朱寧，劉慶華，農(nóng)以寧，蔣東云

（桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院，廣西桂林541004）

0　引言

帕累托（Pareto）分布是收入分配理論中的一種重要的統(tǒng)計分布,最初是由意大利Pareto作為收入分布于1897年提出來的，并指出其是一個具有遞減的失效函數(shù)[1]。自從Pareto分布提出以來就被廣泛地運用于金融、保險、災害預測等諸多領域，關于其統(tǒng)計推斷的研究引起了很多學者的關注。近年來，在Bayes思想下Pareto分布參數(shù)估計的研究越來越多。韓慧芳等[2]研究了當尺度參數(shù)已知時，Pareto分布中形狀參數(shù)的估計，一致最小方差無偏估計，并在平方損失和熵損失下討論其可容許等。韋程東等[3]在復合LINEX對稱損失函數(shù)下，研究Pareto分布在其尺度參數(shù)已知的情況下利用共軛先驗分布求出其形狀參數(shù)的E-Bayes估計。井曉培和周菊玲[4]討論了獨立同分布樣本情形廣義Pareto分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes單側檢驗問題，并證明了此經(jīng)驗Bayes檢驗函數(shù)的漸近最優(yōu)性，獲得了其收斂速度。沈新娣和丁幫俊[5]研究Pareto分布在逐步Ⅱ型區(qū)間刪失的情形下參數(shù)的估計和性質(zhì)。韓明[6]研究Pareto分布中形狀參數(shù)的估計、一致最小方差無偏估計。并分別在平方損失和熵損失下討論了θ的Bayes估計,研究其容許性。

自從2003年Podder CK[7]提出MLINEX函數(shù)以來，越來越多的學者關注MLINEX函數(shù)。Podder CK[8]比較Pareto分布參數(shù)估計在MLINEX函數(shù)和平方損失函數(shù)下的不同。任海平[9]分別在加權平方損失函數(shù)和MLINEX損失函數(shù)下一類分布族參數(shù)的Minimax估計。金秀巖[10]在MLINEX損失函數(shù)的基礎上，結合張睿[11]提出的復合LINEX對稱損失函數(shù)的方法，定義了復合MLINEX對稱損失函數(shù)，并在該損失函數(shù)下得到了對數(shù)伽瑪分布尺度參數(shù)的Bayes估計、E-Bayes估計、多層Bayes估計等。

本文在金秀巖[10]提出的復合MLINEX對稱損失函數(shù)的基礎上，研究兩參數(shù)Pareto分布的Bayes估計問題，在給定先驗分布為Gamma分布的基礎上給出Pareto分布參數(shù)的Bayes估計，并證明其容許性。最后在給定三類不同超參數(shù)先驗密度函數(shù)下，給出其E-Bayes估計和多層Bayes估計并對估計的性質(zhì)進行研究。

1　參數(shù)θ的Bayes估計

定義1[1]：設X為隨機變量，若其分布函數(shù)為F(x)=為形狀參數(shù)，λ為尺度參數(shù)且為門限參數(shù)。則稱X服從兩參數(shù)θ，λ。則稱為Pareto分布，簡稱PD(θ,λ)。

設x1,x2,…,xn為來自PD(θ,λ)的獨立樣本，則其聯(lián)合密度為：

下頁圖1給出了在尺度參數(shù)λ=100時，形狀參數(shù)θ分別取0.5、1、2時的Pareto分布的密度函數(shù)圖像。由圖1可以看出Pareto分布的密度函數(shù)是單調(diào)遞減的函數(shù)。

定義2[11]：Mlinex非對稱損失函數(shù)定義為：

圖1Pareto分布的密度函數(shù)圖像（λ=100）

δ為參數(shù)θ的估計，c是一類非對稱損失函數(shù)。

定義3[10]：設損失函數(shù)Lc(θ,δ)由式（2）給出，則損失函數(shù)（3）稱為復合Mlinex對稱損失函數(shù)（見圖2），其中δ為參數(shù)θ的估計。

圖2復合MLINEX對稱損失函數(shù)圖像（w=1）

引理1：在損失函數(shù)（3）和模型f(x;θ,λ)=θλθ(λ+x)-(θ+1)下，若在空間中存在參數(shù)θ的估計量δ，其Bayes風險r(δ)＜+∞，則對于θ的任何先驗分布π(θ)，θ的唯一Bayes估計的一般形式為：

證明：具體證明與金秀巖在文獻[10]中的引理2.2的證明類似。

定理1：設x1,x2,…,xn是PD(θ,λ)的一組觀察值，形狀參數(shù)θ（尺度參數(shù)λ已知）的先驗分布π(θ)服從Gamma

證明：由題意知,形狀參數(shù)θ（尺度參數(shù)λ已知）的先驗分布π(θ)服從Gamma分布Γ(a,b)，則θ的密度函數(shù)為：

根據(jù)樣本聯(lián)合密度函數(shù)（1），并結合式（4），得到θ的后驗密度函數(shù)為：

則θ的后驗分布密度服從以b+T為尺度參數(shù)，以n+a為形狀參數(shù)的Gamma分布。

由θ的唯一Bayes估計的一般形式及θ的后驗分布密度有：

將式（5）代入到式（6）可得：

同理：

將式（7）和式（8）代入式（6），則：

綜上所述，形狀參數(shù)θ的Bayes估計為：

定理2：在給定先驗分布π(θ)和損失函數(shù)L(θ,δ)下，參數(shù)θ的Bayes估計是可容許的。

證明：對于Bayes估計的Bayes風險小于或者等于任何估計的Bayes風險，只需證明存在一個θ的一個估計δ，其Bayes風險r(δ)＜∞，于是可得r()＜∞，從而是可容許的。

