劉義亞 李 可 陳 鵬

1.江南大學(xué)江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，無錫，214122 2.江南大學(xué)機械工程學(xué)院，無錫，214122 3.三重大學(xué),三重，日本，514-8507

0 引言

在傳統(tǒng)的信號提取處理方法中，傅里葉變換是最重要的工具之一，但對于非平穩(wěn)、非線性信號，傅里葉變換卻不適用，其原因是傅里葉變換缺乏時間、頻率的定位功能，在非平穩(wěn)信號分析中有很大局限性。時頻分析技術(shù)在一定程度上解決了該問題，但現(xiàn)有的時頻分析方法都有一定的局限性。如短時傅里葉變換(short time Fourier transform，STFT)方法，其時間窗的大小、形狀都是固定的，與頻率無關(guān)，無法同時獲得精準(zhǔn)的時刻和頻率。連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform ,CWT)在低頻處能夠具有很高的頻率分辨率，而在高頻處，CWT又能夠擁有較高的時間分辨率，它能夠在時頻領(lǐng)域很好地處理非平穩(wěn)信號的突變部分。但是，CWT的變化結(jié)果與小波基以及閾值的選取有著緊密聯(lián)系，在實際處理中很難找到合適的小波基以及閾值，而且CWT得到的小波系數(shù)譜會發(fā)生能量泄漏，使得瞬時頻率能量分布被模糊化，同時時間和頻率分辨率無法同時達到最優(yōu)[1]。DAUBECHIES等[2]提出了同步壓縮變換(synchrosqueezing transform，SST)方法,該方法通過對小波變換結(jié)果進行重組，利用小波變換后信號頻域中相位不受尺度變換影響的特性求取各尺度下對應(yīng)的頻率，再將同一頻率下的尺度相加，從而將相同頻率附近的值壓縮至該頻率中，使得時頻譜中各頻率曲線顯現(xiàn)更為清晰和精確，從而提高時頻分辨率，減少小波能量擴散帶來的時頻譜模糊的現(xiàn)象。LI等[3]對該方法進行研究，提出廣義同步壓縮方法并將該方法應(yīng)用于齒輪箱故障診斷中。GAURAV等[4]將該方法運用到古氣候研究中，取得令人滿意的效果。WU等[5]深度研究了該方法并將其運用到心電圖譜研究中。HERRERA等[6]將該方法應(yīng)用于地震波的分析監(jiān)測中，使得提取的波形特征更為清晰。此外，人們在其他多個領(lǐng)域也都對此方法展開了研究[7]。

基于以上分析，針對滾動軸承故障信號隨機性非線性的特點，本文研究了同步壓縮變換故障信號提取方法,同時將其與小波變換結(jié)合，形成同步壓縮小波變換(synchrosqueezing wavelet transform，SWT)方法。SWT方法以小波變換為基礎(chǔ)，通過壓縮頻率域上所有的頻率成分，從而提高頻率分辨率，消除交叉項，同時在尺度域上減少能量擴散，提高時頻分布的聚集程度，更為清晰地顯示時頻分析結(jié)果，而且能夠高精度地重構(gòu)信號分量。本文研究了同步壓縮變換與小波變換相結(jié)合的基本原理，利用合成的噪聲信號模型進行模擬驗證，然后搭建試驗平臺采集實際滾動軸承故障信號數(shù)據(jù)進行處理驗證，結(jié)果表明該方法能夠很好地提高時頻分辨率。

1 同步壓縮小波變換基本原理

SWT以CWT為基礎(chǔ)，利用小波變換后信號頻域中相位不受尺度變換影響的特性求取各尺度下對應(yīng)的頻率，再將同一頻率下的尺度相加，即重新分配小波變換得到的小波系數(shù)并對其進行壓縮，從而將相同頻率附近的值壓縮至該頻率中，改善了尺度方向的模糊現(xiàn)象，提高了時頻分辨率。主要包括以下幾個步驟。

1.1 小波變換

對信號x(t)進行連續(xù)小波變換，定義為

(1)

