李永泉　劉天旭　王立捷　張立杰　程雪利

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004；3.燕山大學(xué)河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004; 4.河南工學(xué)院機(jī)械工程系， 新鄉(xiāng) 453002)

0　引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型是對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)優(yōu)化以及動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)的基礎(chǔ)，而且準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型是對(duì)機(jī)構(gòu)高速高精度控制的前提。牛頓-歐拉法、拉格朗日方程法、虛功原理法和凱恩方程法是目前常用的并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模方法。這些方法在Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模中得到了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[1-3]采用牛頓-歐拉法建立了該平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，通過對(duì)運(yùn)動(dòng)桿件的單獨(dú)分析，列出運(yùn)動(dòng)桿件的牛頓方程，通過消去中間變量，得到包含關(guān)節(jié)約束力的整體動(dòng)力學(xué)方程；文獻(xiàn)[4-6]應(yīng)用拉格朗日方程法，依據(jù)系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能以及廣義力，從而建立Stewart平臺(tái)只包含驅(qū)動(dòng)力而并沒有關(guān)節(jié)約束力的動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)[7-10]采用虛功原理建立了該平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型，引入虛位移和虛功的概念，基于慣性力和驅(qū)動(dòng)力所做虛功之和為零這一基本思想，得到多剛體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型；鹿玲等[11]利用凱恩方程法對(duì)5UPS/PRPU進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。李兵等[12]采用凱恩方程法對(duì)Stewart平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，基本思想是廣義慣性力和廣義主動(dòng)力之和為零，從而得到系統(tǒng)不含約束力的動(dòng)力學(xué)方程。李鷺揚(yáng)等[13]利用凱恩方程建立了Gough-Stewart平臺(tái)的高效動(dòng)力學(xué)模型。此外，F(xiàn)IJANY等[14]提出了一種新的算法，利用投影矩陣將平臺(tái)的速度、加速度信息與關(guān)節(jié)的速度、加速度信息直接關(guān)聯(lián)，建立了平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型。以上方法都是針對(duì)機(jī)構(gòu)本體建立的單一能域的動(dòng)力學(xué)模型，而機(jī)器人系統(tǒng)本身可能包含伺服電機(jī)、液壓缸、電動(dòng)缸等驅(qū)動(dòng)部分的一種或幾種組合，本身屬于多能域耦合系統(tǒng)。經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)建模方法局限于并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)械部分本體的動(dòng)力學(xué)建模，若要構(gòu)建系統(tǒng)多能域全局動(dòng)力學(xué)模型，需要對(duì)各個(gè)能域包含的子系統(tǒng)分別建模，建立中間變量將各個(gè)系統(tǒng)聯(lián)系起來解，這就增加了動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程變量的數(shù)目，并使建模過程變得十分復(fù)雜，降低了模型的準(zhǔn)確性。

為解決多能域子系統(tǒng)之間的相互作用，功率鍵合圖(Bond graph)理論于1959年由PAYNTER[15]提出。經(jīng)過KARNOPP等[16-17]的研究，鍵合圖理論日益完善。針對(duì)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)，先后有DAMIC等[18]、YILDIZ等[19]采用功率鍵合圖構(gòu)建了包含驅(qū)動(dòng)電機(jī)在內(nèi)的鍵合圖模型，并推導(dǎo)了平臺(tái)的狀態(tài)方程。但是由于Stewart平臺(tái)分支較多且屬于一個(gè)空間多自由度、多體系統(tǒng)，其鍵合圖模型復(fù)雜度高、耦合性強(qiáng)，采用傳統(tǒng)鍵合圖理論建立的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型復(fù)雜。為此，文獻(xiàn)[20-21]在機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模過程中引入旋量理論，綜合了旋量理論在描述空間構(gòu)件以及鍵合圖理論在多能域動(dòng)力學(xué)建模的優(yōu)勢(shì)，提出旋量鍵合圖概念。本文綜合旋量理論在描述并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方面的優(yōu)勢(shì)，結(jié)合鍵合圖理論在動(dòng)力學(xué)建模方面的簡(jiǎn)潔性，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多能域動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模。

