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(1.石家莊鐵道大學 土木工程學院，河北 石家莊　050043; 2. 河南四方建設(shè)管理有限公司，河南 鄭州　450000)

0　引言

波形鋼腹板預應力混凝土(PC)組合箱梁是一種經(jīng)濟、施工簡便的新型結(jié)構(gòu)形式，其顯著特點是用波形鋼腹板取代了混凝土腹板和普通鋼腹板，對減輕結(jié)構(gòu)自重、提高結(jié)構(gòu)強度和穩(wěn)定性等起到了有利的作用[1-2]。自波形鋼腹板組合箱梁出現(xiàn)以來，國內(nèi)外陸續(xù)對這種新型橋梁進行了各方面的研究，包括抗彎[3-6]、抗扭[7-9]等。由于波形鋼腹板具有良好的三維撓曲特性，適合于曲線橋，但關(guān)于波形鋼腹板曲線組合梁的研究還相對較少。Hu Zhaotong et al[10]采用ANSYS數(shù)值模型分析了波形鋼腹板曲線組合梁剪力滯效應；宮思維[11]根據(jù)薄壁桿件結(jié)構(gòu)力學及曲線橋梁的分析方法，推導了波形鋼腹板PC組合曲梁的彎曲正應力公式；仝波[12]考慮豎向撓曲、腹板剪切和扭轉(zhuǎn)，推導了波形鋼腹板PC曲線梁橋的彎扭耦合效應表達式。

以上文獻通過數(shù)值分析和理論推導對波形鋼腹板PC組合曲梁進行了研究。其中仝波[12]在彎扭效應推導中沒有考慮剪力滯效應，且在推導過程中假設(shè)畸變翹曲函數(shù)與截面扭轉(zhuǎn)角相等，相當于只考慮了自由扭轉(zhuǎn)。因此本文在以上文獻研究的基礎(chǔ)上，全面考慮曲率、剪力滯效應、剪切變形和剛性扭轉(zhuǎn)的影響，采用能量變分法對波形鋼腹板簡支曲線組合梁在彎扭復合作用下的撓度及扭轉(zhuǎn)角效應進行推導。

1　彈性階段波形鋼腹板簡支曲線組合梁彎扭效應的控制微分方程

由于波形鋼腹板存在“褶皺”效應，其軸向剛度可忽略不計，因此可假設(shè)彎矩只由混凝土頂、底板承擔，剪力只由波形鋼腹板承擔[7]?？紤]沿截面橫向上、下混凝土翼板的剪力滯效應，以及剪切變形對撓度的影響，計算截面的豎向撓曲應變能、腹板剪切應變能、約束扭轉(zhuǎn)應變能，采用能量變分法得到波形鋼腹板曲線組合梁在上述荷載下的彈性控制微分方程，并求解得到撓度、扭轉(zhuǎn)角和畸變角等各種彎扭荷載效應。

1.1　彎曲應變能

本文所用坐標軸如圖1。

圖1　本文所用坐標軸

假設(shè)梁的豎向撓度為w(x)，翼緣板的縱向位移函數(shù)為u(x,y)，則

u(x,y)=-ziw′(x)+f(y)ξ(x)

(1)

(2)

式中，ξ(x)為翼緣板剪切轉(zhuǎn)角的最大差值；zi為截面形心到頂、底板的距離；zu為截面形心到頂板形心的距離；zb為截面形心到底板形心的距離；f(y)為剪力滯翹曲形函數(shù)，其中，m可以取2、3、4。在本文中取m=3。b、ab分別為箱室凈寬的一半和翼緣的長度。

(3)

(4)

由于波形鋼腹板的彎曲應變能可忽略不計，可得彎曲總應變能

(5)

1.2　約束扭轉(zhuǎn)翹曲應變能

假設(shè)翹曲廣義位移為β′(x)，則曲線箱梁截面翹曲位移為

(6)

對于剛性扭轉(zhuǎn)，假定截面周邊不變形，按照平面應力問題的應力與應變關(guān)系，求得約束扭轉(zhuǎn)正應力

(7)

式(7)成立的前提是需符合材料力學中材料單一勻質(zhì)的假定，故需將組合截面中的鋼材換算為等效混凝土，因此彈性模量Ec為換算截面的混凝土彈性模量。

根據(jù)薄壁桿件相關(guān)理論，若扭轉(zhuǎn)極點取截面扭轉(zhuǎn)中心，曲線坐標積分起點取廣義扇性坐標零點時，廣義慣性靜矩則為零，此時有

(8)

則由翹曲正應力產(chǎn)生的剛性扭轉(zhuǎn)翹曲應變能為

(9)

1.3　剪切應變能

剪切應變能包括三部分：第一部分為剪滯翹曲剪應變產(chǎn)生的翼板剪切應變能；第二部分為波形鋼腹板的剪切應變能；第三部分為約束扭轉(zhuǎn)剪切應變能。

1.3.1剪力滯翹曲剪切應變能

根據(jù)式(1)，可得翼板剪滯翹曲剪應變?yōu)?/p>

(10)

則上、下翼緣的剪滯翹曲剪切應變能為

(11)

1.3.2鋼腹板剪切應變能

假定腹板剪切變形引起的剪切角為η，則由剪切變形η所產(chǎn)生的應變勢能為

(12)

