渠　昱，曾　勇，顧安邦，杜柏松

(1.重慶交通大學(xué) 山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，重慶 400074；2.重慶交通大學(xué) 山區(qū)橋梁結(jié)構(gòu)與材料教育部工程研究中心，重慶 400074)

線彈性斷裂力學(xué)的主要任務(wù)是計算裂紋擴(kuò)展長度、擴(kuò)展率和能量釋放率。裂紋擴(kuò)展計算比較困難，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)更困難，它涉及斷裂力學(xué)、材料科學(xué)和計算方法等學(xué)科。在有限元(FE)中，裂紋計算要求有限單元邊界與裂紋對齊，裂紋擴(kuò)展需要不斷地更新網(wǎng)格，諸如可視化后處理技術(shù)等計算方法需要對網(wǎng)格演化進(jìn)行大量計算，因此采用普通有限元方法(FEM)計算裂紋擴(kuò)展遇到極大挑戰(zhàn)，限制了有限元的應(yīng)用。

1　擴(kuò)展有限元(XFEM)

XFEM最有吸引力的是將不連續(xù)問題加入到有限元而又不要求網(wǎng)格與不連續(xù)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一致，從而避免了重新劃分網(wǎng)格。在許多情況下，避免網(wǎng)格重劃分方法是可取的，可以減少大量的網(wǎng)格演化等計算[1]。XFEM是一個非常靈活的方法，其基本想法是將不連續(xù)位移場矩陣分解為2部分：uh(X)=ucont(X) +udisc(X)，連續(xù)部分ucont(X)是標(biāo)準(zhǔn)有限元插值矩陣，不連續(xù)部分udisc(X)是根據(jù)局部單位分解定理[2，3]增加的部分(即富集)，并將這些富集信息嵌入有限元插值。所謂富集是將額外的未知量濃縮到單元水平，這樣的矩陣仍然是稀疏的，因此可以用現(xiàn)有的有限元分析框架處理不連續(xù)問題。

當(dāng)裂尖位移場已知，基于漸進(jìn)場的富集函數(shù)可以被添加到近似解空間中。對于裂紋和位錯奇異的漸進(jìn)場，可以作為裂尖區(qū)和位錯核的富集函數(shù)，從而大大減少了在子域細(xì)化網(wǎng)格的工作量，XFEM已成為斷裂分析最流行的方法。

這些方法在解決材料科學(xué)問題上的主要優(yōu)點(diǎn)是對不連續(xù)現(xiàn)象建模簡化。在傳統(tǒng)的有限元方法中，劃分網(wǎng)格時必須使單元的邊緣/面與裂紋重合、在裂紋每一側(cè)布置節(jié)點(diǎn)，才能考慮材料沿裂紋面的分離。這樣的網(wǎng)格創(chuàng)建相當(dāng)困難，特別是三維問題，因?yàn)榫W(wǎng)格還必須考慮到模型的其它特性，如晶界或夾雜物。在XFEM中，沿裂紋面不連續(xù)位移場的引入是通過添加基函數(shù)來創(chuàng)建近似解，擺脫了網(wǎng)格的約束。當(dāng)XFEM與水平集方法LSM(level-set method)相結(jié)合，就可以在原來有限元節(jié)點(diǎn)上用節(jié)點(diǎn)值完整表達(dá)諸如裂紋的幾何形狀和位移場等特性。同樣，相邊界和其他不連續(xù)性的模擬，也可以用這種方法。特別是當(dāng)幾何形狀演化、裂紋擴(kuò)展或移動相邊界，這些優(yōu)點(diǎn)是非常重要的。

1.1　XFEM中的裂紋的描述

裂紋采用2個水平集函數(shù)描述[3-5]：

1) 描述裂紋路徑Γα的水平集函數(shù)f(x)，即有向距離函數(shù)：

(1)

2) 定義裂紋位置的水平集函數(shù)g(x)，原點(diǎn)在裂尖，方向與裂紋垂直。該函數(shù)定義的坐標(biāo)系見圖1(b)，坐標(biāo)系中的r和θ定義為：

圖1　富集單元、過渡單元和水平集函數(shù)Fig. 1　Enrichment unit，transition unit and horizontal set function