1　Stewart平臺(tái)介紹

圖1　Stewart平臺(tái)Fig.1　Stewart platform

Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1a所示，其定平臺(tái)上6個(gè)萬向鉸U的鉸點(diǎn)用A1,A2,…,A6表示，動(dòng)平臺(tái)上6個(gè)球鉸S的鉸點(diǎn)用B1,B2，…，B6表示，定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)通過6個(gè)完全相同的UPS支鏈相連，移動(dòng)副P作為驅(qū)動(dòng)副，由電動(dòng)缸實(shí)現(xiàn)支鏈的伸縮運(yùn)動(dòng)。在定平臺(tái)上建立定坐標(biāo)系Oxyz，坐標(biāo)原點(diǎn)O位于萬向鉸所在平面的幾何中心，z軸為過中心點(diǎn)O的豎直軸，它與定平臺(tái)所在平面垂直，x軸垂直于A1A6，y軸由右手定則確定。同樣建立動(dòng)坐標(biāo)系O1x1y1z1，即慣性系Ψ0。坐標(biāo)原點(diǎn)O1位于球鉸所在平面的幾何中心,x1軸垂直于B1B6，z1軸垂直于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)所在平面，y1軸由右手螺旋定則確定。圖1b為Stewart平臺(tái)的三維模型。

2　Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)本體旋量鍵合圖模型

2.1　支鏈坐標(biāo)系和動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系建立

首先建立用于旋量鍵合圖建模的支鏈坐標(biāo)系，如下：

桿件質(zhì)心坐標(biāo)系：簡(jiǎn)化驅(qū)動(dòng)支鏈，假設(shè)支鏈上下連桿的質(zhì)心Cui、Cdi位于支鏈伸縮方向上，如圖2所示，在質(zhì)心處構(gòu)建與慣性系Ψ0各坐標(biāo)軸方向平行的坐標(biāo)系Ψuι、Ψdi。

圖2　驅(qū)動(dòng)支鏈結(jié)構(gòu)圖Fig.2　Structure diagram of drive chain

支鏈坐標(biāo)系：如圖3所示，在萬向鉸轉(zhuǎn)動(dòng)中心處，建立支鏈坐標(biāo)系Ψ-i(i=1,2,3,4,5,6)，坐標(biāo)原點(diǎn)為Ai，其z-軸沿支鏈伸縮方向由Ai指向Bi，y-軸垂直于平面OAiBi，沿z1負(fù)方向作為順時(shí)針方向，則x-=y-z-。

圖3　驅(qū)動(dòng)支鏈分布圖Fig.3　Distribution diagram of drive chain

運(yùn)動(dòng)副接觸坐標(biāo)系：首先，在萬向鉸轉(zhuǎn)動(dòng)中心Ai處建立萬向鉸接觸坐標(biāo)系ΨAi(i=1,2,3,4,5,6)，令yAi軸方向?yàn)槿f向鉸十字軸軸線的方向，分布如圖3所示，xAi軸垂直于yAi軸和支鏈伸縮方向si構(gòu)成的平面，即xAi=yAisi，則zAi=xAiyAi；接著，分別在電動(dòng)缸活塞桿和缸體接觸點(diǎn)Ki和球鉸轉(zhuǎn)動(dòng)中心Bi處，建立移動(dòng)副接觸坐標(biāo)系ΨKi和球鉸接觸坐標(biāo)系ΨBi，各坐標(biāo)軸方向平行于支鏈坐標(biāo)系Ψ-i的各坐標(biāo)軸方向。

假設(shè)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)受作用在E點(diǎn)載荷We，如圖4所示。以E點(diǎn)為原點(diǎn)，建立與慣性系Ψ0平行的載荷坐標(biāo)系ΨE。

圖4　動(dòng)平臺(tái)組件結(jié)構(gòu)圖Fig.4　Structure diagram of moving platform

2.2　Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)本體旋量鍵合圖建模

Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)組件可視為由驅(qū)動(dòng)支鏈組件和動(dòng)平臺(tái)組件兩部分組成，其中驅(qū)動(dòng)支鏈組件由移動(dòng)副即伺服電缸、萬向鉸、球鉸及測(cè)力傳感器組成；動(dòng)平臺(tái)組件由動(dòng)平臺(tái)及球鉸安裝楔塊組成。分別對(duì)這兩部分進(jìn)行旋量鍵合圖建模。

根據(jù)文獻(xiàn)[20]建立UPS支鏈旋量鍵合圖，如圖5所示。由于萬向鉸連接定平臺(tái)，速度為0，因此采用0流源作為輸入；而球鉸連接動(dòng)平臺(tái)，通過鍵②/③/④/⑤/⑥/⑦，將驅(qū)動(dòng)支鏈旋量鍵合圖連接到動(dòng)平臺(tái)旋量鍵合圖。鍵①則表示連接到電動(dòng)缸驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)鍵合圖。建立動(dòng)平臺(tái)旋量鍵合圖模型，如圖6所示。