函數(shù)族ψa,b(t)由基本小波函數(shù)ψ(t)通過平移和伸縮產(chǎn)生：

(2)

a,b∈R

小波變換過程中的尺度因子選擇32或者64為最優(yōu)。在實際中所采集的工程信號通常包含各種噪聲或其他一些因素，當(dāng)小波變換得到的系數(shù)|Wx(a,b;ψ)|≈0時，計算其相會相對不穩(wěn)定，通常設(shè)定閾值γ將該部分濾除，即令|Wx(a,b;ψ)|>γ，可自適應(yīng)地估算最優(yōu)閾值：

(3)

1.2 同步壓縮

利用小波變換得到的小波系數(shù)Wx(a,b;ψ) (|Wx(a,b;ψ)|>γ)求取瞬時頻率ωx(a,b)，定義

(4)

(5)

式中，ak為離散的尺度；k為尺度個數(shù)。

當(dāng)信號處于離散狀態(tài)時，式(5)中尺度坐標(biāo)Δak為

Δak=ak-ak-1

(6)

頻率坐標(biāo)Δω為

Δω=ωl-ωl-1

(7)

同步壓縮小波變換是可逆的，其逆變換(ISWT)可表示為

(8)

(9)

式中，Cφ取有限值；ψ*(ξ)為基本dξ小波函數(shù)共軛傅里葉變換。

通過式(8)即可無損地重構(gòu)信號了。

1.3 自適應(yīng)閾值去噪

閾值的選取決定了自適應(yīng)閾值去噪的結(jié)果。小波自適應(yīng)閾值去噪法是近幾年來發(fā)展起來的一種新理論,可以同時具有正交性、對稱性、高階消失矩、短支撐性等多種特性。

自適應(yīng)閾值根據(jù)小波系數(shù)的噪聲層次不同可用能量比來確定。小波系數(shù)的能量譜可定義為

(10)

小波系數(shù)的能量比定義為

(11)

根據(jù)小波系數(shù)的噪聲層次不同，每一層小波系數(shù)的閾值可由下式自適應(yīng)地獲得：

(12)

(13)

式中，M為小波系數(shù)的中位數(shù)絕對值；n為信號長度。

綜上所述，基于同步壓縮小波變換的滾動軸承故障信號提取的實現(xiàn)步驟如下：

(1)首先對滾動軸承故障信號x(t)進行小波變換得到小波變換系數(shù)Wx(a,b;ψ)。

(2)再對小波變換系數(shù)(|Wx(a,b;ψ)|>γ)進行同步壓縮得到同步壓縮系數(shù)Tx(ωl,b)。

(3)使用小波自適應(yīng)閾值去噪法對同步壓縮系數(shù)進行自適應(yīng)閾值去噪。

(4)在有效信號頻帶范圍內(nèi)對同步壓縮變換系數(shù)進行積分抽取。

(5)利用抽取的有效信號進行同步壓縮變換重構(gòu)，從而實現(xiàn)滾動軸承故障信號提取。

2 仿真分析

為了驗證基于同步壓縮小波變換滾動軸承故障信號提取方法的可行性，本文構(gòu)造了一個合成信號f(t)進行分析。該信號采樣點數(shù)為2000，采樣間隔為5 ms，信號由三種不同信號分量合成：

f(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

(14)

x1(t)=[1+0.5cos(2.5t)]cos[2π(5t+2t1.3)]

x2(t)=2e-0.1tsin(30πt)

x3(t)=(1+0.5cost)cos(4πt)

對信號加入信噪比(SNR)為1.5的高斯白噪聲，使用SWT處理加噪信號。

圖1所示為模擬的噪聲信號及SWT結(jié)果。對含噪混合信號進行SWT處理，觀察圖1c，圖中三種頻率成分清晰可見，說明SWT能夠很好地壓制隨機噪聲，提取出特征頻率。SWT是一種可逆變換，對變換結(jié)果進行自適應(yīng)閾值降噪后重構(gòu)，觀察圖1d～圖1g中不同頻率成分重構(gòu)結(jié)果，除邊緣部分外，重構(gòu)信號與原信號具有較高的重合度，反映出SWT具有良好的重構(gòu)能力，能夠很好地提取和重構(gòu)信號。

