劉 剛 鄭大勝 丁志雨 姚紅良

東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽，110819

0 引言

動(dòng)力吸振是振動(dòng)抑制的典型方法，利用動(dòng)力吸振器可以“吸收”主系統(tǒng)的振動(dòng)，其力學(xué)原理是通過相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生慣性力作用在主系統(tǒng)上，從而抑制主系統(tǒng)振動(dòng)。傳統(tǒng)的動(dòng)力吸振器有效頻率范圍較窄，不適合于激勵(lì)頻率經(jīng)常變化的工況。為克服這一缺點(diǎn)，研究者研發(fā)了各種頻率可調(diào)的動(dòng)力吸振器[1]。

改變吸振器的連接剛度是改變吸振器固有頻率的主要方法，一般采用智能材料或者可變結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)，例如文獻(xiàn)[2-3]采用磁流變彈性體、文獻(xiàn)[4]采用磁流變液、文獻(xiàn)[5]通過改變連接梁截面矩來調(diào)節(jié)剛度等。改變吸振器的質(zhì)量是另外一種主要方法，人們研究了各種變質(zhì)量吸振器。文獻(xiàn)[6]針對(duì)兩自由度系統(tǒng)提出了慣性可變的動(dòng)力吸振器；文獻(xiàn)[7]提出了變質(zhì)量的顆粒阻尼吸振器，并研究了其寬頻減振性能；文獻(xiàn)[8]通過微型泵控制懸臂梁型吸振器的質(zhì)量，能夠使吸振器前兩階固有頻率的可調(diào)范圍達(dá)到38%和35%。

頻率可調(diào)動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)的一個(gè)難點(diǎn)是低頻段的頻率調(diào)節(jié)性能的保證。采用剛度改變的方式，一般需要較低的連接剛度，這可能導(dǎo)致吸振器在重力作用下變形較大[9]；采用質(zhì)量改變的方式，需要的質(zhì)量很大，這樣又增加了吸振器的體積。為此，本文提出在變質(zhì)量動(dòng)力吸振器的基礎(chǔ)上增加負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，形成變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器，從而可以使吸振器具有較好的低頻有效性。

1 負(fù)剛度變質(zhì)量動(dòng)力吸振器原理

1.1 傳統(tǒng)變質(zhì)量動(dòng)力吸振器

傳統(tǒng)的變質(zhì)量動(dòng)力吸振器動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。列振動(dòng)微分方程如下：

(1)

式中，m1、m2分別為主系統(tǒng)和吸振器的質(zhì)量；m′為吸振器的可調(diào)質(zhì)量；k1、k2分別為主系統(tǒng)和吸振器的剛度；x1、x2分別為主系統(tǒng)和吸振器的振動(dòng)位移；F1、ω分別為外激勵(lì)的幅值和頻率。

圖1 傳統(tǒng)變質(zhì)量動(dòng)力吸振器Fig.1 Traditional variable mass dynamic vibration absorber

當(dāng)阻尼可以忽略時(shí)，由式(1)可知，當(dāng)

(2)

時(shí)，主系統(tǒng)的振幅為0。因此，在激勵(lì)頻率發(fā)生變化時(shí)，只要相應(yīng)地改變可調(diào)質(zhì)量m′使其滿足式(2)，即可達(dá)到最佳抑振效果。但是，當(dāng)激勵(lì)頻率較低時(shí)，需要很大的可調(diào)質(zhì)量才能達(dá)到效果，這會(huì)帶來成本問題、空間安放問題等很多問題。

1.2 變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器

為解決上述問題，本文提出在變質(zhì)量吸振器的基礎(chǔ)上增加負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，使之成為變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器。具體方法是在圖1的基礎(chǔ)上增加負(fù)剛度，形成圖2所示系統(tǒng)，其中k3是增加的負(fù)剛度，c3是增加的阻尼。

圖2 變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of the variable mass negative stiffness vibration absorber

圖2所示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程如下：

(3)

當(dāng)阻尼可以忽略時(shí)，由式(3)可得主系統(tǒng)和吸振器的振幅分別為

(4)

因此，當(dāng)k2+k3-(m2+m′)ω2=0時(shí)，有

(5)

很明顯，當(dāng)k3為負(fù)值時(shí)，ω可以取很小值。

2 懸臂梁式變質(zhì)量-負(fù)剛度吸振器結(jié)構(gòu)及負(fù)剛度實(shí)現(xiàn)方法

懸臂梁式變質(zhì)量-負(fù)剛度吸振器具體的結(jié)構(gòu)如圖3所示，由剛度為k1的懸臂梁和質(zhì)量塊m1組成主系統(tǒng)，由剛度為k2的懸臂梁和質(zhì)量塊m2、剛度為k3的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)組成吸振器。