根據(jù)圖5驅(qū)動(dòng)支鏈鍵合圖模型，列寫驅(qū)動(dòng)支鏈的狀態(tài)方程

(1)

圖6　動(dòng)平臺(tái)旋量鍵合圖Fig.6　Screw bond graph of moving platform

mdi、mui——支鏈下、上連桿的質(zhì)量

根據(jù)圖6動(dòng)平臺(tái)鍵合圖模型，可得動(dòng)平臺(tái)狀態(tài)方程為

(2)

式(1)、(2)分別是驅(qū)動(dòng)支鏈以及動(dòng)平臺(tái)的狀態(tài)方程，即Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)本體動(dòng)力學(xué)模型，共包含78個(gè)未知量，對(duì)應(yīng)的可以列出78個(gè)狀態(tài)方程，可以得到該平臺(tái)機(jī)構(gòu)本體的動(dòng)力學(xué)全解。

2.3　Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)本體逆向動(dòng)力學(xué)仿真

平臺(tái)機(jī)構(gòu)的逆向動(dòng)力學(xué)模型是分析其動(dòng)態(tài)性能及參數(shù)辨識(shí)的基礎(chǔ)，基于機(jī)構(gòu)的旋量鍵合圖得到的狀態(tài)方程，利用Matlab編程軟件和ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)其動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

表1　Stewart平臺(tái)部分參數(shù)Tab.1　Part of Stewart platform parameters

為使機(jī)構(gòu)工作空間最大，令機(jī)構(gòu)初始姿態(tài)為ψ=0°、φ=0°、θ=0°。采用組合正弦函數(shù)[22]對(duì)末端運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行軌跡規(guī)劃，末端運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7所示，通過反解計(jì)算得到電動(dòng)缸的運(yùn)動(dòng)學(xué)信息，如圖8所示。

圖7　末端P的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7　Trajectory of end P

圖8　驅(qū)動(dòng)位移Fig.8　Drive displacement

根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)信息和狀態(tài)方程，利用Matlab軟件計(jì)算得到機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力，如圖9所示；同時(shí)，建立機(jī)構(gòu)三維模型，利用ADAMS軟件對(duì)其進(jìn)行仿真，仿真驗(yàn)證模型如圖10所示，得到機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力如圖11所示。對(duì)比圖9和圖11，由于在理論計(jì)算中忽略了球鉸及萬向鉸等構(gòu)件的慣量，從而使得理論值與仿真值產(chǎn)生了微小偏差。但是，誤差相對(duì)于驅(qū)動(dòng)力數(shù)值很小，因此可以驗(yàn)證基于旋量鍵合圖得到的動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

圖9　理論計(jì)算驅(qū)動(dòng)力Fig.9　Theory value of driving force

圖10　ADAMS仿真模型Fig.10　Simulation mode in ADAMS

圖11　仿真驅(qū)動(dòng)力Fig.11　Driving force of simulation

基于旋量鍵合圖模型得到的狀態(tài)方程，動(dòng)力學(xué)全解除了6條支鏈的驅(qū)動(dòng)力之外，還包括任意時(shí)刻萬向鉸、移動(dòng)副和球面副處的約束力。驅(qū)動(dòng)支鏈各個(gè)關(guān)節(jié)約束力變化如圖12～14所示。

圖12　萬向鉸處約束力Fig.12　Constraint force of universal joints

圖13　球鉸處約束力Fig.13　Constraint force of spherical joints

圖14　移動(dòng)副處約束力Fig.14　Constraint force of translational joints

3　Stewart平臺(tái)多能域系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

3.1　伺服電動(dòng)缸鍵合圖模型

Stewart平臺(tái)采用電動(dòng)缸作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)。電動(dòng)缸是將伺服電機(jī)與絲杠一體化設(shè)計(jì)的模塊化產(chǎn)品，伺服電機(jī)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)通過滾珠絲杠機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化為推桿的直線運(yùn)動(dòng)。其工作原理如圖15所示。伺服電機(jī)及滾珠絲杠機(jī)構(gòu)采用傳統(tǒng)鍵合圖建模，鍵合圖模型如圖16所示。

圖15　電動(dòng)缸物理模型Fig.15　Physical model of electric cylinder

圖16　電動(dòng)缸鍵合圖模型Fig.16　Bonding graph model of electric cylinder

分別選取p和q作為狀態(tài)變量，則狀態(tài)方程為

(3)

