姬安召，王玉風(fēng)，崔建斌

(1.隴東學(xué)院能源工程學(xué)院，甘肅慶陽(yáng) 745000；2.隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽(yáng) 745000)

由于碳酸鹽巖受沉積環(huán)境與成巖后生作用等不同程度的影響，儲(chǔ)層的孔隙復(fù)雜，裂縫形態(tài)多樣，形成多級(jí)別、多開(kāi)度的裂縫與溶蝕縫，該特征導(dǎo)致碳酸鹽巖巖性油氣藏的滲流規(guī)律具有復(fù)雜性[1，2]。目前，許多學(xué)者對(duì)縫洞型碳酸鹽巖儲(chǔ)層的滲流規(guī)律進(jìn)行了研究。賈永祿等[3]建立了基巖、溶蝕孔洞、微裂縫和大裂縫的四孔單滲模型，并采用Laplace變換和Stehfest數(shù)值反演方法進(jìn)行了求解，但只考慮了微裂縫、基巖和溶蝕孔洞向大裂縫竄流，井筒供液只有大裂縫提供，沒(méi)有考慮介質(zhì)間流體的流動(dòng)。程時(shí)清、顧岱鴻、張利軍、常學(xué)軍等[4-7]建立了基巖、溶洞和裂縫三重介質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，并用Laplace變換等數(shù)學(xué)方法進(jìn)行了模型的求解，通過(guò)數(shù)值反演的方法繪制了三重介質(zhì)試井曲線，并對(duì)曲線的特征進(jìn)行了分析。趙玉龍等[8]對(duì)三重介質(zhì)油藏非牛頓流體的冪律流規(guī)律做了研究。任俊杰等[9]研究斜井三重介質(zhì)井底壓力動(dòng)態(tài)特征，當(dāng)井斜角大于60°時(shí)，早起垂向徑向流的壓力導(dǎo)數(shù)曲線為一條水平線，井斜角小于60°時(shí)，與直井的壓力動(dòng)態(tài)特征一致。楊堅(jiān)等[10]對(duì)斜井三重介質(zhì)油藏的單井壓力動(dòng)態(tài)特征進(jìn)行了研究，分別考慮了無(wú)限大邊界，封閉邊界和定壓邊界的情況。張冬麗等[11-13]研究了縫洞型碳酸鹽巖油藏油水兩相滲流三重介質(zhì)的數(shù)值試井方法?？偨Y(jié)前人研究成果，本文主要針對(duì)大裂縫、微裂縫和溶蝕孔洞發(fā)育的復(fù)雜儲(chǔ)層碳酸鹽巖油藏，建立以大裂縫和微裂縫向井筒供液的雙滲四重介質(zhì)數(shù)學(xué)模型，并對(duì)采用Laplace變換及含有特征參數(shù)的微分方程通解分析的方法進(jìn)行模型求解，然后采用Stehfest數(shù)值反演進(jìn)行典型曲線的繪制，并對(duì)影響典型曲線特征的因素進(jìn)行分析。

1 四孔雙滲物理模型

儲(chǔ)層由溶蝕孔洞、大裂縫、微裂縫和基巖組成，儲(chǔ)層中的大裂縫和微裂縫為流體的流動(dòng)提供了滲流通道，溶蝕孔洞和基巖提供了主要的儲(chǔ)存空間。該模型描述了大裂縫和微裂縫共同向井筒供液，溶蝕孔洞和微裂縫的流體向大裂縫發(fā)生竄流，同時(shí)基巖的流體也向溶蝕孔洞發(fā)生竄流，具體物理模型(見(jiàn)圖1)。

