曾月迪，林嘉沁

（莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，福建 莆田 351100）

在數(shù)學(xué)師范生的培養(yǎng)中，中學(xué)數(shù)學(xué)方法論是重要的一門課，其針對數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.在教學(xué)中，圓錐曲線是重要的一個(gè)內(nèi)容.實(shí)際上，圓錐曲線不只是中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題，而且其有較多應(yīng)用，如文[1-3]等，所以我們從中學(xué)到大學(xué)都對圓錐曲線進(jìn)行研究.而對于中學(xué)數(shù)學(xué)中圓錐曲線的探討如文[4]等，其中圓錐曲線中最值問題的考察知識面廣，綜合性強(qiáng)，對學(xué)生知識儲備要求高，因此常常作為中學(xué)考試和教師招考的熱門題型，近幾年有較多探討如文[5]等.本文從一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的圓錐曲線最值問題出發(fā)，展開思考.

把2013福建高中數(shù)學(xué)競賽題預(yù)賽12題第2小題[6]問題一般化為：如下圖，

問題：已知A、B為拋物線：y2=2px(p＞0)上的兩個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限.l1、l2分別過點(diǎn)A、B且與拋物線相切，P 為 l1、l2的交點(diǎn).設(shè) C、D 為直線 l1、l2與直線 l：x=t(t＞0)的交點(diǎn)，求△PCD面積的最小值.

1 從極端情況探討問題

性質(zhì)1 若交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是定值，則P點(diǎn)在x軸上，三角形PCD的面積取到最小值.

證明 設(shè)P坐標(biāo)為 (x0,y0)，x0＜0，過點(diǎn)P的直線方程為y-y0=k(x-x0)，并與拋物線y2=2px聯(lián)立得：

若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)即直線與拋物線相切，由（1）式得：Δ=0即

由此可知：若 k1，k2為（2）式的兩個(gè)根，則.設(shè)兩條相切直線與直線x=t(t＞0)的交點(diǎn)為 C(t,y1)、D(t,y2).不妨設(shè) y1＞y2，則

由此可知若x0,t固定時(shí)，當(dāng)y0=0時(shí)，(y1-y2)2最小，即y1-y2最小，所以最小.

從而有：

定理1 設(shè)點(diǎn)P在直線x=x0＜0上，則過點(diǎn)P與拋物線y2=2px(p＞0)相切的直線，交直線 l：x=t(t＞0)于 C、D 兩點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形PCD的面積當(dāng)P點(diǎn)在x軸上取最小值，且與拋物線的形狀和直線 的位置無關(guān).

性質(zhì)2 若P點(diǎn)在x軸上，則原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離與原點(diǎn)到l的距離的比值為1：3時(shí)，三角形PCD的面積最小，此時(shí)

證明 由性質(zhì)1中的證明可知，若P點(diǎn)在x軸上，

注1 設(shè)過點(diǎn)P(x0,y0),x0＜0與拋物線y2=2px(p＞0)相切的直線，交直線l：x=t于C、D兩點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形PCD的面積當(dāng)P點(diǎn)在x軸上，原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離與原點(diǎn)到l的距離的比值為1：3時(shí)取最小值，且與拋物線的形狀無關(guān).

2 從問題的正面解決探討問題

設(shè) y1y2=-a2(a＞0)，|y1-y2|=m，由 (y1+y2)2=(y1-y2)2+4y1y2=m2-4a2≥0知，m≥2a，當(dāng)且僅當(dāng)y1+y2=0時(shí)等號成立.

注2 此時(shí)，說明當(dāng)P的橫坐標(biāo)固定時(shí)，y1+y2=0，m=2a時(shí)，SΔPCD最小.那么P的縱坐標(biāo)為0，即P點(diǎn)在x軸上，SΔPCD最小，這就是上述極端情況中性質(zhì)1.

例 (2013福建高中數(shù)學(xué)競賽題)：已知A、B為拋物線C：y2=4x上的兩個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限.l1、l2分別過點(diǎn) A、B 且與拋物線 C 相切，P 為 l1、l2的交點(diǎn).設(shè)C、D為直線l1、l2與直線l：x=4的交點(diǎn)，求△PCD面積的最小值.

解 由上面兩種方法可知：

注2 極端原理是關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想與方法，在師范生數(shù)學(xué)方法論的教學(xué)中，極端原理是關(guān)鍵的一部分內(nèi)容.極端原理在數(shù)學(xué)問題研究中，對于存在性是經(jīng)常討論的，并與抽屜原理一般相互應(yīng)用，有較多的研究如文[7]等.而在解決本文中的問題時(shí)，兩種方法難度系數(shù)差不多.第一種方法，具體找出了最值存在的情形.如果利用第二種方法，并沒有去探討的坐標(biāo) (其實(shí)就是極端情況)，直接求解也是能解決問題的.但是這樣就不能找出本質(zhì)的問題，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì).

定理2 已知A、B為拋物線：y2=2px(p＞0)上的兩個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限.l1、l2分別過點(diǎn)A、B且與拋物線相切，P 為 l1、l2的交點(diǎn).設(shè) C、D 為直線 l1、l2與直線l：x=t(t＞0)的交點(diǎn)，則所構(gòu)成的三角形PCD的面積當(dāng)點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，即P點(diǎn)在x軸上，原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離與原點(diǎn)到l的距離的比值為1：3時(shí)，△PCD面積取最小值，且與拋物線的形狀無關(guān).

參考文獻(xiàn)：

〔1〕Liu Y,Xu C.Approximation ofconic section by quartic Bézier curve with endpoints continuity condition[J].Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities,2017,32(1)：1-13.

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〔3〕趙歡,喜丘夏.可重建圓錐樣條曲線的帶多參數(shù)三點(diǎn)細(xì)分法[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2017,29(11)：2624-2628.

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