式中La——電機(jī)電樞電感

Ra——電機(jī)電樞電阻

Ja——電機(jī)轉(zhuǎn)子以及同步帶輪慣量

Ta——電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩常量

Tf——滾珠絲杠導(dǎo)程

K——滾珠絲杠扭矩剛度，為無窮大

3.2　Stewart平臺(tái)多能域系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

將Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)本體旋量鍵合圖與伺服電動(dòng)缸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)鍵合圖結(jié)合，建立完整Stewart平臺(tái)機(jī)、電耦合的多能域系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)全解模型，如圖17所示。

依據(jù)式(1)～(3)，運(yùn)行圖7所示軌跡，可理論計(jì)算電機(jī)電流變換情況，如圖18所示。對(duì)比圖9與圖18可以看出，電機(jī)電流和驅(qū)動(dòng)力呈一定的比例關(guān)系，這符合伺服電動(dòng)缸的特點(diǎn)，此外，電機(jī)電流的變化曲線的峰值并未超過所選電機(jī)的額定電流，可以驗(yàn)證所選伺服電機(jī)在此工況下滿足要求。

4　實(shí)驗(yàn)

在加工完成Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)樣機(jī)的基礎(chǔ)上，選取輔助的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，完成平臺(tái)機(jī)構(gòu)本體動(dòng)力學(xué)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)樣機(jī)和控制系統(tǒng)如圖19所示，實(shí)驗(yàn)設(shè)備結(jié)構(gòu)如圖20所示。

圖17　Stewart平臺(tái)機(jī)、電耦合的多能域系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)全局模型Fig.17　Model of multi-energy domain dynamics of Stewart platform, which was mechanical and electronic coupling systems

圖18　電機(jī)電流理論計(jì)算值Fig.18　Theory value of motor current

圖19　實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.19　System of experiment

圖20　實(shí)驗(yàn)裝置Fig.20　Device of experiment

其中，控制器選用倍福公司生產(chǎn)的C6920-0050型控制器，伺服電機(jī)選用的是中達(dá)電通公司的ECMA-C11010SS型伺服電機(jī)，電動(dòng)缸選用上海漣恒公司伺服電動(dòng)缸，型號(hào)為AH75-S500-B-T-10-M3-C1-2，物理參數(shù)如表2所示，力傳感器的型號(hào)為L(zhǎng)H-S50。

表2　電動(dòng)缸的物理參數(shù)Tab.2　Physical parameters of electric cylinder

4.1　Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)本體動(dòng)力學(xué)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

圖21　機(jī)構(gòu)位姿Fig.21　Position of mechanism

令機(jī)構(gòu)運(yùn)行圖7所示軌跡，機(jī)構(gòu)不同位姿如圖21所示，通過力傳感器采集數(shù)據(jù)，并進(jìn)行濾波處理，得到驅(qū)動(dòng)力數(shù)據(jù)的實(shí)測(cè)值，和理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖22所示。對(duì)比圖22、圖9、圖11，三者符合度較高，從而證明基于旋量鍵合圖所得機(jī)構(gòu)本體動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

圖22　驅(qū)動(dòng)力理論值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.22　Comparisons of driving force between theory and measured values

4.2　Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)多能域動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

將數(shù)據(jù)線一端連接驅(qū)動(dòng)器，一端連接裝有與所選臺(tái)達(dá)電機(jī)配套的ASDA-SOFT軟件的計(jì)算機(jī)，通過軟件中的示波器，讀取實(shí)驗(yàn)電機(jī)電流，并將數(shù)據(jù)保存為.TXT格式的文件，和理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖23所示，兩者誤差較小，從而驗(yàn)證了Stewart平臺(tái)多能域系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)全解模型的正確性。

圖23　電機(jī)電流實(shí)測(cè)值與理論值對(duì)比Fig.23　Comparisons of motor current between measured and theory values

5　結(jié)束語

采用旋量鍵合圖建立了電動(dòng)缸驅(qū)動(dòng)Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)本體動(dòng)力學(xué)模型，采用傳統(tǒng)鍵合圖建立了伺服電動(dòng)缸鍵合圖模型，得到了該平臺(tái)完整的機(jī)、電耦合的多能域系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)全解模型；并通過仿真分析與設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)兩方面驗(yàn)證了平臺(tái)機(jī)電耦合多能域系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)全解的正確性，為后續(xù)包含驅(qū)動(dòng)單元慣性參數(shù)和摩擦參數(shù)在內(nèi)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)以及平臺(tái)控制研究奠定了基礎(chǔ)。

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