式中，Ge為波形鋼腹板的有效剪切模量，即

(13)

式中，As為鋼腹板剪切面積，As=2twh；α為只考慮剪切變形時平截面假定的修正系數(shù)，取α=1.2。

1.3.3約束扭轉(zhuǎn)剪切應變能

扭矩作用下，箱梁截面上各點沿箱梁周邊切線方向的位移可表示為

(14)

根據(jù)式(10)和式(14)，可得約束扭轉(zhuǎn)總剪應力為

(15)

則橫截面上總扭矩為

(16)

所得的式(16)中，第一項為自由扭轉(zhuǎn)扭矩，而第二項則為約束扭轉(zhuǎn)扭矩。

則約束扭轉(zhuǎn)剪切應變能為

(17)

1.4　外力勢能

豎向荷載下曲線梁的外力勢能可由其內(nèi)力(彎矩、剪力、扭矩)表示為

(18)

(19)

(20)

1.5　波形鋼腹板曲線組合梁彎扭控制微分方程

1.5.1總勢能方程

由以上的應變能和外荷載勢能可得到波形鋼腹板曲線組合箱梁在彎扭作用下的總勢能為

V=Vw+Vq+Vn+Vh=

(21)

1.5.2彎扭控制微分方程

根據(jù)最小勢能原理，對式(21)進行變分，使δV=0，可得

(22)

本研究通過回顧77例食管癌骨轉(zhuǎn)移患者放療后的生存時間，建立了1個簡單的預測生存時間的評分模型。利用這個模型，我們可以在放療開始前對患者從KPS評分、是否存在骨相關(guān)事件、是否伴有肝肺腦轉(zhuǎn)移或惡性漿膜腔積液3個方面進行評估，估算預期生存時間，以指導放療方案及后續(xù)治療的選擇。對于預期生存時間長的低危組患者，給予長程放療；而對于預期生存期僅3個月左右的高危組患者，給予低分割短程照射，甚至單次大劑量照射以縮短起效時間及療程；至于中危組患者，可根據(jù)患者經(jīng)濟條件、醫(yī)師偏好來選擇長程或短程放療方案。

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

且得到邊界條件為

(28)

2　波形鋼腹板曲線組合梁彎扭控制微分方程的求解

建立的曲線箱梁控制微分方程可用各種數(shù)值方法求解，對于簡支曲線箱梁，可采用伽遼金法進行求解。伽遼金法是一種數(shù)值分析方法，遵循虛功原理，這種方法主要通過簡化計算，即將微分方程簡化成線性方程組來求解。其計算具體方法是通過選取有限多項試函數(shù)(或稱基函數(shù)、形函數(shù))，將它們疊加，使結(jié)果在求解域內(nèi)及邊界上均滿足原方程，以此得到一組易于求解的線性代數(shù)方程，且自然邊界條件自動滿足。伽遼金法可廣泛用于各種數(shù)學物理工程問題，為解決各種力學等問題提供了簡便計算。

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

式中，q0,p0,m0為作用在梁上的均布荷載、集中力以及均布扭矩。

另外，根據(jù)文獻[5]對剪切變形的相關(guān)推導，由剪切變形引起的撓度為

(34)

總的撓度為

w=w10+w20

(35)

3　算例

采用推導的結(jié)果對文獻[15]中的算例進行計算：某波形鋼腹板簡支曲線組合梁曲率半徑為60 m，圓心角為20.37°，橋長21.32 m，計算跨徑為20.45 m。截面尺寸具體如圖2所示。頂板寬度7 m，厚度0.25 m，底板寬度4.5 m，厚度0.25 m，凈寬4 m，波形鋼腹板厚度10 mm，截面總高度為1.5 m，采用1600型波形鋼腹板。為簡化計算，荷載只考慮梁體自重，將自重換算為均布荷載76.4 kN/m，未加載扭矩。

圖2　波形鋼腹板算例尺寸(單位：cm)

在計算截面特性前，需要將兩種材料轉(zhuǎn)換為一種材料，符合材料力學和本文中的假設(shè)，本文將鋼轉(zhuǎn)換為混凝土來計算截面特性。計算的截面特性如下：

在本文中，若不考慮剪力滯效應時，得到跨中撓度值為7.7 mm。文獻[15]針對該算例建立了ANSYS有限元模型，其撓度的數(shù)值計算結(jié)果為7.235 mm，理論推導結(jié)果為7.737 mm，可見本文若不考慮剪力滯效應時，計算結(jié)果與文獻[15]理論推導結(jié)果相近；考慮剪力滯效應時，計算結(jié)果與有限元數(shù)值計算結(jié)果更接近。扭轉(zhuǎn)角根據(jù)截面特性求得0.012 396°。經(jīng)過計算結(jié)果和有限元結(jié)果對比，可以認為本文推導出的公式正確。

4　結(jié)論

本文針對波形鋼腹板簡支曲線組合梁，全面考慮曲率、剪力滯效應、剪切變形和剛性扭轉(zhuǎn)的影響，采用能量變分法對其彎扭效應進行了理論推導，并采用伽遼金法，得到了撓度和扭轉(zhuǎn)角的解析結(jié)果，經(jīng)文獻中的數(shù)值算例驗證，結(jié)果正確。

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