許小偉 沈 琪 嚴(yán)運(yùn)兵 吳 強(qiáng) 張 楠

1.武漢科技大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，武漢， 430081 2.純電動汽車動力系統(tǒng)設(shè)計與測試湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，襄陽，441053

0 引言

在傳統(tǒng)的發(fā)動機(jī)故障診斷與預(yù)測中，監(jiān)測的信號往往表現(xiàn)為時域或頻域上的一維信號，影響因素只有時間或頻率，而實(shí)際上發(fā)動機(jī)故障影響因素較多。復(fù)雜的高維數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)特征提取過程中，常利用波形分析法提取波動率變化最大值、波動率做功峰值、工倍頻發(fā)火能量比等參數(shù)，或者采用小波包重構(gòu)與分解提取信號的能量特征值，并作為特征參數(shù)，以向量的模式作為模型的輸入[1]。這樣處理解決了高維數(shù)據(jù)的模型輸入問題，但會導(dǎo)致原始數(shù)據(jù)之間的自然結(jié)構(gòu)信息丟失，多種模態(tài)特征之間的時序關(guān)聯(lián)共生性遭到破壞，產(chǎn)生的誤差也可能導(dǎo)致原始數(shù)據(jù)最有用的信息丟失，從而對后續(xù)的故障診斷造成影響[2]。

實(shí)際上發(fā)動機(jī)各個信號之間并不是相互獨(dú)立的，眾多信號相互干擾較大且?guī)в袕?qiáng)烈的非線性和復(fù)雜耦合的特征。眾多信號源在數(shù)據(jù)分析中可以被表示成多維數(shù)組，即張量(tensor)。張量作為高維數(shù)據(jù)最自然的表示方式，不僅能夠最大程度保持?jǐn)?shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特性，而且在實(shí)際問題中表示事物時更能接近事物的本質(zhì)屬性，這樣得到的模型也能更加準(zhǔn)確[3]。張量Tucker分解是高階的主成分分析方法，能夠挖掘出張量的潛在結(jié)構(gòu)，分解得到的核心張量以低維子空間的形式存儲原始張量，去除冗余信息后可以更為準(zhǔn)確地表達(dá)原始張量。張量及張量分解理論目前被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮、模式識別、圖像處理等領(lǐng)域[4-6]，而張量分解應(yīng)用于發(fā)動機(jī)故障診斷還鮮見報道。

本文提出一種在張量空間構(gòu)建發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本的方法，并基于張量Tucker分解和交替投影的思想，設(shè)計了一種高階奇異值分解[7](high order singular value decomposition，HOSVD)和高階正交迭代[8](high-order orthogonal iteration，HOOI)的聯(lián)立分解算法，對構(gòu)建的張量型樣本進(jìn)行低階近似處理，得到發(fā)動機(jī)監(jiān)測信號的數(shù)據(jù)特征；然后利用分類器進(jìn)行訓(xùn)練和測試，對發(fā)動機(jī)單缸失火和軸系不對中進(jìn)行故障診斷，證實(shí)了該張量構(gòu)建方法和分解算法的有效性。

1 張量理論基礎(chǔ)

1.1 張量基本概念及記號

定義1 張量與張量空間。對于向量空間V(1)，V(2)，…，V(N)，定義外積(或稱張量積，記作?)空間V(1)?V(2)?…?V(N)為包含所有v(1)?v(2)?…?v(N)的線性組合的向量空間∑kv(1)?v(2)?…?v(N)，其中，v(1)，v(2)，…，v(N)分別為V(1)，V(2)，…，V(N)中的元素。其中外積?應(yīng)滿足多線性,即

(1)

(2)

……

(3)

因此定義此空間中的元素X∈V(1)?V(2)?…?V(N)為N階張量。

定義2 張量的階。張量的階定義為形成所屬張量空間的向量空間的個數(shù)。從代數(shù)角度看，張量是向量在高維空間的拓展，零階張量為數(shù)量x，一階張量為向量X=(xi)，二階張量為矩陣X=[xij]，三階張量即是由若干個同維矩陣疊放在一起，形成的一個立方體式的數(shù)組X=[xijk]，更高階的張量則無法可視化描述。張量的每一階可以看作是一個影響因子，N階張量的每一個元素都可以看成是N個影響因子相互作用的結(jié)果。