由題意知：

令δ=1，將其代入式（9），得到：

因為對于給定的樣本值，r(1)存在且有界，即r(1)＜∞。因此r(δ)＜∞。又因為r)＜r(δ)，則r()＜∞，故是可容許的。

2　參數(shù)θ的E-Bayes估計

下面引入形狀參數(shù)θ的E-Bayes估計的定義。

定義4[10]：對(a,b)∈D，若(a,b)是連續(xù)的，則稱參數(shù)θ的E-Bayes估計。存在的，D為超參數(shù)a和b取值的集合D={(a,b)|0＜a＜1,0＜b＜m,m＞0}，π(a,b)是a和b在集合D上的密度函數(shù)，(a,b)為參數(shù)θ的Bayes估計。

定理3：對于服從Pareto分布的樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn，若形狀參數(shù)θ服從Gamma分布，則θ的先驗密度

（1）若超參數(shù)a和b的先驗密度函數(shù)為：

則參數(shù)θ的E-Bayes估計為：

（2）若超參數(shù)a和b的先驗密度函數(shù)為：

則參數(shù)θ的E-Bayes估計為：

（3）若超參數(shù)a和b的先驗密度函數(shù)為：

則參數(shù)θ的E-Bayes估計為：

若超參數(shù)a和b的先驗密度函數(shù)π1(a,b)由式（11）給出，則參數(shù)θ的E-Bayes估計為：

（2）同理，若超參數(shù)a和b的先驗密度函數(shù)π2(a,b)由式（13）給出，則參數(shù)θ的E-Bayes估計為：

（3）同理，若超參數(shù)a和b的先驗密度函數(shù)π3(a,b)由式（15）給出，則參數(shù)θ的E-Bayes估計為：

3　參數(shù)θ的多層Bayes估計

若形狀參數(shù)θ服從Gamma分布Γ(a,b)，則其先驗密度函數(shù)給定，那么如何確定超參數(shù)a和b？Lindley和Smith（1972）提出了多層先驗分布的想法，即在先驗分布中含有超參數(shù)時，可對超參數(shù)再給出一個先驗分布。

其中，0＜θ＜∞。

在以上三個不同的多層密度函數(shù)的基礎上，給出以下形狀參數(shù)θ的三個不同的多層Bayes估計。

定理4：對于Pareto分布下的樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn，若Pareto分布的形狀參數(shù)θ的多層先驗密度函數(shù)分別為式（17）至式（19），則在復合MLINEX損失函數(shù)下，θ的多層Bayes估計分別為：

證明：根據(jù)Bayes定理，則形狀參數(shù)θ的多層后驗密度函數(shù)為：

（1）當θ的多層先驗密度函數(shù)為式（17）時，θ的多層后驗密度函數(shù)為：

同理可得：

（2）同理，當θ的多層先驗密度函數(shù)為式（18）時，θ的多層后驗密度函數(shù)為：

結合定理1，此時形狀參數(shù)θ的多層Bayes估計為：

（3）同理當θ的多層先驗密度函數(shù)為式（19）時，θ的多層后驗密度函數(shù)為：

結合定理1，此時形狀參數(shù)θ的多層Bayes估計為：

4　參數(shù)θ的E-Bayes估計的性質(zhì)

定理5：在定理2中，當0＜m＜T時，有以下兩個結論：

證明：根據(jù)定理2，有：

當-1＜x＜1時，根據(jù)泰勒展開式有：

5　結束語

本文對Pareto分布在尺度參數(shù)為已知時,在MLINEX對稱損失下，分別給出了三種不同超參數(shù)的先驗密度函數(shù)下形狀參數(shù)E-Bayes估計（定理3）和多層Bayes估計（定理4），并驗證了形狀參數(shù)的三個不同E-Bayes估計具有保三者在T→∞時極限相等。

參考文獻：

[1]Pareto V.Cours Economic Politique[M].Lausanne and Paris:Rouge and Cie,1897.

[2]韓慧芳,楊珂玲,張建軍.Pareto分布中形狀參數(shù)的估計問題[J].統(tǒng)計與決策,2007，(24).

[3]韋程東,韋師,蘇韓.復合LINEX對稱損失下Pareto分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計及應用[J].統(tǒng)計與決策,2009，(17).

[4]井曉培,周菊玲.廣義Pareto分布參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題[J].數(shù)學的實踐與認識,2016，(5).

[5]沈新娣,丁幫俊.Pareto分布在逐步Ⅱ型區(qū)間刪失下的參數(shù)估計[J].應用概率統(tǒng)計,2016,32(2).

[6]韓明.Pareto分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計和多層Bayes估計及其應用[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,2016,32(3).

[7]Podder C K,Roy M K.Bayesian Estimation of the Parameter of Maxwell Distribution Under MLINEX Loss Function.[J].J.stat.stud,2003.

[8]Podder C K.Comparison of Two Risk Functions Using the Pareto Distribution[J].Pakistan Journal of Statistics,2004,20(3).

[9]任海平,李中恢.加權平方損失函數(shù)和MLINEX損失函數(shù)下一類分布族參數(shù)的Minimax估計[J].統(tǒng)計與決策,2009,(14).

[10]金秀巖.復合MLINEX對稱損失函數(shù)下對數(shù)伽瑪分布參數(shù)的Bayes估計[J].數(shù)學的實踐與認識,2014,(19).

[11]張睿.復合LINEX對稱損失下的參數(shù)估計[D].大連：大連理工大學碩士論文,2007.