為了簡(jiǎn)化大裂縫、微裂縫、溶蝕孔洞和基巖滲流的數(shù)學(xué)模型，基本假設(shè)為：油井以定產(chǎn)量生產(chǎn)；儲(chǔ)層流體和儲(chǔ)層巖石微可壓縮，并且為單相流體；儲(chǔ)層流體在這四種介質(zhì)中的流動(dòng)符合達(dá)西滲流規(guī)律；考慮井筒儲(chǔ)集效應(yīng)和表皮效應(yīng)的影響；忽略重力和毛管力的影響；地層的啟動(dòng)壓力很小，忽略不計(jì)；每一種介質(zhì)的滲透率、孔隙度和壓縮系數(shù)相互獨(dú)立；流體只通過(guò)大裂縫和微裂縫流向井筒，溶蝕孔洞和基巖作源。

圖1 四孔雙滲模型示意圖

2 四孔雙滲數(shù)學(xué)模型建立與求解

2.1 模型的無(wú)因次滲流微分方程

基于以上物理模型，根據(jù)儲(chǔ)層流體的運(yùn)動(dòng)方程、質(zhì)量守恒方程和狀態(tài)方程，建立法定單位下的無(wú)因次大裂縫、微裂縫、溶蝕孔洞與基巖連通情況下的滲流數(shù)學(xué)模型。

無(wú)因次大裂縫滲流微分方程：

無(wú)因次微裂縫滲流微分方程：

無(wú)因次溶蝕孔洞滲流微分方程：

無(wú)因次基巖滲流微分方程：

為了簡(jiǎn)化模型的求解，無(wú)因次參數(shù)定義如下：無(wú)因次半徑的定義：

無(wú)因次時(shí)間的定義：

無(wú)因次壓力的定義：

式中：下標(biāo) j=F，f，v，m；F-大裂縫；f-微裂縫；v-溶蝕孔洞；m-基巖。

無(wú)因次井儲(chǔ)系數(shù)的定義：

不同介質(zhì)的彈性儲(chǔ)容比的定義：

不同介質(zhì)之間的竄流系數(shù)：

式中：下標(biāo) k=fF，vF，vf，mv；分別表示微裂縫向大裂縫竄流、溶蝕孔洞向大裂縫竄流、溶蝕孔洞向微裂縫竄流和基巖向溶蝕孔洞竄流，其對(duì)應(yīng)的下標(biāo)i=f，v，v，m。

滲透率比值的定義：

式中：r-井距儲(chǔ)層中任意位置的距離，m；kj-四種介質(zhì)的滲透率，μm2；μ-儲(chǔ)層流體的黏度，mPa·s；pj-四種介質(zhì)儲(chǔ)層流體的壓力，MPa；αk-形狀系數(shù)，m-2；φj-四種介質(zhì)的孔隙度，無(wú)量綱；Ctj-四種介質(zhì)的綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；t-時(shí)間，h。

無(wú)因次初始條件為：

無(wú)因次井底定產(chǎn)條件為：

無(wú)因次表皮效應(yīng)的內(nèi)邊界條件為：

無(wú)因次無(wú)限大外邊界條件為：

無(wú)因次封閉外邊界條件為：

無(wú)因次定壓外邊界條件為：

式中：rDe-無(wú)因次外邊界半徑。

為了求解(1)～(11)式定解微分方程，對(duì)(1)～(11)式的無(wú)因次時(shí)間tD變量進(jìn)行Laplace變換，在Laplace空間的變量用z表示，壓力用pˉ表示。

2.2 微分方程特征參數(shù)求解

對(duì)溶蝕孔洞和基巖滲流微分方程(3)和(4)式進(jìn)行Laplace變換，同時(shí)考慮(5)式的初始條件，經(jīng)過(guò)Laplace變換可化簡(jiǎn)為代數(shù)方程，在代數(shù)方程中，用大裂縫和微裂縫的Laplace空間無(wú)因次壓力分別表示基巖和溶蝕孔洞的壓力。將這兩個(gè)方程代入大裂縫和微裂縫Laplace空間的滲流微分方程中，通過(guò)整理可得：

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，在無(wú)限大外邊界的條件下方程(12)和(13)式的通解為：