定義3 張量的纖維。張量的纖維定義為只保留張量的一個下標(biāo)可變，而固定其他所有下標(biāo)得到的一路陣列。一個三階張量三個方向的纖維分別為模-1纖維(列纖維)X:jκ、模-2纖維(行纖維)Xi:κ、模-3纖維(管纖維)Xij:。

定義4 張量的切片。張量的切片定義為保留張量的兩個下標(biāo)可變而固定一個下標(biāo)得到的一系列矩陣。一個三階張量三個方向的切片分別為水平切片Xi::、側(cè)身切片X:j:和正面切片X::k，正面切片又簡記為Xk[3，9]。

1.2 張量運(yùn)算

定義5 張量的范數(shù)。張量范數(shù)的定義與矩陣范數(shù)的定義相似，定義為把張量空間映射到實(shí)數(shù)域的一個函數(shù)，一個N階張量X∈RI1×I2×…×IN的范數(shù)為

(4)

定義6 張量的矩陣化。張量的矩陣化是將張量中的元素重新排列，得到一個矩陣的過程。對于一個N階張量X∈RI1×I2×…×IN，它的模-n矩陣化即重新組織張量的模-n纖維成為一個矩陣中的行或列，表示為X(n)，張量中的元素xij…k被映射成為矩陣中的元素xij。

定義7 張量的Tucker分解。N階張量X∈RI1×I2×…×IN可以近似表示成一個核心張量G∈Rg1×g2×…×gN沿每一階乘上一個矩陣：

X≈G×1A×2A×…×NA=

(5)

其中，1Ak1∈RI1×n1，2Ak2∈RI2×n2，…，NAkN∈RIN×nN被稱為因子矩陣，它們通常是正交的。在向量空間內(nèi)，通常使用矩陣分解的方法來將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換成更易處理的問題，例如矩陣的滿秩分解、正交三角分解、奇異值分解等。在張量空間，同樣可以利用張量Tucker分解的方法，將高維問題轉(zhuǎn)換成低維問題[10-11]。

2 張量構(gòu)建與分解算法

2.1 張量型發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本構(gòu)建方法

在張量空間里構(gòu)建發(fā)動機(jī)的狀態(tài)樣本，其中的每一階可以看作是一個對發(fā)動機(jī)的狀態(tài)進(jìn)行影響的因子，張量里的每一個元素可以看作是各個影響因子相互作用的結(jié)果。

本文構(gòu)建的發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本為三階張量X∈RI×J×K，第一階表示的影響因子為信號類別，例如各個部件受到的轉(zhuǎn)矩大小、進(jìn)氣流量、進(jìn)氣壓力、排氣溫度、冷卻水溫、噴油提前角等；第二階表示的影響因子為曲軸轉(zhuǎn)角，即樣本信號隨曲軸轉(zhuǎn)角的變化；第三階表示的影響因子為轉(zhuǎn)速，即在不同的轉(zhuǎn)速下樣本信號的變化。即完成了一個“信號類別×曲軸轉(zhuǎn)角×轉(zhuǎn)速”的三階張量型的發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本的構(gòu)建，結(jié)構(gòu)如圖1所示。所構(gòu)建的三階張量型發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本中的每一個元素xijk(其中，i∈I,j∈J,k∈K)代表了在第k個轉(zhuǎn)速下、第i度曲軸轉(zhuǎn)角下的第j種信號參數(shù)值。

圖1 三階張量型發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the engine state sample of thethree order tensor

2.2 張量Tucker分解算法

基于張量模式的分解算法能夠?qū)崿F(xiàn)對高維張量數(shù)據(jù)的有效逼近，高階張量的Tucker分解可以看作是矩陣的奇異值分解以及主成分分析在高階上的推廣。在張量Tucker分解中，其本質(zhì)是用一個核張量和若干正交的投影矩陣的積去近似原始張量，核心張量保留了原張量最主要的信息，在每一階上都比原張量小。以構(gòu)建的三階張量X∈RI×J×K為例，張量Tucker分解可通過求解‖X-G×U1×U2×U2‖的最小值得到最優(yōu)解[12]。由張量Tucker分解公式和張量范數(shù)性質(zhì)，可將該最小值問題等價為最大值問題：

(6)

將Tucker分解寫成矩陣的形式，即

(7)

