譚光友

[摘? 要] 提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量，關(guān)鍵在教師的“教”，哪些內(nèi)容需要教，應(yīng)該如何教，這需要教師在教學(xué)過(guò)程中具有“教”的意識(shí). 本文以《等差數(shù)列》的教學(xué)為例，詳細(xì)講解了數(shù)學(xué)教師應(yīng)該如何教數(shù)學(xué).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)課;教的意識(shí);等差數(shù)列

作為數(shù)學(xué)教師，如何在課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下去教數(shù)學(xué)？有“教”數(shù)學(xué)的意識(shí)嗎？的確，數(shù)學(xué)課要“教”什么，作為數(shù)學(xué)教師的我們是否都清楚？筆者想，所謂“教”的意識(shí)，一方面是要能夠準(zhǔn)確把握所教授知識(shí)的本質(zhì)，在上課之前好好想一想，這節(jié)課要教給學(xué)生什么？另一方面要明確“教”學(xué)生什么樣的思考問(wèn)題方法，這種思維的特征是什么？如何在理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上制定解決問(wèn)題的方案或策略？

課堂上教師要教什么

我們把數(shù)學(xué)知識(shí)分成三層，最底層是示例，中間層是方法，頂層是數(shù)學(xué)原理，即數(shù)學(xué)思想. 作為教師在課堂上要有“教”的意識(shí)，就是在教學(xué)之前要想清楚這個(gè)知識(shí)的頂層是什么？只有弄明白了這個(gè)問(wèn)題，我們才清楚這個(gè)課究竟要教什么.

以《等差數(shù)列》為例，那么《等差數(shù)列》的頂層知識(shí)是什么呢？新課程標(biāo)準(zhǔn)要求：探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能在具體的問(wèn)題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)的知識(shí)解決相應(yīng)問(wèn)題，體會(huì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系. 由課程標(biāo)準(zhǔn)不難看出，《等差數(shù)列》的頂層知識(shí)是用函數(shù)的思想與觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)數(shù)列的，那什么是函數(shù)思想？函數(shù)思維即是變量思維，用變量的觀點(diǎn)去分析數(shù)列，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其自變量為非零自然數(shù)，教數(shù)列應(yīng)該站在函數(shù)的角度去分析和研究，這樣思路就有了，等差數(shù)列中誰(shuí)是變量，變量在哪個(gè)范圍內(nèi)變化，變量之間存在什么樣的關(guān)系？而《等差數(shù)列》的研究方法，從特殊入手，研究對(duì)象的性質(zhì)，再逐步擴(kuò)展到一般.

1. 等差數(shù)列的定義

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：通過(guò)實(shí)例理解等差數(shù)列的概念. 人教版教材從特殊例子入手，讓學(xué)生體會(huì)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù). 但通過(guò)對(duì)實(shí)例的體會(huì)，學(xué)生是否就能深刻地理解這個(gè)概念呢？事實(shí)上，對(duì)概念的理解，就是通過(guò)學(xué)習(xí)讓學(xué)生明白理解和解決這類問(wèn)題的思維規(guī)律，這顯然不是學(xué)生從簡(jiǎn)單的實(shí)例能體會(huì)獲取的. 從其頂層知識(shí)看，數(shù)列即函數(shù)，這里的項(xiàng)數(shù)是自變量，自變量n滿足的條件n>1，而等差數(shù)列的自變量與函數(shù)值之間始終滿足f（n）-f（n-1）=d（d為常數(shù)），即an-an-1=d. 教師的“教”要體現(xiàn)在讓學(xué)生從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列，要讓學(xué)生形成等差數(shù)列的思維方法，即當(dāng)n>1時(shí)，其前一項(xiàng)an即f（n）與后一項(xiàng)an-1即f（n-1）的差為一個(gè)常數(shù). 對(duì)等差數(shù)列的理解，學(xué)生的困惑：①為什么從第2項(xiàng)起？這里需要教師給學(xué)生指明其含義，變量n是非零的自然數(shù)，要確保關(guān)系式中能夠取到數(shù)列的首項(xiàng)，即a2-a1=d，所以對(duì)一般關(guān)系式而言，an-an-1=d（n≥2）或an+1-an=d（n≥1）. ②每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的數(shù)學(xué)關(guān)系. 這個(gè)定義是利用完全歸納的思想來(lái)表述的，故這里的每一項(xiàng)就是要包括數(shù)列當(dāng)中的所有項(xiàng)，而不是部分項(xiàng)，每一項(xiàng)如何用數(shù)學(xué)式子表示，這里采用了函數(shù)的思想，引入變量n∈N*，所以每一項(xiàng)用an表示，其前一項(xiàng)便是an-1了，故其數(shù)學(xué)關(guān)系式有an-an-1=d（n≥2）. ③這個(gè)定義的應(yīng)用. 數(shù)學(xué)定義就是思維的方向，如何應(yīng)用定義解決相關(guān)問(wèn)題，教師要“教”會(huì)學(xué)生怎么想，憑什么這么想.