圖3 變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器Fig.3 The variable mass negative stiffness vibration absorber

負(fù)剛度機(jī)構(gòu)由矩形永久磁鐵產(chǎn)生，其結(jié)構(gòu)如圖4所示，詳細(xì)原理見文獻(xiàn)[9]。這里僅做簡(jiǎn)單介紹：該結(jié)構(gòu)中外磁鐵與地相連，內(nèi)磁鐵與吸振器相連，內(nèi)外磁鐵磁極相反，因此內(nèi)外磁鐵之間形成相斥力，該相斥力可以形成負(fù)剛度，而剛度的大小與磁鐵距離h有關(guān)系。該負(fù)剛度具有一定的非線性，可以用多項(xiàng)式擬合來描述其非線性關(guān)系：

k3=km1+km2x2

(6)

式中，km1為線性剛度系數(shù)；km2為非線性剛度系數(shù)。

圖4 負(fù)剛度機(jī)構(gòu)原理圖Fig.4 Structure of the magnetic spring with negative stiffness

當(dāng)取內(nèi)外磁鐵的尺寸為20 mm×40 mm×5 mm，選用NdFeB永久磁鐵(剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度Br=1.34 T)組成負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，且h為20 mm時(shí)，km1=-2.397×103N/m，km2=0.024 N/mm3?？梢钥闯鰇m2很小，因此可以僅考慮線性剛度km1，即k3=km1。

3 數(shù)值仿真分析

3.1 參數(shù)取值

為了分析變質(zhì)量、負(fù)剛度動(dòng)力吸振器減振性能，對(duì)圖2所示系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，所選取的參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果

通過MATLAB數(shù)值仿真來求解主系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，采用增量諧波平衡法分析主系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。先對(duì)無負(fù)剛度情況進(jìn)行分析，吸振器可變質(zhì)量取不同值，即m′為0.12 kg、0.22 kg、0.32 kg時(shí)，主系統(tǒng)的振動(dòng)頻率響應(yīng)如圖5a所示。再對(duì)有負(fù)剛度情況進(jìn)行分析，當(dāng)m′為0.12 kg、0.22 kg、0.32 kg時(shí)，主系統(tǒng)的振動(dòng)頻率響應(yīng)如圖5b所示。

(a)未加負(fù)剛度

(b)加負(fù)剛度圖5 主系統(tǒng)振動(dòng)頻率響應(yīng)Fig.5 Frequency response of primary vibration system

由圖5可以看出，增大吸振器可調(diào)質(zhì)量m′，主系統(tǒng)的前兩階固有頻率向左移動(dòng)，即固有頻率變小，減振效果明顯。加了負(fù)剛度后，主系統(tǒng)的前兩階固有頻率向左移動(dòng)更明顯，即減振效果更好。

4 試驗(yàn)

4.1 試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)及控制系統(tǒng)簡(jiǎn)介

為了研究變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的實(shí)際減振性能，搭建了試驗(yàn)系統(tǒng)如圖6所示。試驗(yàn)系統(tǒng)由激振器、加速度傳感器、主系統(tǒng)和吸振器四部分組成。其中激振器采用B&K公司生產(chǎn)的電磁激振器，通過信號(hào)發(fā)生器、功率放大器進(jìn)行驅(qū)動(dòng)；由剛度為k1的懸臂梁和質(zhì)量塊m1組成主系統(tǒng)，由剛度為k2的懸臂梁、質(zhì)量塊m2、剛度為k3的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)組成吸振器。一個(gè)加速度傳感器置于主懸臂梁上，用來采集主系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)。另一個(gè)加速度傳感器用來采集吸振器懸臂梁的振動(dòng)信號(hào)。

圖6 變質(zhì)量-負(fù)剛度吸振器試驗(yàn)臺(tái)Fig.6 The variable mass negative stiffness absorber test bed

這里用水作為變質(zhì)量介質(zhì)，通過水泵向玻璃瓶中抽水來改變玻璃瓶中的水量，從而改變吸振器質(zhì)量。

水泵的PID控制部分主要由PC機(jī)、CompactRIO系列控制卡、水泵、變質(zhì)量-負(fù)剛度機(jī)構(gòu)等組成。其中PC機(jī)用于顯示和存儲(chǔ)數(shù)據(jù)；CompactRIO系列控制卡通過程序編寫實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)采集、PID控制過程運(yùn)算并且輸出信號(hào)控制水泵；水泵通過軟橡膠管向固定在懸臂梁上的玻璃瓶里面增減水，從而控制懸臂梁的振幅。