式中：K0(σrD)-修正的零5第二類(lèi)Bessel函數(shù)；σ-特征參數(shù)；A2、B2-滿足內(nèi)邊界的待求參數(shù)。

將(14)和(15)式分別代入到(12)和(13)式，可得到關(guān)于A2和B2的線性方程組。由實(shí)際問(wèn)題可知，A2和B2是存在的，則齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式的值為0。通過(guò)整理可得關(guān)于特征參數(shù)σ的方程為：

通過(guò)(16)式可知特征參數(shù)σ有兩個(gè)實(shí)數(shù)解σ1和σ2，根據(jù)線性微分方程解的疊加原理，這兩個(gè)特征參數(shù)共同構(gòu)成了微分方程的解，則微分方程的通解(14)和(15)式又可表示為：

式中：A1、B1、A2和B2為滿足內(nèi)邊界的待求參數(shù)。

將(17)和(18)式代入到(12)和(13)式，結(jié)合修正Bessel函數(shù) K0(x)的導(dǎo)數(shù)，可得關(guān)于 A1、B1、A2和 B2四個(gè)未知參數(shù)的兩個(gè)方程組。這兩個(gè)方程組中含有修正Bessel函數(shù) K0(σ1rD)和 K0(σ2rD)，由于 σ1和 σ2是互異的，則K0(σ1rD)與K0(σ2rD)是線性無(wú)關(guān)的，要是方程組有解，則K0(σ1rD)與K0(σ2rD)的系數(shù)之和必須為0，通過(guò)整理可得 A1、B1、A2和 B2四個(gè)未知參數(shù)關(guān)系[14]。則Laplace空間微裂縫滲流微分方程的通解為：

2.3 無(wú)限大地層模型的解

根據(jù)(17)和(19)式可知，要得出微分方程的特解，則需要兩個(gè)條件即可。對(duì)于無(wú)限大地層而言，外邊界條件在方程通解給出的過(guò)程中已經(jīng)使用，現(xiàn)在將(17)和(19)式代入到內(nèi)邊界定產(chǎn)條件(6)式和表皮效應(yīng)條件(7)和(8)式，通過(guò)整理可得：

式中：

通過(guò)(20)式的求解，可得滿足內(nèi)邊界條件的參數(shù)A1和A2。根據(jù)獲得Laplace空間的解析解，采用Stehfest數(shù)值反演方法可得實(shí)空間的井底壓力。