與一般閉合面相比，裂紋屬于開放界面，2個水平集函數(shù)f(x，t)和g(x，t)分別描述裂紋面和裂尖。點(diǎn)x位于裂紋面上的條件是f(x，t)=0，g(x，t) > 0；位于裂尖的條件是f(x，t)=0，g(x，t)=0。裂紋問題的另一個特點(diǎn)是，某位置一旦成為裂紋的一部分，則一直保持為裂紋的一部分。因此裂紋擴(kuò)展時，只需要更新水平集函數(shù)f(x，t)以及g(x，t) 在裂尖的位置，而f(x，t) 在裂尖后面的位置保持不變。等于0的水平集稱為零水平集，用于描述裂紋面。裂尖后面的零水平集不必更新，從而避免了差分方程的麻煩。在界面的法向方向移動，水平集函數(shù)不需要隨界面運(yùn)動速度更新，因此，不使用Hamilton-Jacobi方程更新；反之，水平集函數(shù)隨裂尖的速度運(yùn)動需要更新。

水平集方法簡單、有效和便于實(shí)現(xiàn)，XFEM與水平集相結(jié)合，功能更強(qiáng)大，因?yàn)檫@樣描述裂紋、位錯、晶粒邊界和位相界面可以嚴(yán)格用節(jié)點(diǎn)表達(dá)，而且能利用水平集這個強(qiáng)大的工具跟蹤這些表面的演化。

1.2　XFEM中的富集函數(shù)

在XFEM中，單元被裂紋切割有2種情況：① 被裂紋完全切割的單元稱為裂紋體單元；② 含有裂尖的單元稱為裂尖單元。裂紋體單元節(jié)點(diǎn)富集采用有向距離函數(shù)式(2)，裂尖富集函數(shù)是基于裂尖場的漸進(jìn)解。對于線性斷裂力學(xué)，取分支函數(shù)(整體函數(shù))為富集函數(shù)[6]：

(2)

式中：r、θ為原點(diǎn)定義在裂尖的局部極坐標(biāo)。

1.3　XFEM中的過渡單元問題

與總體富集方法相比，T. BELYTSCHKO等[3，4]介紹的富集函數(shù)局部單位分解能減少未知數(shù)量，改進(jìn)數(shù)值計算條件。

J. CHESSA等[7]認(rèn)為：在富集和非富集單元之間存在過渡單元產(chǎn)生多余項(xiàng)問題，近似解空間的多余項(xiàng)是引起誤差的根源。對于采用有向距離函數(shù)式(2)作為富集函數(shù)的過渡單元邊上，富集函數(shù)為0，因此不會產(chǎn)生多余項(xiàng)。但是對于裂尖富集，XFEM的過渡單元〔圖1(a)中交叉線所示〕 中只有2個節(jié)點(diǎn)被富集，形函數(shù)就不再滿足單位分解條件[8]，過渡單元會產(chǎn)生多余項(xiàng)，從而降低數(shù)值算法的收斂性。

例如：如果富集節(jié)點(diǎn)集I*中只有一個過渡單元，這個單元的近似解為：

(3)

N. SUKUMAR等[8]發(fā)現(xiàn)，采用背脊型的富集函數(shù)，過渡單元會產(chǎn)生誤差，從而降低數(shù)值算法的收斂性。修正的背脊型富集函數(shù)能改進(jìn)其收斂效率。J. CHESSA等[7]通過進(jìn)一步的研究，提出假設(shè)應(yīng)變法以消除過渡單元的多余項(xiàng)。這個方法的缺點(diǎn)是需要特殊的假定應(yīng)變單元，而該單元又取決于富集函數(shù)和單元類型，需要逐點(diǎn)構(gòu)建。富集函數(shù)構(gòu)造困難，且不具有通用性。

對于裂尖單元，過渡單元的多余項(xiàng)限制了局部單位分解精度。T. P. FRIES[9]提出了斜坡函數(shù)法來解決過渡單元多余項(xiàng)的影響。其主要缺點(diǎn)是：① 裂尖過渡單元富集節(jié)點(diǎn)為16個，多于XFEM的4個；② 自由度大約是XFEM的3倍；③有缺秩問題，富集矩陣的秩是16，而線性無關(guān)的條件只有14。

2　不連續(xù)伽遼金XFEM(DG-XFEM)

另一個避免過渡單元多余項(xiàng)的方法是利用內(nèi)罰函數(shù)方法[10]，使富集和不富集區(qū)域之間強(qiáng)制連續(xù)，稱為DG-XFEM[11]。該方法比標(biāo)準(zhǔn)XFEM更精確，收斂速度得到了優(yōu)化。

在基于分片區(qū)域的DG-XFEM方法中，域被分成幾個不互相重疊的區(qū)域，對這些區(qū)域分別進(jìn)行富集并用內(nèi)罰函數(shù)強(qiáng)制區(qū)域之間連續(xù)。該方法的最佳特性是富集是局部的，且所有的形函數(shù)滿足單位分解。為簡單計，筆者只論述平面二維的情況，該方法同樣適用于三維平面裂紋。