(a)模擬的原信號

(b)含噪混合信號

(c)含噪信號SWT結(jié)果

(d) x1(t)原信號和SWT重構(gòu)信號的對比

(e) x2(t)原信號和SWT重構(gòu)信號的對比

(f) x3(t)原信號和SWT重構(gòu)信號的對比

(g)原合成信號和SWT重構(gòu)信號的對比圖1 模擬信號處理結(jié)果Fig.1 Processing results of simulation test

不斷改變信噪比并計算重構(gòu)信號與原信號的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表1所示。

表1 SWT重構(gòu)信號與原信號相關(guān)系數(shù)

由表1可以看出，隨著信噪比不斷減小，SWT重構(gòu)信號與原信號的相關(guān)系數(shù)雖然不斷減小，但都高于0.96，由此可以看出SWT重構(gòu)信號與原信號相關(guān)性很高，證明SWT具有較高的信號提取精度和良好的降噪能力。

綜上所述，我們可以看出SWT具有較高的抗噪能力，能夠很好地提高時頻分辨率，同時能夠較好地還原信號信息，高精度地提取并重構(gòu)信號的不同頻率成分。

3 試驗和驗證

3.1 試驗平臺

試測數(shù)據(jù)來自圖2所示風(fēng)機試驗平臺中滾動軸承故障信號。滾動軸承常見的故障類型為外圈故障和內(nèi)圈故障，如圖3所示，其故障特征頻率計算公式如下：

圖2 滾動軸承故障診斷試驗平臺Fig.2 Experimental platform of roller bearingfault diagnosis

(a)外圈故障 (b)內(nèi)圈故障圖3 軸承故障類型Fig.3 The type of bearing fault

內(nèi)圈故障特征頻率

(15)

外圈故障特征頻率

(16)

式中，fr為轉(zhuǎn)頻；d為滾珠直徑；D為節(jié)圓直徑(滾動體中心所在圓的直徑)；?為接觸角；Z為滾珠數(shù)。

風(fēng)機試驗平臺采用輸出帶寬為5 Hz到60 kHz且靈敏度為10 mV/g的加速度傳感器(PCB MA352A60)采集垂直方向的振動信號數(shù)據(jù)，將傳感器用螺絲固定在軸承座上，采集的信號包括滾動軸承正常振動信號、外圈故障信號和內(nèi)圈故障信號，風(fēng)機試驗滾動軸承具體參數(shù)見表2。信號經(jīng)過傳感器信號調(diào)節(jié)器(PCB ICP Model 480C02)放大后傳輸至信號記錄儀(Scope Coder DL750)。在恒定轉(zhuǎn)速(1000 r/min)下進行試驗數(shù)據(jù)采集，采樣頻率f為50 kHz。通過線切割加工技術(shù)，在風(fēng)機試驗臺滾動軸承外圈加工0.3 mm×0.15 mm(寬×深)微小凹痕(圖3a)以模擬外圈故障在內(nèi)圈加工0.5 mm×0.15 mm(寬×深)微小凹痕(圖3b)以模擬內(nèi)圈故障。由式(15)、式(16)求得其外圈和內(nèi)圈的故障特征頻率分別為88.64 Hz和128.03 Hz。

表2 軸承參數(shù)

3.2 信號處理及分析

對信號進行處理，圖4為滾動軸承正常振動信號、外圈故障振動信號和內(nèi)圈故障振動信號的波形圖。

本文提出了在小波變換基礎(chǔ)上利用同步壓縮變換方法對信號進行處理，以減小小波變換帶來的能量擴散，提高小波變換之后的能量聚集程度，使得各頻率特征能夠較為清晰地呈現(xiàn)在時頻譜中，從而能夠?qū)C械運轉(zhuǎn)狀態(tài)進行準(zhǔn)確判斷。

本文選擇bump小波對故障信號進行小波變換，針對外圈故障信號，圖5a為濾波后的故障信號短時傅里葉譜，從圖中無法找出任何頻率特征。對濾波后的故障信號進行小波變換處理，圖5b給出了小波變換時頻譜，顯然，小波變換的效果不是特別理想，由于能量泄漏嚴(yán)重，致使小波變換時頻譜不僅無法看出特征頻率，而且低頻部分仍殘留很大噪聲。使用同步壓縮對小波變換后的小波系數(shù)進行處理，并進行自適應(yīng)閾值降噪，結(jié)果如圖5c所示。圖5c清晰地反映出該方法不僅濾除了絕大部分噪聲，而且時頻譜中88.34 Hz、177 Hz以及267 Hz處都出現(xiàn)了清晰的能量集中帶，與外圈的故障特征頻率88.64 Hz及其2倍頻177.28 Hz、3倍頻265.92 Hz十分接近，由此可以判斷軸承的外圈出現(xiàn)了故障，與實際情況相符。