其中，因子矩陣U1、U2、U3分別為X(1)、X(2)、X(3)的前L、M、N個左奇異向量構(gòu)成的矩陣。

如果分別對每個發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本進(jìn)行張量Tucker分解，則各個樣本分解后所得到的投影因子均不相同，即投影之后的核心張量屬于不同的表征空間，這樣導(dǎo)致后續(xù)的分類過程無法進(jìn)行。因此，為了使投影后的核心張量屬于同一表征空間，需要尋找一組相同的投影因子。HOSVD算法和HOOI算法是兩種常用的張量Tucker分解算法，HOSVD的基本思想是利用矩陣分析中的奇異值分解算法對張量中的每一個切片進(jìn)行一次分解，采用低階近似處理，過濾掉某些較小的奇異值；HOOI的基本思想是使用交替投影的方法多次迭代求得最優(yōu)結(jié)果。HOSVD的結(jié)果不能保證得到一個較好的近似值，但可以作為HOOI的一個很好的初始解[13]，故可使用HOSVD張量Tucker分解算法對每個樣本進(jìn)行一次求解計算，其結(jié)果作為HOOI張量Tucker分解算法的輸入，再使用HOOI算法完成分解。圖2展示了張量分解算法流程。

2.3 發(fā)動機(jī)故障診斷流程

由于信號類別量綱的不同，需要先對每一個類別的信號數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，然后構(gòu)建張量型樣本，接下來使用HOSVD-HOOI張量Tucker分解算法得到核心張量，核心張量在每一階上的尺寸均小于原始張量的尺寸，最后對每個核心張量進(jìn)行向量化，得到分類器的輸入。隨機(jī)選取部分樣本作為訓(xùn)練集，分別采用網(wǎng)格參數(shù)優(yōu)化法[14]、遺傳算法[15]、粒子群算法[16]對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。訓(xùn)練完畢后，將剩余樣本作為測試集，對故障進(jìn)行預(yù)測?；趶埩縏ucker分解的發(fā)動機(jī)數(shù)據(jù)特征提取及診斷流程如圖3所示。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 訓(xùn)練與測試樣本

圖4所示為康明斯4B3.9-G2型發(fā)動機(jī)在轉(zhuǎn)速為1500 r/min時正常工作、單缸失火故障、軸系不對中故障三種狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)，分別描述了曲軸端轉(zhuǎn)矩、飛輪慣性力矩、曲柄銷處的連桿力、連桿軸向力四種參數(shù)隨曲軸轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系，故構(gòu)建的三階發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本第一階大小為4維。實(shí)驗(yàn)中，將曲軸轉(zhuǎn)角設(shè)置為一個周期內(nèi)的 0°～720°，作為仿真時長，采樣間隔為1°，故構(gòu)建的三階發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本第二階大小為720維；轉(zhuǎn)速設(shè)置為1500～3000 r/min，采樣間隔為50 r/min，故第三階大小為31維。即構(gòu)建的張量樣本X∈R4×720×31，每一個張量樣本中有4×720×31個數(shù)據(jù)。總共仿真48×31次，得到48個樣本。

圖2 HOSVD-HOOI張量Tucker分解算法流程Fig.2 Algorithm flow of the HOSVD-HOOI tensor Tucker decomposition

圖3 診斷流程圖Fig.3 Flow chart of diagnosis

(a)正常工作時曲軸端轉(zhuǎn)矩(b) 單缸失火時曲軸端轉(zhuǎn)矩

(c)軸系不對中時曲軸端轉(zhuǎn)矩(d)正常工作時飛輪慣性力矩

(e)單缸失火時飛輪慣性力矩(f)軸系不對中時飛輪慣性力矩

(g)正常工作時曲柄銷連桿力(h)單缸失火時曲柄銷連桿力

(i)軸系不對中時曲柄銷連桿力(j)正常工作時連桿軸向力

(k)單缸失火時連桿軸向力(l)軸系不對中時連桿軸向力圖4 實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)Fig.4 Experimental sample data