2.4 封閉邊界與定壓邊界模型的解

對(duì)于封閉邊界和定壓邊界求解過(guò)程與上述思路相同，只是受邊界條件的影響，方程的通解形式不同。限于篇幅有限，這里只給出本文求解的結(jié)果。

井底壓力的表達(dá)式為：

式中：特征參數(shù)σ1和σ2由(16)式確定，方程系數(shù)A1、A2、A3和 A4由下列方程組確定：

對(duì)于封閉邊界而言，其系數(shù)為：

對(duì)于定壓邊界而言，只有系數(shù)a11、a12、a13和a14不同，其他同封閉邊界：

3 壓力動(dòng)態(tài)分析

3.1 流動(dòng)5段的劃分

雙滲四重介質(zhì)油藏試井曲線劃分為5個(gè)5段(見(jiàn)圖2)：AB段是早期的井儲(chǔ)5段，曲線的特征為45°線，井儲(chǔ)結(jié)束后，井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)峰值，之后向下傾斜，這個(gè)特征是表皮效應(yīng)的響應(yīng)特征；BE段出現(xiàn)了3個(gè)“凹子”是流體在介質(zhì)間竄流的結(jié)果，BC段是微裂縫和溶蝕孔洞向大裂縫的竄流5段，CD段是溶蝕孔洞向微裂縫的竄流5段，DE段是基巖向溶蝕孔洞的竄流5段；EF段是邊界的響應(yīng)特征，對(duì)于井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線而言，在無(wú)限大邊界中表現(xiàn)為水平的0.5線，在封閉邊界中表現(xiàn)為上傾的45°線，在定壓邊界中導(dǎo)數(shù)曲線下降很快。圖2中的無(wú)因次井儲(chǔ)系數(shù)CD為1.0，表皮系數(shù)S為5.0，滲透率比κ為0.95，基巖彈性儲(chǔ)容比ωm為0.7，溶蝕孔洞彈性儲(chǔ)容比ωv為0.2，微裂縫彈性儲(chǔ)容比ωf為0.08，大裂縫彈性儲(chǔ)容比ωF為2×10-3，微裂縫向大裂縫竄流系數(shù)λfF為1×10-4，溶蝕孔洞向大裂縫竄流系數(shù)λvF為1×10-6，溶蝕孔洞向微裂縫竄流系數(shù)λvf為8×10-7，基巖向溶蝕孔洞竄流系數(shù) λmv為 1×10-8，封閉邊界和定壓邊界的無(wú)因次半徑rDe為2×10-4。

圖2 不同邊界井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)曲線

3.2 彈性儲(chǔ)容比(ω)

圖3 彈性儲(chǔ)容比對(duì)壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)的影響

圖4 竄流系數(shù)對(duì)壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)的影響

彈性儲(chǔ)容比是用來(lái)描述大裂縫、微裂縫、溶蝕孔洞和基巖的彈性儲(chǔ)容能力相對(duì)大小的物理量。彈性儲(chǔ)容比主要影響試井曲線“凹子”的深度和寬度。當(dāng)大裂縫彈性儲(chǔ)容比ωF逐漸增大時(shí)(見(jiàn)圖3)，第1個(gè)“凹子”就逐漸變淺且變窄，同時(shí)對(duì)第2個(gè)“凹子”也變淺且變窄，但影響較小，對(duì)第3個(gè)“凹子”基本沒(méi)有影響。圖3中的參數(shù)取值與圖2中參數(shù)取值一致。

圖5 滲透率比對(duì)壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)的影響

3.3 竄流系數(shù)(λ)

在雙滲四重介質(zhì)油藏中，大裂縫、微裂縫、溶蝕孔洞與基巖之間存在著流體交換，竄流系數(shù)就是用來(lái)描述四種介質(zhì)間流體交換的物理量，它反映介質(zhì)間竄流的能力。竄流系數(shù)的大小決定壓力導(dǎo)數(shù)曲線的過(guò)渡段“凹子”出現(xiàn)的時(shí)間，同時(shí)竄流系數(shù)也能影響到“凹子”的深度及寬度。當(dāng)微裂縫向大裂縫竄流系數(shù)逐漸減小時(shí)，“凹子”出現(xiàn)的時(shí)間越晚，并且“凹子”越寬越深(見(jiàn)圖4)。圖4中的溶蝕孔洞向大裂縫竄流系數(shù)λvF為1×10-6，當(dāng)微裂縫向大裂縫竄流系數(shù)與λvF相等時(shí)，這表明微裂縫與溶蝕孔洞向大裂縫竄流的能力是一樣的，壓力導(dǎo)數(shù)曲線表現(xiàn)出三種介質(zhì)的性質(zhì)，即在圖4中出現(xiàn)了兩個(gè)“凹子”。

3.4 滲透率比(κ)

滲透率比主要影響壓力導(dǎo)數(shù)曲線的第1個(gè)“凹子”的深度(見(jiàn)圖5)，滲透率比與大裂縫彈性儲(chǔ)容比都是決定第1個(gè)“凹子”的深度，但滲透率比越大，第1個(gè)“凹子”越深。若滲透率比等于0.5，表明大裂縫和微裂縫的滲流能力是一致的，二者可以看作是一種介質(zhì)，這時(shí)就可以簡(jiǎn)化為三重介質(zhì)，則壓力導(dǎo)數(shù)曲線由原來(lái)的三個(gè)“凹子”變?yōu)閮蓚€(gè)“凹子”。