(a)正常振動信號

(b)外圈故障振動信號

(c)內(nèi)圈故障振動信號圖4 軸承振動信號Fig.4 The bearing vibration signal

針對內(nèi)圈故障信號，圖6a給出了濾波后的內(nèi)圈故障信號短時傅里葉譜，同樣無法找出任何特征。對濾波后的內(nèi)圈故障信號作小波變換，圖6b給出了小波變換時頻譜，同樣，由于小波變換帶來的嚴(yán)重的能量泄漏，時頻譜中無法看出故障特征頻率，且仍有很大噪聲殘留。使用同步壓縮變換方法對小波變換后的小波系數(shù)進行處理并進行自適應(yīng)閾值去噪，結(jié)果如圖6c所示。從時頻譜中可以清晰地反映出在128.03 Hz、256 Hz、386 Hz處都出現(xiàn)了較為清晰的能量集中帶，與內(nèi)圈故障特征頻率128.03 Hz及其2倍頻256.06 Hz、3倍頻384.09 Hz十分接近，由此判斷出軸承的內(nèi)圈出現(xiàn)了故障，與實際情況相符。

(a)外圈故障振動信號STFT變換結(jié)果

(b)外圈故障振動信號CWT變換結(jié)果

(c)外圈故障振動信號自適應(yīng)閾值去噪后SWT變換結(jié)果圖5 外圈故障振動信號處理結(jié)果Fig.5 The processing results of an experimental bearing with outer ring fault signal

(a)內(nèi)圈故障振動信號STFT變換結(jié)果

(b)內(nèi)圈故障振動信號CWT變換結(jié)果

(c)內(nèi)圈故障振動信號自適應(yīng)閾值去噪后SWT變換結(jié)果圖6 內(nèi)圈故障振動信號處理結(jié)果Fig.6 The processing results of an experimental bearing with inner ring fault signal

試驗結(jié)果表明，SWT通過利用小波變換后信號頻域中相位不受尺度變換影響的特點求取各尺度下所對應(yīng)的頻率，再將同一頻率對應(yīng)的尺度相加，使同一頻率附近的值壓縮至該頻率中，不僅能夠提高時頻分辨率，而且能夠在尺度域上減少能量擴散，提高時頻分布的聚集程度，更為清晰地顯示時頻分析結(jié)果，能夠取得令人滿意的效果，處理效果優(yōu)于CWT，而且能夠從時頻譜中精確地提取出特征頻率，從而判斷滾動軸承的運轉(zhuǎn)狀況。

4 結(jié)論

(1)本文介紹了SWT的理論方法。首先用CWT對信號進行處理，自適應(yīng)地選擇合適閾值，濾除影響相變換的系數(shù)，再對滿足|Wx(a,b;ψ)|>γ的小波變換系數(shù)進行同步壓縮。

(2)構(gòu)建模擬信號并用SWT進行處理并重構(gòu)，證明SWT能夠高精度地刻畫時頻分辨率，而且具有較高的信號提取精度，可以提取并重構(gòu)出不同頻率成分。

(3)搭建試驗平臺采集滾動軸承故障信號的實際監(jiān)測數(shù)據(jù)。選擇合適小波基分別對外圈故障信號和內(nèi)圈故障信號進行CWT及SWT處理，比較后得出，SWT處理結(jié)果更佳，證明與CWT相比，SWT對噪聲具有更好的魯棒性，能夠有效抑制噪聲，精確提取故障特征頻率，優(yōu)勢明顯。

本文所用數(shù)據(jù)來自滾動軸承故障試驗平臺實測數(shù)據(jù)，所有故障均模擬工程實際故障狀態(tài)，未來會將此方法應(yīng)用到工程實際中以驗證該方法的工程實際應(yīng)用效果。

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