將4×31×48個長度為720的向量形式的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)加載至MATLAB中，接下來取某一個轉(zhuǎn)速下得到的四個信號數(shù)據(jù)，將曲軸端轉(zhuǎn)矩、飛輪慣性力矩、曲柄銷處的連桿力和連桿軸向力依次存儲為第一至第四行，得到一個大小為4×720的矩陣。按照此方法，將每一個轉(zhuǎn)速下得到的信號數(shù)據(jù)存儲為矩陣，最終得到31個大小為4×720的矩陣。由定義4可知該矩陣即為張量的正面切片X::k。將正面切片矩陣歸一化處理后，接下來創(chuàng)建大小為4×720×31的單位張量，并將31個大小為4×720的矩陣依次賦值給該單位張量的正面切片，從而完成一個三階張量型發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本的構(gòu)建。按照此方法完成48個張量型發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本的構(gòu)建，隨機(jī)選取24個樣本作為訓(xùn)練集，剩余24個樣本作為測試集，用于后續(xù)的算法驗(yàn)證。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證張量型發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本構(gòu)建方法和HOSVD-HOOI張量Tucker分解算法的有效性，實(shí)驗(yàn)首先使用張量Tucker分解算法進(jìn)行數(shù)據(jù)特征提取，并分別采用網(wǎng)格參數(shù)優(yōu)化法、遺傳算法、粒子群算法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，得到三種優(yōu)化算法下的預(yù)測準(zhǔn)確率和分類模型學(xué)習(xí)時間；接下來不使用Tucker分解算法，直接將向量型樣本數(shù)據(jù)輸入分類器，同時也采用上述三種參數(shù)尋優(yōu)法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，得到三種優(yōu)化算法下的預(yù)測準(zhǔn)確率和分類模型學(xué)習(xí)時間。

將發(fā)動機(jī)正常工作、單缸失火、軸系不對中三種狀態(tài)分別用類別標(biāo)簽0、1、2表示，圖5給出了采用張量Tucker分解進(jìn)行特征提取，并使用遺傳算法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時得到的分類結(jié)果：正常工作狀態(tài)8個樣本全部正確分類；單缸失火故障有7個樣本被正確分類，1個樣本被誤分為軸系不對中故障；軸系不對中故障有7個樣本被正確分類，1個樣本被誤分為單缸失火故障。24個測試樣本正確分類22個，預(yù)測準(zhǔn)確率為91.67%。圖6給出了未進(jìn)行張量Tucker分解提取特征，使用遺傳算法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時得到分類結(jié)果：正常工作狀態(tài)8個樣本全部正確分類；單缸失火故障有7個樣本被正確分類，1個樣本被誤分為軸系不對中故障；軸系不對中故障有6個樣本被正確分類，2個樣本被誤分為單缸失火故障。24個測試樣本正確分類21個，預(yù)測準(zhǔn)確率為87.50%。

圖5 張量Tucker分解后的分類結(jié)果Fig.5 Classification results after tensor Tucker decomposition

圖6 未進(jìn)行張量Tucker分解后的分類結(jié)果Fig.6 Classification resultswithout tensor Tucker decomposition

將6次實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制成表1，由表1可以看出，所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)測準(zhǔn)確率均達(dá)到了80%以上，滿足工程應(yīng)用的需求。對比三種參數(shù)優(yōu)化算法，使用張量Tucker分解算法進(jìn)行數(shù)據(jù)特征提取后，網(wǎng)格尋優(yōu)法得到的分類準(zhǔn)確率最高，粒子群算法次之，遺傳算法最低；未進(jìn)行特征提取、直接將向量型樣本數(shù)據(jù)輸入分類器后，網(wǎng)格尋優(yōu)法得到的分類準(zhǔn)確率最高，遺傳算法次之，粒子群算法最低。無論是否進(jìn)行特征提取，使用遺傳算法的模型學(xué)習(xí)時間最短，粒子群算法次之，網(wǎng)格尋優(yōu)法最長。且基于張量Tucker分解的數(shù)據(jù)特征提取方法的預(yù)測準(zhǔn)確率均高于未進(jìn)行特征提取得到的預(yù)測準(zhǔn)確率，且前者學(xué)習(xí)時間均短于后者，實(shí)用性更強(qiáng)。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

(1)通過采集發(fā)動機(jī)曲軸端轉(zhuǎn)矩，飛輪慣性力矩等信號參數(shù)，構(gòu)建了“信號類別×曲軸轉(zhuǎn)角×轉(zhuǎn)速”的三階張量形式的發(fā)動機(jī)狀態(tài)樣本，歸一化處理后，基于交替投影的思想，使用HOSVD張量Tucker分解和HOOI張量Tucker分解的聯(lián)立求解算法，將高維張量映射成尺寸更小的核心張量。

(2)分別采用網(wǎng)格參數(shù)優(yōu)化法、遺傳算法、粒子群算法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，以預(yù)測準(zhǔn)確率和學(xué)習(xí)時間作為評價指標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明使用網(wǎng)格尋優(yōu)法得到的預(yù)測準(zhǔn)確率最高，使用遺傳算法的模型學(xué)習(xí)時間最短。

