扣因子為0.98時的預測結果Fig.13 Predicted data at δ=0.98

利用式(22)和FOSM可靠性分析方法[13]，預測的可靠指標計算公式為

(23)

式中：μM和σM分別是M的平均值和方差；μR和σR分別是R的平均值和方差；μS和σS分別是S的平均值和方差；μC和σC分別是C的平均值和方差.

監(jiān)測的可靠指標為

(24)

結合3.1節(jié)，采用δ=0.48，利用式(22)～(24)對結構的動態(tài)可靠指標進行預測，見圖14.

圖14 基于δ=0.48預測和監(jiān)測得到的可靠指標Fig.14 Predicted reliability at δ=0.48

從圖14可以看出,預測的可靠指標與監(jiān)測的可靠指標變化基本一致.但由于考慮到預測極值應力的不確定性和隨機性，因而預測值比監(jiān)測值小，但可以為橋梁的預防性養(yǎng)護維修提供參考依據(jù).

4 結論

本文基于BHM系統(tǒng)采集到的日常極值應力數(shù)據(jù)，研究了折扣動態(tài)線性模型和高斯粒子濾波器相融合的折扣高斯粒子濾波器預測算法，并對結構的可靠指標進行了動態(tài)預測分析，取得以下結論：

(1)基于折扣高斯粒子濾波算法預測的極值應力與監(jiān)測得到的極值應力近似相等(見圖4a～13a).

(2) 給出了本文所提預測算法合理的折扣因子區(qū)間為0.48～0.98.基于監(jiān)測極值應力數(shù)據(jù)的不斷修正，折扣高斯粒子濾波器算法的預測精度越來越好(見圖7b～13b).

(3)基于本文提出的折扣高斯粒子濾波器預測算法，并結合FOSM預測得到的可靠指標比實測的值較小(見圖15)，主要是預測分析時考慮了預測值的不確定性和隨機性.但預測得到的可靠指標對橋梁的預防性養(yǎng)護維修決策可以提供一定的參考依據(jù).

本文提出的折扣高斯粒子預測算法僅通過本文提出的折扣動態(tài)線性模型和高斯粒子濾波算法相融合建立.為降低它的局限性，對更一般的折扣高斯粒子預測算法有待進一步研究.

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