4 結(jié)論

(1)對(duì)含有特征參數(shù)的滲流微分方程通解與微分方程的構(gòu)成條件進(jìn)行分析，求解出雙滲四重介質(zhì)模型的解析解。

(2)雙滲四重介質(zhì)試井中壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)了三個(gè)“凹子”，這對(duì)雙滲四重介質(zhì)油藏試井分析的研究與應(yīng)用具有一定的借鑒意義。

(3)壓力導(dǎo)數(shù)曲線上“凹子”的數(shù)量與大小主要由介質(zhì)間竄流系數(shù)，介質(zhì)的彈性儲(chǔ)容比以及滲透率比共同來(lái)決定，這些參數(shù)的取值對(duì)壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)的影響較為敏感，只有當(dāng)各個(gè)參數(shù)選取都十分恰當(dāng)時(shí)，才能表現(xiàn)出每個(gè)5段的滲流特征。

參考文獻(xiàn)：

［1］王龍，等.碳酸鹽臺(tái)地的類(lèi)型、特征和沉積模式-兼論華北地臺(tái)寒武紀(jì)陸表海-淹沒(méi)臺(tái)地的沉積樣式［J］.地質(zhì)論評(píng)，2018，64(1)：62-76.

［2］付坤榮，等.塔中地區(qū)晚奧陶世碳酸鹽臺(tái)緣與臺(tái)內(nèi)沉積差異-定性和定量的碳酸鹽巖微相綜合分析［J］.沉積學(xué)報(bào)，2018，36(1)：101-109.

［3］賈永祿，孫高飛，聶仁仕，等.四重介質(zhì)油藏滲流模型與試井曲線［J］.巖性油氣藏，2016，28(1)：123-127.

［4］程時(shí)清，屈雪峰.三重介質(zhì)模型試井分析方法［J］.油氣井測(cè)試，1997，12(1)：5-11.

［5］顧岱鴻，丁道權(quán)，劉軍.三重介質(zhì)頁(yè)巖氣藏分段壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型［J］.大慶石油地質(zhì)與開(kāi)發(fā)，2016，35(1)：158-165.

［6］張利軍，程時(shí)清，尹洪軍.雙滲三重介質(zhì)油藏試井分析［J］.特種油氣藏，2008，13(5)：66-69.

［7］常學(xué)軍，姚軍，戴衛(wèi)華，等.裂縫和洞與井筒連通的三重介質(zhì)油藏試井解釋方法研究［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展(A輯)，2004，23(3)：339-346.

［8］趙玉龍，張烈輝，青勝蘭.三重介質(zhì)油藏非牛頓冪律流體試井模型與典型曲線分析［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展(A輯)，2010，25(2)：254-261.

［9］任俊杰，郭平，汪周華.三重介質(zhì)油藏斜井壓力動(dòng)態(tài)特征分析［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展(A 輯)，2012，27(1)：7-15.

［10］楊堅(jiān)，姚軍，王子勝.三重介質(zhì)復(fù)合油藏壓力動(dòng)態(tài)特征研究［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展(A 輯)，2005，13(4)：418-425.

［11］張冬麗，李江龍，杜文軍，等.縫洞型油藏三重介質(zhì)油水兩相流數(shù)值試井解釋方法［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展(A輯)，2010，25(4)：429-437.

［12］張冬麗，李江龍，吳玉樹(shù).縫洞型油藏三重介質(zhì)數(shù)值試井模型［J］.西南石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，32(2)：82-88.

［13］張冬麗，李江龍，吳玉樹(shù).縫洞型油藏三重介質(zhì)數(shù)值試井模型影響因素［J］.西南石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，32(6)：113-120.

［14］孔祥言.高等滲流力學(xué)［M］.合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，2010.