圖2　富集區(qū)域劃分示意Fig. 2　Enrichment region division

(4)

覆蓋重疊之間用內(nèi)罰函數(shù)強(qiáng)制連續(xù)。通過弱不連續(xù)變分，得到過渡單元的剛度矩陣

(KXFEM+KDG)d=fext

(5)

式中：KXFEM為每一個覆蓋的標(biāo)準(zhǔn)XFEM剛度矩陣的集成；KDG為重疊覆蓋部分強(qiáng)制連續(xù)的不連續(xù)伽遼金(DG)項(xiàng)，是剛度的修正項(xiàng)；fext為節(jié)點(diǎn)力。

域Ω被分成np個互相不重疊的覆蓋(Ωb)P，b=1～np，b覆蓋中I節(jié)點(diǎn)向量為：

(6)

(7)

(8)

式中：a為罰函數(shù)；因子μ=1；dT為節(jié)點(diǎn)自由度向量。

采用適度的內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)值，方程(5)受損不明顯，線性系統(tǒng)方程組的迭代方法解仍然有效：

(9)

(10)

(11)

(12)

從而，可由沒有富集的有限元、完全富集的XFEM和過渡單元構(gòu)成求解域的離散方程(5)。

DG-XFEM驗(yàn)證：選擇橋梁鋼板Q370qE、單邊拉伸的邊裂紋情況對DG-XFEM進(jìn)行驗(yàn)證。

鋼板長L=5 m，寬W=1.5 m，板厚d=0.01 m。利用XFEM計算得到沿裂紋面的應(yīng)力sxx和syy分布情況，并與Westergaard應(yīng)力函數(shù)[12]計算的理論結(jié)果進(jìn)行比較(圖3)?？梢钥闯?，二者符合很好，在過渡單元沒有出現(xiàn)數(shù)值不收斂的情況。

圖3　鋼板邊裂紋計算的沿裂紋面應(yīng)力分布及理論值比較Fig. 3　Comparison between the calculated crack surfaces stress distribution and theoretical values of the steel plate with side crack

3　DG-XFEM在正交異性鋼橋面板疲勞裂紋擴(kuò)展中的應(yīng)用

3.1　模型試驗(yàn)

以某長江大橋?yàn)樵囼?yàn)背景。該橋?yàn)橹骺玳L788 m的鋼箱梁懸索橋，吊索間距16 m，加勁梁為流線型扁平鋼箱梁，梁高3.5 m，主橋?qū)?7.5 m；每一節(jié)段順橋向5個橫隔板，間距2.7 m，橫向共40個U肋，間距0.6 m。

在鋼橋面板模型設(shè)計過程中，按彈性支撐連續(xù)梁、利用有限元對實(shí)橋整體進(jìn)行了仿真模擬。根據(jù)整體分析，選擇長16 m標(biāo)準(zhǔn)節(jié)段的鋼箱梁，按彈性簡支進(jìn)行有限元分析。根據(jù)節(jié)段鋼箱梁的分析結(jié)果和正交異性板各疲勞細(xì)節(jié)僅對輪載敏感的局部特性[13]，按照1∶2的比例尺建立簡化面板節(jié)段模型，橫向包括7個閉口U肋，縱向3個橫隔板，按縱向簡支、橫向僅限制向下的位移條件進(jìn)行試驗(yàn)[14]。

試驗(yàn)的疲勞荷載是根據(jù)三峽庫區(qū)的實(shí)際交通狀況，按照J(rèn)TG D64—2015《公路鋼結(jié)構(gòu)橋梁設(shè)計規(guī)范》[13]，參考AASHTO規(guī)范[15]的單車模型，考慮1.15的沖擊系數(shù)，按1∶2比例模型和等效應(yīng)力脈換算得到軸載47.7 kN，在1 000 kN的MTS機(jī)上進(jìn)行。二期恒載15 kN，汽車活載47.7 kN，均通過MTS機(jī)加載?？紤]鋪裝效應(yīng)，荷載通過分力橋施加。

在試驗(yàn)中，當(dāng)加載2.0×106次循環(huán)時，6 # 弧形開孔出現(xiàn)7.5 mm長的裂紋，2.2×106、2.4×106次循環(huán)加載時裂紋分別擴(kuò)展到12、21 mm，在2.6×106次終止試驗(yàn)時裂紋擴(kuò)展到31 mm(圖4)。

圖4　6 # 開孔處疲勞裂紋試驗(yàn)照片F(xiàn)ig. 4　Photo of fatigue crack in right side of 6# hole

