摘要：本文通過筆者執(zhí)教的規(guī)則教學研討課例《圓柱的體積》，就如何引導(dǎo)學生進行建模，在建模中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學模型思想，提出具體做法和想法。公式教學建模分三步驟：1、創(chuàng)設(shè)問題情境，體會建模的必要。2、引導(dǎo)自主探索，體驗建模的過程。3、求解應(yīng)用公式，驗證建模的意義。本課例中建立的幾何公式類規(guī)則教學的模式，可以應(yīng)用到小學階段其他平面圖形和立體圖形公式的推導(dǎo)的課例。

關(guān)鍵詞：公式教學；模型思想；實驗演示；公式推導(dǎo)

《2011版數(shù)學課程標準》指出，數(shù)學模型是根據(jù)特定的研究目的，采取形式化的數(shù)學語言，去抽地、概括地表征所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。而小學階段的數(shù)學模型一般是指針對特定現(xiàn)實問題或具體實物對象進行數(shù)學抽象的數(shù)學模型。數(shù)學建模就是通過建立模型的方法求得問題解決的數(shù)學活動過程。

筆者在本學期初，在越秀區(qū)數(shù)學六年級教研中，上了一節(jié)規(guī)則教學研討課例《圓柱的體積》（人教版六年級下冊）。以下通過這節(jié)課的課堂呈現(xiàn)、分析意圖等，就如何引導(dǎo)學生進行建模，在建模中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學模型思想，談?wù)勛约旱木唧w做法和想法。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，體會建模的必要。

【課堂回放】在本課例中，要學生明確推導(dǎo)圓柱的體積計算公式的必要性和方向。先復(fù)習：長方體的體積=長×寬×高，長方體和正方體體積的統(tǒng)一公式“底面積×高”，即長方體的體積=底面積×高），所有的長方體都可以用這個公式計算出體積。引導(dǎo)學生猜想，圓柱的體積也有這樣的計算公式嗎？

1、有些圓柱體的物體如硬幣、蘿卜、蛋糕等可以用排水法或用切拼轉(zhuǎn)化的方法，測量出它的體積。再出示柱子、壓路機車輪等，提問：這些物體能用排水法測量體積嗎？怎么辦呢？引導(dǎo)學生說出如果能有計算公式就好啦。

2、出示三組圓柱體，第一組是：等高，底面積相差很大，讓學生可以通過觀察的方法直接比較得出結(jié)論：等高時，圓柱的底面積大，體積就大。第二組是：一個一元銀幣和一疊一元銀幣，讓學生也可以通過觀察的方法直接比較得出結(jié)論：等底時，圓柱的高越大，體積就越大。再出示第三組的兩個圓柱體：讓學生觀察，這兩個圓柱，底面積差不多大，高也差不多高，能通過直接觀察的方法比較它們的體積大小嗎？生：不能，可以通過計算出它們的體積進行比較，所以要推導(dǎo)出圓柱的體積計算公式。

[設(shè)計意圖]1、復(fù)習長方體、正方體的體積計算方法，為圓柱體積的計算做準備。通過實物和圖片的展示，提問，從生活中分析，有些圓柱物體不能用我們學過的排水法等測量出體積，得出推導(dǎo)公式的必要性，也就是建模的必要性。2、從數(shù)學的角度比較，當不能通過觀察直接比較體積大小時，就要推導(dǎo)出公式，利用公式計算出體積才能比較。再從數(shù)學的角度得出推導(dǎo)公式的必要性。這樣，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，即發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學建模的起點。

二、引導(dǎo)自主探索，體驗建模的過程。

【課堂回放】在本課例中，師提問：能不能將圓柱轉(zhuǎn)化成我們學過的立體圖形長方體？引導(dǎo)學生觀察圓柱的底面是個圓，長方體的底面是個長方形。（生：轉(zhuǎn)化成長方體）可以轉(zhuǎn)化成長方體嗎？你猜想的依據(jù)是什么？（同桌討論）

提出猜想，引導(dǎo)學生回想圓面積計算公式的推導(dǎo)過程，明確實驗方向。根據(jù)圓面積計算公式的推導(dǎo)過程來猜想，可以把圓轉(zhuǎn)化成長方形。因為圓柱的底面是一個圓，可以把圓的底面分成很多等份，把圓柱切開，就可以拼成長方體。課件出示：圓轉(zhuǎn)化為長方形。復(fù)習圓面積計算公式的推導(dǎo)過程：把圓等分切割，拼成一個近似的長方形，找出圓和所拼成的長方形之間的關(guān)系，再利用求長方形面積的計算公式導(dǎo)出求圓面積的計算公式。（強化把圓轉(zhuǎn)化為直的思想）?？梢园哑矫鎴D形的方法類比到立體圖形。大家都認為是可以把圓柱轉(zhuǎn)化成長方體，對嗎？明確了實驗方向，我們動手操作驗證一下。