4.2 變質(zhì)量-負(fù)剛度試驗(yàn)驗(yàn)證

首先，進(jìn)行激振頻率為20～160 Hz的掃頻試驗(yàn)，測(cè)得吸振器玻璃瓶空、玻璃瓶加半瓶水和玻璃瓶加滿瓶水三種狀態(tài)下的幅頻特性曲線，如圖7、圖8所示。從圖中可以看出,隨著水的質(zhì)量的增大，該系統(tǒng)的前兩階固有頻率向左移動(dòng)，即固有頻率變小，減振效果明顯，驗(yàn)證了通過調(diào)整吸振器質(zhì)量以跟蹤外界激振力頻率的方法可以達(dá)到吸振器寬頻帶減振的目的。

圖7 未加負(fù)剛度的主系統(tǒng)頻率傳遞函數(shù)Fig.7 Acceleration vibration transmission of primary vibration system without negative stiffness

圖8 未加負(fù)剛度的吸振器頻率傳遞函數(shù)Fig.8 Acceleration vibration transmission of absorber vibration system without negative stiffness

圖9 加負(fù)剛度的主系統(tǒng)頻率傳遞函數(shù)Fig.9 Acceleration vibration transmission of primary vibration system with negative stiffness

圖10 加負(fù)剛度的吸振器頻率傳遞函數(shù)Fig.10 Acceleration vibration transmission of absorber vibration system with negative stiffness

在加了負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的狀態(tài)下，進(jìn)行激振頻率為20～160 Hz的掃頻試驗(yàn)，測(cè)得吸振器玻璃瓶空、玻璃瓶加半瓶水和玻璃瓶加滿瓶水三種狀態(tài)下的幅頻特性曲線，如圖9、圖10所示。從圖中可以看出，在加了負(fù)剛度機(jī)構(gòu)之后，該系統(tǒng)的前兩階固有頻率向左移動(dòng)更明顯，即固有頻率變小更明顯，減振效果非常明顯。驗(yàn)證了負(fù)剛度機(jī)構(gòu)可以使吸振器具有較好的低頻有效性。

將試驗(yàn)得到的主系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)與前文通過MATLAB數(shù)值仿真得到的主系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比可知，該試驗(yàn)結(jié)果與MATLAB仿真結(jié)果的趨勢(shì)完全相同，從而在仿真和試驗(yàn)兩個(gè)方面都驗(yàn)證了變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器能夠在更寬的頻帶上明顯減小主系統(tǒng)振動(dòng)。

為了更加直觀地看出吸振的實(shí)際效果，試驗(yàn)測(cè)試了變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振系統(tǒng)在頻率為50 Hz下的時(shí)域信號(hào)，如圖11、圖12所示。未加負(fù)剛度時(shí)，空瓶狀態(tài)下主系統(tǒng)振幅高達(dá)450 μm，加滿水之后主系統(tǒng)振幅降低至100 μm。安裝負(fù)剛度機(jī)構(gòu)后，空瓶狀態(tài)下主系統(tǒng)振幅約為220 μm，加滿水之后主系統(tǒng)振幅降低至50 μm，驗(yàn)證了變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器具有非常好的減振效果。

圖11 未加負(fù)剛度主系統(tǒng)的時(shí)域圖Fig.11 Time response of primary vibration system without negative stiffness

圖12 加負(fù)剛度主系統(tǒng)的時(shí)域圖Fig.11 Time response of primary vibration system with negative stiffness

最后，進(jìn)行了PID控制系統(tǒng)下的連續(xù)控制。本系統(tǒng)的被控量為水的質(zhì)量，結(jié)合被控對(duì)象的特點(diǎn)選取液位控制。液位控制的目的就是為了使得水瓶中的水位保持在期望的位置，當(dāng)懸臂梁振幅大于期望值時(shí)，水泵打開往水瓶中抽水，通過控制水的質(zhì)量來控制懸臂梁的振幅。調(diào)整PID控制系統(tǒng)的參數(shù)可以使懸臂梁系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)反共振狀態(tài)，反共振狀態(tài)就是控制效果最佳的狀態(tài)。以動(dòng)力吸振系統(tǒng)頻率為50 Hz為例,來驗(yàn)證PID控制算法對(duì)變質(zhì)量-負(fù)剛度吸振系統(tǒng)在40～60 Hz之間任意頻率下的吸振效果。本文采用一種經(jīng)驗(yàn)法來調(diào)整PID控制系統(tǒng)的參數(shù)，先根據(jù)運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)確定一組調(diào)節(jié)器參數(shù)，并將系統(tǒng)投入閉環(huán)運(yùn)行，然后人為地加入階躍擾動(dòng)，觀察被調(diào)量輸出的階躍響應(yīng)曲線。這樣反復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)PID參數(shù)kp=10,ki=0.8,kd=0時(shí)，可以得到較好的控制結(jié)果。結(jié)果如圖13、圖14所示。