3.2　數(shù)值模型

根據(jù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷某叽绾图s束條件，利用Abaqus平臺創(chuàng)建3-D不連續(xù)有限元模型，面板節(jié)段模型見圖5，劃分節(jié)點(diǎn)383 344個，C3D8R單元190 791個，裂紋體單元采用有向距離函數(shù)富集，裂尖單元采用分支函數(shù)富集，富集單元和過渡單元的邊界采用內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)方法強(qiáng)制連續(xù)，采用DG-XFEM進(jìn)行計算。

圖5　鋼箱梁節(jié)段面板模型Fig. 5　Segment deck model of steel box girder

在有限元分析中假定材料為理想線彈性的，14MnNbq橋梁鋼板材，彈性模量E=2.1×105MPa，屈服強(qiáng)度σy≥370 MPa，斷裂強(qiáng)度σb≥530 MPa，泊松比為ν=0.3，V型沖擊功JV≥41 J，粘性裂紋分片連續(xù)，基于損傷演化方法進(jìn)行數(shù)值分析。

損傷判據(jù)為最大主應(yīng)力失效準(zhǔn)則。正交異性鋼橋面板各個疲勞細(xì)節(jié)的常幅疲勞極限不盡相同，裂紋出現(xiàn)在橫隔板挖孔處，疲勞細(xì)節(jié)的常幅疲勞極限為70 MPa[13]，超過該值即產(chǎn)生裂紋。

根據(jù)損傷力學(xué)原理，裂紋在開裂和擴(kuò)展過程中，在裂尖及其周圍的材料處于塑形狀態(tài)，再應(yīng)用彈性材料計算就不合適了，因而采用塑形材料參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模型設(shè)置。在模型試驗(yàn)中裂紋萌生和擴(kuò)展采用的是應(yīng)力和加載次數(shù)來體現(xiàn)，而在數(shù)值模擬中，加載次數(shù)不容易實(shí)現(xiàn)，所以采用能量原理，用法向斷裂能42.2 kN/m判斷裂紋是否擴(kuò)展，擴(kuò)展方向?yàn)榍袘?yīng)力最大的方向。損傷穩(wěn)定系數(shù)DS=5.0×10-5，用于判斷裂紋是否止裂。

目前裂紋擴(kuò)展研究還必須將裂紋分成微觀階段和宏觀階段2個階段：

1) 疲勞是一種對微觀結(jié)構(gòu)非常敏感的現(xiàn)象。由于微結(jié)構(gòu)的易變性，裂紋萌生階段的長度與晶粒主尺寸相當(dāng)，以張開(Ⅰ型裂紋) 和滑移(Ⅱ、Ⅲ型裂紋)相結(jié)合的形式生長，沿最大分切應(yīng)力滑移系統(tǒng)擴(kuò)展。最大分切應(yīng)力逐點(diǎn)不同，擴(kuò)展路徑彎曲，因此不穩(wěn)定、不規(guī)則，不能用斷裂力學(xué)研究。材料的生產(chǎn)、制造和熱處理過程的結(jié)果，使測量的損傷趨勢具有相當(dāng)大的不確定性[16]，即使對于相同的材料也是如此。

2) 宏觀裂紋擴(kuò)展不受材料微結(jié)構(gòu)的影響，可以用Paris定律表達(dá)。要計算裂紋擴(kuò)展，首先必須確定初始裂紋長度。M.H.EL-HADDAD等[17]建議使用長裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值ΔKth和虛擬裂紋長度a0表達(dá)疲勞極限σf：

(13)

式中：Y為幾何形狀系數(shù)，取決于裂紋的幾何形態(tài)，對于穿透裂紋(長度2a)無限平板Y=1.0，其它裂紋類型，Y值可以從應(yīng)力強(qiáng)度因子求解。

式(12)中的虛擬裂紋長度a0即為相當(dāng)初始裂紋長度。相當(dāng)初始裂紋是指滿足Paris定律的最小宏觀裂紋，是為了避免微裂紋擴(kuò)展不穩(wěn)定和不規(guī)則問題而提出的。工程中常根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假定初始裂紋長度，如金屬假定1～3 mm量級，或者利用無損探傷的結(jié)果來確定。對于橋梁鋼Q370qE，根據(jù)文獻(xiàn)[18]：

ΔKth=5.556(1-0.825R)1.147

(14)

式中：R為加載應(yīng)力比。

由文中試驗(yàn)應(yīng)力比R=0.221 5，得到ΔKth=4.408 MPa·m0.5。根據(jù)式(11)得到初始裂紋長度為1.26 mm，以此作為文中裂紋擴(kuò)展的相當(dāng)初始裂紋長度。

