岳紅格

（寧夏大學(xué) 民族預(yù)科教育學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

動態(tài)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論已有近20年的發(fā)展歷史[1-4].在許多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中時滯是不可避免的，如電子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,放大器的有限開關(guān)速度.最近,許多專家研究了Hopfield時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)細(xì)胞的穩(wěn)定性和周期振蕩性[5-7]，其性質(zhì)可表現(xiàn)為一些復(fù)雜的混雜的行為[8-10].許多動力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)往往因受重疊隨機(jī)因素的擾動而發(fā)生變化，其中一類特殊的混雜系統(tǒng)模型是具有跳參數(shù)隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.由于時間延誤和參數(shù)的不確定性，隨機(jī)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的研究引起了人們極大的興趣.由于帶跳參數(shù)隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能描述某些運(yùn)動狀態(tài)在固定或不固定時刻的快速變化或跳躍,而且物理、生態(tài)、經(jīng)濟(jì)等系統(tǒng)經(jīng)常收到外界突然噪聲的影響,例如,地震、氣候?qū)ι鷳B(tài)產(chǎn)生突然的影響，因此將Poisson跳引入隨機(jī)微分方程更符合實(shí)際意義，它能更好地反映經(jīng)濟(jì)、金融、物理、生物、醫(yī)藥等領(lǐng)域的現(xiàn)象和特征.當(dāng)不考慮Poisson跳時，一些研究結(jié)果已經(jīng)被證明.例如，廖和毛[11]研究了一類均方指數(shù)穩(wěn)定性和細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[12]討論了一類幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定和隨機(jī)細(xì)胞與采用離散時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非負(fù)半鞅收斂定理.文獻(xiàn)[13]研究了一類隨機(jī)時滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性.

通常情況下,帶Poisson跳的隨機(jī)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型幾乎沒有解析解，因此數(shù)值方法成為求解的主要工具.本文根據(jù)Euler數(shù)值方法，利用鞅不等式和Ito?公式討論了一類帶Poisson跳的隨機(jī)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)值解.給出了在均方意義下數(shù)值解收斂于解析解的充分條件，并通過一個數(shù)值算例對本文所給的數(shù)值方法進(jìn)行了驗證.

1 預(yù)備

本文考慮如下形式的隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一個滿足通常條件及濾波{Ft}t≥0完備概率空間.W(t)=(w1(t),…,wm(t))T是定義在i≤n}上的m維布朗運(yùn)功，Nt是服從參數(shù)為λ的Poisson過程,x(t)=(x1(t),…,xn(t))T，x(t-τ)=(x1(t-τ1),…,xn(t-τn))T，σ：Rn×Rn×R+→Rn×m，σ(t,x(t),x(t-τ))=(σij)n×m.本文假設(shè) g(y)和 σ(t,x,y)滿足Lipschitz條件和線性增長條件.則方程(1)在t≥0有唯一的全局解，令其解為 x(t,ξ)，其中 x(t,0)≡0.

把x(t)該寫為隨機(jī)積分形式如下：

對于方程(2)，在 t∈{0,Δt,…,NΔt=T}上用 Euler法離散得

其中時間增量 0＜Δ＜1，滿足 τ=mΔ，m∈N+，tn=nΔ，yn是 x(tn)的近似解，若 tn≤0，則 yn=ξ(tn).并且布朗運(yùn)動增量 ΔWn=W(tn+1)-W(tn)，Poisson 過程增量 ΔNn=N(tn+1)-N(tn)，其中 Δ→0.

現(xiàn)定義如下兩個階梯函數(shù)

IA表示集合A的示性函數(shù).則Euler數(shù)值解表示為

現(xiàn)提出以下假設(shè)條件：

(i)(局部Lipschitz條件)對于任意的d＞0,存在Cd對于x,y∈Rn有

(ii)在 C1,2存在正的函數(shù) V(t,·)：G→R+,{x∈G：V(t,x(t))≤r}是定義在r＞0上的緊集；

(iii)假設(shè)存在對稱的非負(fù)矩陣 C1,C2和 C3=diag(δ1,…,δn)有

定義2.1 假設(shè)ξ是一個隨機(jī)變量且E|ξ|2＜∞，對任意的增量Δ＞0，存在一對正的常數(shù)γ和N，方程(1)滿足均方指數(shù)穩(wěn)定.對給定初值ξ，有

下面我們給出一些重要的引理.

2 主要結(jié)果

為了證明本文的主要結(jié)論,給出幾個重要的引理.由于y(t)是離散數(shù)值解,我們先來研究其性質(zhì).

定理3.1 假設(shè)有正定對角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn)，則矩陣

是對稱且正定的.對于任意 ξ∈C([-τ,0]；Rn)，方程(1)的平凡解是均方指數(shù)穩(wěn)定的.即存在一對正的常數(shù)λ和M對于任意的 ξ∈CFb([-τ,0]；Rn)，有

此引理的證明同文獻(xiàn)[12]中的定理2.3類似.

定理3.2 對于任意的T＞0，有

其中C1T是依賴于ξ和T，且獨(dú)立于Δ的正的常數(shù).

證明 對|y(t)|2應(yīng)用Ito?公式得出

令一方面，利用Burkholder-Davis-Gundy不等式，對于任意的t1∈[0,T]

其中K1,K2,K3是正的常數(shù).則由假設(shè)條件得

由Gronwall引理得出

定理3.3 在假設(shè)條件下對于任意的T＞0，

其中D1和D2是一個與Δ無關(guān)的常數(shù).

證明 對任意的t∈[0,T]，存在一個正整數(shù)k使得t∈[(k-1)Δ,kΔ)?[0,T])則

利用Cauchy-Schwarz不等式和假設(shè)條件(i)-(iii)得

利用Burkholder-Davis-Gundy不等式和條件(i)-(iii)得

其中 C3和 C4是正的常數(shù).將（13）和（14）代入（12）得

令 C5=(1+λ+λ2T)(C3+C4)，得到不等式(10).同理可得不等式(11).

定理3.4 在假設(shè)條件下對于任意的T＞0，

其中CT是依賴于T且獨(dú)立于Δ.

令一方面由Burkholder-Davis-Gundy不等式，對任意T∈R+有

同理

其中K1和K2是兩個正的常數(shù).經(jīng)計算由假設(shè)條件(i)和（iii）和引理 3.3，我們得出

則

利用Gronwall引理，得

定理3.5 由假設(shè)條件(i)-(iii)，方程(5)的數(shù)值解將收斂到方程(1)的解析解

由引理3.2-3.4定理得證.

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