吳連紅

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)要發(fā)展學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”，就必須重視對學(xué)生進行符號意識的培育。教師要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)表達，啟蒙學(xué)生代數(shù)思維，建構(gòu)數(shù)學(xué)代數(shù)模型。學(xué)生經(jīng)歷了符號化體驗、符號化運用、符號化創(chuàng)造過程，就能形成鮮明的數(shù)學(xué)符號意識。

關(guān)鍵詞：符號感；準(zhǔn)代數(shù)；準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)

英國著名數(shù)理邏輯學(xué)家羅素曾經(jīng)這樣說，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是概念和符號”。德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨也曾說：“符號的巧妙和符號的藝術(shù)，是人們絕妙的助手，因為它們使思考工作得到節(jié)約。在這里它以驚人的形式節(jié)省了思維?！狈柺菙?shù)學(xué)學(xué)科的基本特質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的符號意識主要體現(xiàn)在：能夠自覺地運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，能夠初步運用符號進行運算、推理。只有學(xué)生形成了鮮明的“符號意識”，才能培育其“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”。

一、關(guān)注數(shù)學(xué)表達，點燃符號意識

蘇聯(lián)著名教育家斯托利亞爾說，“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”。的確，某種意義上，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是學(xué)習(xí)一種語言，無論這種語言是用文字表達，還是用圖形或者符號表達。在學(xué)生的數(shù)學(xué)表達中，文字語言通俗、圖形語言直觀、符號語言抽象但具有普適性。教學(xué)中，教師要允許學(xué)生的文字語言、圖形語言表達，但要引導(dǎo)學(xué)生向符號語言積極邁進、提升。要讓學(xué)生領(lǐng)悟符號所表達的意義，能夠?qū)⑽淖终Z言、圖形語言和符號語言進行積極的轉(zhuǎn)換。

例如在《運算律》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊）教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生理解交換律、結(jié)合律和分配律，更要讓學(xué)生將自己的理解表達出來。如有學(xué)生在表達“加法結(jié)合律”時，先是直接表述操作過程：三個數(shù)相加，可以先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)，也可以先把后兩個數(shù)相加，再加上第一個數(shù)。這樣的表達讓人覺得冗長，聽得費力。于是，有學(xué)生嘗試運用直觀的圖形進行表達，比如（△+☆）+○=△+（☆+○）等。在圖形表達中，有學(xué)生認(rèn)為，☆好像一個不守信用的人，一會兒與△處好朋友，一會兒又與○處好朋友；有學(xué)生認(rèn)為，誰能夠和☆湊成整十?dāng)?shù)、整百數(shù)，☆就和誰處好朋友；還有學(xué)生說，處好朋友的時候，好朋友的家的位置不能變化……顯然，學(xué)生通過直觀的數(shù)學(xué)語言，已經(jīng)對“加法結(jié)合律”的特點有了較為感性而深刻的把握，但圖形在有些學(xué)生眼里還是具體的。教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生用符號進行表達。于是，有學(xué)生嘗試運用抽象的符號表示：（a+b）+c=a+（b+c），有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“加法結(jié)合律”有一個特征，就是組成算式的數(shù)字順序不變，變的只是運算順序；有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，運用“加法結(jié)合律”，只有連加才能運用……正是由于學(xué)生能夠在不同語言之間進行互譯、溝通，學(xué)生才能夠?qū)χT如“89+75+25=89+（75+25）”之類的習(xí)題進行靈活判斷與選擇。

數(shù)學(xué)表達有助于點燃學(xué)生的符號意識。在數(shù)學(xué)等價敘述中，學(xué)生能夠?qū)⒆约簩?shù)學(xué)定理、定義等的理解表征出來。值得注意的是：培養(yǎng)學(xué)生的符號意識并不能一蹴而就，而是一個從“具體事物的認(rèn)識”到“個性化符號表示”再到“學(xué)會數(shù)學(xué)表示”的循序漸進的過程。這個過程，是學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識的萌芽、開花和結(jié)果的過程。只有當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的語言表達，才能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)的品質(zhì)。

二、啟蒙代數(shù)思維，形成符號意識

學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的發(fā)展是一個循序漸進、潛移默化的過程。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)積極啟蒙學(xué)生的代數(shù)思維，讓學(xué)生形成自覺的符號意識。法國著名思想家、數(shù)學(xué)家笛卡爾說，“所有的數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題”。正是由于代數(shù)思想，才賦予了數(shù)學(xué)自然生長的力量。正如張奠宙教授所說，“原來用算術(shù)解決問題，只局限于一題一小技，只會爬、滾，而自從有了代數(shù)，解決問題猶如有了翅膀，會跑、會飛了。數(shù)學(xué)的問題解決更自由了”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合相關(guān)的內(nèi)容有意識地設(shè)計形成學(xué)生符號意識的材料，讓學(xué)生展開符號化活動。