根據(jù)模型試驗(yàn)結(jié)果，利用所建立的有限元模型進(jìn)行整體分析，得到的6#孔左側(cè)(PEL) 和右側(cè)(PER) 周邊單元主應(yīng)力分布，如圖6。

圖6　橫隔板6 # 開孔周邊單元主應(yīng)力分布Fig. 6　Principal stress distribution of perimeter elements of 6# hole at diaphragm

從圖6可以看出，橫隔板6 # 開孔最大主應(yīng)力超過60 MPa，熱點(diǎn)應(yīng)力系數(shù)取1.3進(jìn)行計算[19]，主應(yīng)力為78 MPa，超過該疲勞細(xì)節(jié)的常幅疲勞極限70 MPa?？紤]到應(yīng)力集中、焊接缺陷和焊接殘余應(yīng)力的影響，正交異性鋼橋面板橫隔板開孔區(qū)是疲勞裂紋多發(fā)區(qū)域，為對疲勞最敏感的區(qū)域。根據(jù)李傳習(xí)等[19]對某扁平鋼箱梁大橋裂紋統(tǒng)計研究，出現(xiàn)在橫隔板開孔區(qū)域和U肋與橫隔板焊接端頭的裂紋占全橋裂紋總數(shù)的89.4%。

根據(jù)數(shù)值分析結(jié)果，繪制5 #、6 # 開孔之間的橫隔板在沒有裂紋情況下的主應(yīng)力等值線，如圖7。

圖7　橫隔板5#、6#孔之間的無裂紋主應(yīng)力等值線Fig. 7　Principal stress isocline between 5# and 6# holes calculated by XFEM without crack

從圖7可以看出：

1) 開孔周邊的應(yīng)力高、裂紋產(chǎn)生處的應(yīng)力超過該疲勞細(xì)節(jié)的常幅疲勞極限，應(yīng)力梯度陡，越往兩孔中間應(yīng)力越低。

2) 兩開孔之間的水平區(qū)域均為高應(yīng)力區(qū)，裂紋在此區(qū)域產(chǎn)生并沿水平方向擴(kuò)展，以保證裂紋尖端獲取足夠的能量維持?jǐn)U展，隨著應(yīng)力強(qiáng)度減弱，裂紋擴(kuò)展逐漸停止。

3) 裂紋在初始階段垂直于應(yīng)力等值線、沿最大主應(yīng)力方向向板內(nèi)擴(kuò)展，這與裂紋擴(kuò)展的基本理論一致。

從圖4、圖8可以看出，2.6×106次循環(huán)試驗(yàn)結(jié)束時裂紋擴(kuò)展長度為31 mm(圖4)，計算值為32.3 mm〔圖8(a)〕，二者相差很小。數(shù)值模擬中裂紋出現(xiàn)的位置、擴(kuò)展路徑和長度與試驗(yàn)結(jié)果符合很好。也與實(shí)橋橫隔板中出現(xiàn)的裂紋基本一致〔圖8(b)〕[20]。

圖8　橫隔板開孔處計算的裂紋擴(kuò)展與實(shí)橋裂紋擴(kuò)展比較Fig. 8　Comparison of crack growth calculated at diaphragm and that of real bridge

4　結(jié)　論

1) 利用平板單邊裂紋的應(yīng)力函數(shù)理論解對DG-XFEM進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明DG-XFEM能很好地解決過渡單元引起的數(shù)值收斂效率問題。

2) 利用XFEM得到的應(yīng)力場，分析表明：弧形開孔處是高應(yīng)力區(qū)，與幾何不連續(xù)造成的應(yīng)力集中、焊接缺陷和殘余應(yīng)力的作用疊加，形成疲勞裂紋的高發(fā)區(qū)域，是正交異性鋼橋面板對疲勞最敏感的部位。

3) 利用DG-XFEM模擬裂紋擴(kuò)展，分析表明：裂紋擴(kuò)展的初始階段與主應(yīng)力等值線垂直，且沿水平方向的高應(yīng)力區(qū)向板內(nèi)擴(kuò)展，以保證裂尖獲取足夠的能量維持裂紋擴(kuò)展，隨著應(yīng)力強(qiáng)度減弱，裂紋擴(kuò)展逐漸停止，裂紋擴(kuò)展路徑與試驗(yàn)和實(shí)橋出現(xiàn)的情況一致，也與裂紋擴(kuò)展的基本理論一致，證明了利用DG-XFEM對正交異性鋼橋面板疲勞裂紋擴(kuò)展分析的有效性和合理性。

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