圖13 程序界面Fig.13 Program interface

圖14 PID控制過程幅值變化圖Fig.14 Amplitude changes in PID control process

由圖13、圖14可見，在PID控制之前，主系統(tǒng)懸臂梁的相對(duì)幅值高達(dá)5.75 mm。隨著控制過程的進(jìn)行，懸臂梁的幅值逐漸減小。當(dāng)幅值減小到2 mm時(shí)，相對(duì)幅值為0，此時(shí)振動(dòng)達(dá)到最小值并穩(wěn)定在該處,獲得了較好的振動(dòng)抑制結(jié)果。因此，可以通過PID連續(xù)控制使變質(zhì)量-負(fù)剛度吸振系統(tǒng)自動(dòng)調(diào)整至反共振狀態(tài)，達(dá)到最佳振動(dòng)抑制效果。

4.3 結(jié)果分析

為了更明顯地看出變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的減振性能，對(duì)主系統(tǒng)二階固有頻率進(jìn)行了分析，結(jié)果如表2所示。從表2中可以看出，在滿瓶水情況下，未加負(fù)剛度時(shí)，主系統(tǒng)二階固有頻率為110 Hz，加了負(fù)剛度時(shí)，主系統(tǒng)的二階固有頻率降低到91 Hz,主系統(tǒng)固有頻率最大可以提前17.3%。通過引入負(fù)剛度，可以獲得頻帶大幅拓寬、減振效果非常好的動(dòng)力吸振器。

表2 負(fù)剛度對(duì)固有頻率的改變分析

5 結(jié)論

本文提出了一種變質(zhì)量與負(fù)剛度相結(jié)合的新型動(dòng)力吸振器,對(duì)該動(dòng)力吸振器模型及原理進(jìn)行了理論分析，搭建了試驗(yàn)臺(tái)和控制系統(tǒng)，并對(duì)吸振器的效果進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：①設(shè)計(jì)的吸振器有效，可以通過調(diào)整水的質(zhì)量來使吸振器處于反共振狀態(tài)；②試驗(yàn)表明，負(fù)剛度能夠在更寬的頻帶上明顯減小主系統(tǒng)振動(dòng)，可使主系統(tǒng)固有頻率提前17.3%；③通過PID控制可以使吸振器自動(dòng)調(diào)整至反共振狀態(tài)，達(dá)到最佳振動(dòng)抑制效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] KELA L, VAHAOJA P. Recent Studies of Adaptive Tuned Vibration Absorbers/Neutralizers [J]. Appl. Mech. Rev., 2009, 62,0608016.

[2] LIAO G J, GONG X L, KANG C J, et al. The Design of an Active-adaptive Tuned Vibration Absorber Based on Magnetorheological Elastomer and Its Vibration Attenuation Performance [J]. Smart Materials & Structures, 2011, 20(7)： 145-151.

[3] KOMATSUZAKI T, IWATA Y. Design of a Real-time Adaptively Tuned Dynamic Vibration Absorber with a Variable Stiffness Property Using Magnetorheological Elastomer [J]. Shock Vibration, 2015, 2015: 1-11.

[4] HIRUNYAPRUK C, BRENNAN M J, MACE B R,et al. A Tunable Magneto-rheological Fluid-filled Beam-like Vibration Absorber [J]. Smart Materials & Structures, 2010, 19(5): 055020.

[5] GHORBANI-TANHA A K, RAHIMIAN M, NOORZAD A. A Novel Semiactive Variable Stiffness Device and Its Application in a New Semiactive Tuned Vibration Absorber [J]. Journal of Engineering Mechanics， ASCE, 2011, 137(6): 390-399.

[6] MEGAHED S, ABOUUBAKR A K. Vibration Control of Two Degrees of Freedom System Using Variable Inertia Vibration Absorbers: Modeling and Simulation [J]. J. Sound Vibration, 2010, 329(23): 4841-4865.

[7] 趙艷青, 夏晶晶, 高強(qiáng). 變質(zhì)量顆粒阻尼吸振器及其寬頻減振性能 [J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2015,26(19): 2571-2574.

ZHAO Yanqing, XIA Jingjing, GAO Qiang.VMTPD and Its Performance of Wide Band Vibration Reduction[J].China Mechanical Engineering, 2015,26(19): 2571-2574.

[8] LEE C, CHEN C. Experimental Application of a Vibration Absorber in Structural Vibration Reduction Using Tunable Fluid Mass Driven by Micropump [J]. J. Sound Vibration, 2015, 348(5/6): 31-40.

[9] WU W, CHEN X, SHAN Y. Analysis and Experiment of a Vibration Isolator Using a Novel Magnetic Spring with Negative Stiffness[J].J. Sound Vibration, 2014, 333(13): 2958-2970.