例如教學(xué)《正反比例的意義》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊），通常教法是：教師單獨教學(xué)正反比例，導(dǎo)致學(xué)生今天學(xué)習(xí)正比例，就會判斷成正比例的量；明天學(xué)習(xí)反比例，就會判斷成反比例的量。教學(xué)過程簡單化、線性化。從寫出數(shù)量關(guān)系到將數(shù)量關(guān)系變形，直導(dǎo)學(xué)生判定。如此，有學(xué)生在正反比例學(xué)習(xí)中依葫蘆畫瓢、簡單模仿，盡管能夠準(zhǔn)確判定兩種量之間的關(guān)系，但卻不能理解兩種量之間特定的依存關(guān)系。筆者在教學(xué)中，將正比例、反比例和不成比例的數(shù)量聯(lián)通起來，進行統(tǒng)整優(yōu)化式的主題教學(xué)。如此，學(xué)生在學(xué)習(xí)、判定時沒有了固定的模式、套路，而必須根據(jù)兩個數(shù)量之間的變化規(guī)律進行合理的分析。教學(xué)中，筆者首先出示了多種素材，諸如“蠟燭燃燒與汽車行駛”“兩個人的年齡變化”“人的身高和體重”“正方形的周長和邊長”“一塊磚的面積和房間的總面積”“書的單價和書的數(shù)量”“正方形的邊長和面積”“股市行情”“被減數(shù)和差”等。在這個過程中，學(xué)生對具體的數(shù)量不再是感悟式的判斷，而是自己假設(shè)數(shù)據(jù)，列表、畫圖，根據(jù)兩種量所對應(yīng)的兩個數(shù)的動態(tài)變化關(guān)系展開理性判斷。孩子們發(fā)現(xiàn)，在這些量中，有的一種量變化，另一種量不發(fā)生任何變化；有的一種量擴大，另一種量也擴大；有的一種量增加，另一種量也增加；有的一種量增加，另一種量反而減少；有的一種量擴大，另一種量反而縮小……學(xué)生通過對多樣化素材的分類分析和聚類分析，形成對“正比例解析式y(tǒng)/x=k”和“反比例解析式xy=k”的深刻理解。這個過程發(fā)展了學(xué)生的代數(shù)思維，滲透了數(shù)學(xué)的函數(shù)思想。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，發(fā)展學(xué)生的符號意識是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。在數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)充分挖掘算術(shù)中的代數(shù)特性，精心呵護與扶植學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。準(zhǔn)變量思維是學(xué)生從“算術(shù)思維”發(fā)展到“代數(shù)思維”的橋梁和紐帶。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要依循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和潛在困難，制定合理的代數(shù)教學(xué)目標(biāo)，逐步打開學(xué)生的代數(shù)之門。

三、建構(gòu)代數(shù)模型，創(chuàng)造符號意識

數(shù)學(xué)的顯著特點是形式化、符號化，每一個概念或關(guān)系都有確定的符號表示。用符號表示數(shù)、數(shù)量及其數(shù)量關(guān)系是代數(shù)學(xué)的一個基本特征。同時，學(xué)生代數(shù)思想的形成經(jīng)歷了一個從感性到知性再到理性的應(yīng)用過程。教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識符號、理解符號，還要讓學(xué)生靈活地運用符號、創(chuàng)造符號，不斷激活符號生長過程中的各種因子，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)模型”的魅力。

例如部分學(xué)生在解決這樣一道計算題——“888888×123457-888889×123456”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級下冊）時不知所措；部分學(xué)生借助計算器解決問題；還有一部分學(xué)生能夠感受到算式中潛藏著規(guī)律特征。如何運用這樣的習(xí)題拓展學(xué)生的符號思維？筆者在教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生觀察。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，888889比888888多1，而123457比123456多1，于是有學(xué)生猜想算式結(jié)果為0，但這只是一種直覺。教學(xué)中，筆者啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)造符號表征算式，激活學(xué)生用字母表示數(shù)、用符號表征算式的需求。于是，學(xué)生紛紛展開嘗試，有學(xué)生用a表示888888，用a+1表示888889，將原式改寫成123457a-123456（a+1），據(jù)此解決問題；有學(xué)生用a表示123456，用a+1表示123457，將原式改寫成888888（a+1）-888889a，據(jù)此解決問題；還有學(xué)生用a表示888888，用b表示123456，將原式改寫成a（b+1）-（a+1）b，據(jù)此解決問題。應(yīng)該說，學(xué)生用符號表示算式的方式是充盈的，他們在用數(shù)學(xué)符號解決問題的過程中充分感受、領(lǐng)略到符號的魅力，在播種符號、創(chuàng)造符號的過程中激活了學(xué)生的代數(shù)思維，催生了數(shù)學(xué)模型的建立。這種逐步展開的符號化學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生對符號的意義和價值獲得更多的體驗、感悟，讓學(xué)生自覺地走進符號化的數(shù)學(xué)世界。

當(dāng)然，學(xué)生代數(shù)意識的啟蒙不能僅僅局限于“字母代數(shù)”，也要習(xí)慣于對“數(shù)字代數(shù)”的意義建構(gòu)。學(xué)生徜徉在建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號的路上，就能領(lǐng)略到數(shù)學(xué)符號的簡約之美、嚴(yán)謹(jǐn)之美、抽象之美、統(tǒng)一之美等。在這個過程中，學(xué)生能領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的符號化魅力，他們收獲的也不僅僅是數(shù)學(xué)之美，還會產(chǎn)生更多的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)后的驚喜。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“要用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律?！笨梢?，發(fā)展學(xué)生的符號意識，培養(yǎng)學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)式”思維是數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任。著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說得好：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說是學(xué)習(xí)數(shù)字化；與其說是學(xué)習(xí)公理，毋寧說是學(xué)習(xí)公理化；與其說是學(xué)習(xí)形式，毋寧說是學(xué)習(xí)形式化?！狈栙x予了學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的力量。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識地為學(xué)生提供運用符號的機會，幫助學(xué)生逐步建立數(shù)學(xué)代數(shù)思想。只有學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化、符號化的活動，才能積累豐富的數(shù)學(xué)符號化經(jīng)驗，才能在數(shù)學(xué)符號化體驗、符號化運用、符號化創(chuàng)造中優(yōu)化符號意識。