(3)將使用張量Tucker分解后得到核心張量向量化后輸入分類器進(jìn)行訓(xùn)練，并與未進(jìn)行特征提取、直接將向量型樣本數(shù)據(jù)輸入分類器訓(xùn)練作比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明基于張量Tucker分解的發(fā)動機(jī)數(shù)據(jù)特征提取方法進(jìn)行故障診斷有著較高的預(yù)測準(zhǔn)確率和較短的分類模型學(xué)習(xí)時間，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張宇飛, 么子云, 唐松林,等. 一種基于主成分分析和支持向量機(jī)的發(fā)動機(jī)故障診斷方法[J]. 中國機(jī)械工程, 2016, 27(24): 3307-3311.

ZHANG Yufei,YAO Ziyun,TANG Songlin, et al. An Engine Fault Diagnosis Method Based on PCL and SVM[J]. China Mechanical Engineering, 2016,27(24): 3307-3311.

[2] HOU C, NIE F, ZHANG C, et al. Multiple Rank Multi-linear SVM for Matrix Data Classification[J]. Pattern Recognition, 2013, 47(1): 454-469.

[3] 楊兵. 基于張量數(shù)據(jù)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法研究與應(yīng)用[D]. 北京：中國農(nóng)業(yè)大學(xué), 2014.

YANG Bing. Research and Application of Machine Learning Algorithm Based Tensor Representation [D]. Beijing:China Agricultural University, 2014.

[4] KARAMI A, YAZDI M, MERCIER G. Compression of Hyperspectral Images Using Discerete Wavelet Transform and Tucker Decomposition[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observations & Remote Sensing, 2012, 5(2): 444-450.

[5] BENETOS E, KOTROPOULOS C. Non-negative Tensor Factorization Applied to Music Genre Classification[J]. IEEE Transactions on Audio Speech & Language Processing, 2010, 18(8): 1955-1967.

[6] ZHANG Q, WANG Y, LEVINE M D, et al. Multisensor Video Fusion Based on Higher Order Singular Value Decomposition[J]. Information Fusion, 2015, 24(C): 54-71.

[7] BARANYI P. Numerical Reconstruction of the HOSVD Based Canonical Form of Polytopic Dynamic Models[C]// International Symposium on Computational Intelligence & Intelligent Informatics. New York, 2007: 111-116.

[8] SHEEHAN B N, SAAD Y. Higher Order Orthogonal Iteration of Tensors (HOOI) and Its Relation to PCA and GLRAM[C]//SIAM International Conference on Data Mining. Minneapolis, Minnesota, USA, 2007:196-199.

[9] HACKBUSCH W. Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus[M].Heidelberg:Springer, 2012.

[10] KOLDA T G, BADER B W. Tensor Decompositions and Applications[J]. SIAM Review, 2009, 51(3): 455-500.

[11] CARROLL J D, CHANG J J. Analysis of Individual Differences in Multidimensional Scaling via ann-way Generalization of “Eckart-Young” Decomposition[J]. Psychometrika, 1970, 35(3): 283-319.

[12] 劉亞楠.基于圖和低秩表示的張量分解方法及應(yīng)用研究[D]. 合肥：安徽大學(xué), 2014.

LIU Yanan. Tensor Decomposition and Its Applications Based on Graph and Low Rank Representation[D]. Hefei:Anhui University,2014.

[13] SUN J, TAO D, PAPADIMITRIOU S, et al. Incremental Tensor Analysis: Theory and Applications[J]. ACM Transactions on Knowledge Discovery from Data, 2008, 2(3): 651-678.

[14] 王健峰. 基于改進(jìn)網(wǎng)格搜索法SVM參數(shù)優(yōu)化的說話人識別研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué), 2012.

WANG Jianfeng. Speaker Recognition Based on Improvedgrid Search Algorithm for SVM Parameter Optimization[D]. Harbin: Harbin Engineering University, 2012.

[15] 汪松泉. 遺傳算法在組合優(yōu)化中的應(yīng)用研究[D]. 合肥：安徽大學(xué), 2010.

WANG Songquan. Application of Genetic Algorithm in Combinatorial Optimization[D]. Hefei:Anhui University,2010.

[16] 張麗平. 粒子群優(yōu)化算法的理論及實(shí)踐[D]. 杭州：浙江大學(xué), 2005.

ZHANG Liping. Theory and Practice of Particle Swarmoptimization Algorithm[D]. Hangzhou:Zhejiang University, 2005.