2、實驗演示：先讓學生用學具，分小組操作，在操作中思考問題，并填好實驗單。用動態(tài)課件再演示一次。想象分成無限多份時會怎樣。先課件展示操作過程：把底面分成許多等份，再拼成圓柱.分4人小組合作（學生用學具，準備8個學具）：你們想自己操作試一試嗎？用學具圓柱體的拼一拼，（注意把小份的放外面拼。）并填寫實驗紙。用課件再展示一次把圓柱拼成長方體的過程。

3、對比分析；（觀察對比，尋求關(guān)系）學生展示作品并說明自己推導(dǎo)公式的過程。（要讓學生拿起學具說，多個講）。討論：把拼成的長方體與原來的圓柱比較，你能發(fā)現(xiàn)什么？討論重點：1、圓柱通過切、拼后，轉(zhuǎn)化出近似長方體，什么變了，什么沒變？ 2、長方形的底面積等于圓柱的（）？3、長方體的高等于圓柱（ ）？4、因為長方體的體積=底面積乘高，你認為圓柱的體積怎樣計算？用課件再展示一次，找出各部分間的對應(yīng)關(guān)系。

4、推導(dǎo)公式：提升認識：通過觀察，使學生明確：把圓柱轉(zhuǎn)化成長方體后，形狀變了，體積不變。長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高就是圓柱的高。（長方體的體積=底面積×高，所以圓柱的體積=底面積×高，V=Sh）

[設(shè)計意圖]在學生探明方向的基礎(chǔ)上，通過課件演示，學生動手實驗操作后，通過觀察、對比等，自主推導(dǎo)出圓柱的體積計算公式。在建模的過程，要通過學生的觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學活動，完成模式抽象，得到模型。這是建模的最重要環(huán)節(jié)。

三、求解應(yīng)用公式，驗證建模的意義。

【課堂回放】。在本課例的教學中，在推導(dǎo)出圓柱體積計算公式后，應(yīng)用公式解決問題，鞏固新知。出示例1：一根圓柱形木料，底面積為12.56cm?，長10cm，它的體積是多少？（先簡單練習知道底面積和高求體積。）再出示三個圓柱體，給出不同的條件，應(yīng)用幾種不同變式練習，再解決實際的問題：柱子是一個頂天立地的圓柱體，要求它的體積是多少？怎么辦呢？讓學生說思路：用實際的物體說明有時只能量出圓柱的底面周長，不能量出半徑或直徑，也就是知道圓柱的底面周長，求體積的情況。利用公式解決實際問題。再到逆向應(yīng)用公式，即逆向應(yīng)用公式練習，使學生會正向和逆向應(yīng)用計算公式。

[設(shè)計意圖]通過模型求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義。通過這節(jié)課例的教學，圓柱體積公式的推導(dǎo)過程，可以建立幾何公式規(guī)則教學的模式，基本流程是：先提出問題（即為什么要推導(dǎo)公式，即建模的必要性。）；再建立模型（提出猜想，明確實驗方向；實驗操作演示；觀察對比分析；利用舊圖形的公式推導(dǎo)出新圖形的公式。）最后要用模型，即求解驗證?？梢园堰@教學模式遷移到其他的幾何圖形的公式推導(dǎo)的教學。

數(shù)學建模的一般步驟可以簡化為三個環(huán)節(jié)：1、從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題。即發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學建模的起點。2、用數(shù)學符號建立方程、不等式等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在這步中，現(xiàn)實要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學活動，完成模式抽象，得到模型。（這是建模的最重要環(huán)節(jié)。）3、通過模型求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義。

總之，模型思想需要一線教師在教學中逐步滲透和引導(dǎo)學生不斷感悟，要經(jīng)歷一個比較復(fù)雜的過程，不可能在一兩節(jié)課就可以讓學生完全感悟深刻的，需要老師在課堂上長時間的重視和不斷滲透，針對具體問題進行教學，學生才能經(jīng)歷一個從模糊到清晰的領(lǐng)悟過程。例如，在本課例中建立的幾何公式類規(guī)則教學的模式，可以應(yīng)用到小學階段其他平面圖形和立體圖形公式的推導(dǎo)的課例。讓學生在這一類的幾何圖形教學中，不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質(zhì)。

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作者簡介：梁石云，1972.7.12，籍貫：廣東云浮市，職稱：一級教師，學歷：教育碩士。