2.？搖等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

這個(gè)通項(xiàng)公式是通過(guò)疊加法得到的，新課標(biāo)要求學(xué)生不僅要記住并能應(yīng)用公式解題，還在能力上要求學(xué)生會(huì)用歸納、疊加等技巧解決數(shù)列的綜合問(wèn)題. 基于這個(gè)要求，其頂層知識(shí)的公式怎么來(lái)的？這個(gè)公式的數(shù)學(xué)價(jià)值以及公式將往哪里去，即公式的應(yīng)用是什么？公式的教學(xué)中要“教”什么呢？筆者以為，數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)解題思維的起點(diǎn)，公式的推導(dǎo)要從思維的角度即怎么想到這種方法來(lái)進(jìn)行，為什么這么想？這種思維方法有什么現(xiàn)實(shí)的意義？等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d中，要從函數(shù)角度加以分析變量之間的關(guān)系，讓學(xué)生清楚第n項(xiàng)an與第m項(xiàng)am之間的關(guān)系an=am+（n-m）d（n>m），通項(xiàng)公式中an是關(guān)于n的一次函數(shù)，而這里的公差d的幾何意義如何？對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的“教”要從公式的推導(dǎo)過(guò)程、疊加思想的思考過(guò)程進(jìn)行，即怎么想到這個(gè)方法，這個(gè)方法有何應(yīng)用價(jià)值？通過(guò)教師的“教”要讓學(xué)生從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)形如f（n）-f（n-1）=g（n）來(lái)解決f（n）的一般思維方法.

所以，搞清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的頂層知識(shí)是“教”的前提，教師在上課前要明白這節(jié)課你到底要干什么，通過(guò)教師的“教”達(dá)到什么目的. 對(duì)所教內(nèi)容要有自己的思考和研究，而不是照本宣科，或者簡(jiǎn)單地將一個(gè)定義加上幾道例題. 要弄明白數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系和思維方法.

在教學(xué)過(guò)程中如何教

“教”是為了不教，“教”的目的是為了學(xué)生的“學(xué)”，一節(jié)課中哪些內(nèi)容需要教師的“教”，如何“教”，這也是教師在上課之前要做到心中有數(shù)的. “教”在學(xué)生“朦朧”處，于學(xué)生“迷?！敝兄敢较?，給學(xué)生以思維的啟迪. 上課不能照本宣科，那么，怎樣“教”才能“教”出感受呢？有了前面的準(zhǔn)備和研究，作為教師本人的感觸就應(yīng)該比較深了，我們要教給學(xué)生的、讓學(xué)生看到的是，你是怎樣學(xué)習(xí)的，你是怎樣提出問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的，也就是你是怎樣做學(xué)問(wèn)的.

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5》（人教A版）第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時(shí). 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用. 等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出了數(shù)列的兩種方法（通項(xiàng)公式和遞推公式）的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣. 同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”“類比”的思想方法.

1. 等差數(shù)列的定義

引入：觀察一組數(shù)列：①2，4，6，8， 10，12;②8，6，4，2，0，-2，-4;③a，5a，9a，13a，17a（a為常數(shù)）.

筆者在聽(tīng)課中經(jīng)?？吹接薪處熯@樣處理，提出問(wèn)題：你能發(fā)現(xiàn)這組數(shù)列的共同規(guī)律嗎？這樣的提問(wèn)對(duì)于預(yù)習(xí)過(guò)的學(xué)生或者數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生的確能觀察出教師所希望回答的規(guī)律，而事實(shí)上對(duì)有一部分學(xué)生來(lái)講，并非一下子就能發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律，因?yàn)檫@些學(xué)生并不知道從哪里入手，思考什么問(wèn)題. 教師的“教”就是要給學(xué)生一個(gè)思考的方向，要讓學(xué)生明確要做什么.

教師：大家觀察這組數(shù)列，從運(yùn)算的角度分析一下每組數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間存在什么樣的關(guān)系？這樣的提問(wèn)傳達(dá)給學(xué)生的信息是明確的，學(xué)生知道要思考什么，自然能得出后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都相等.

教師：你能把這個(gè)規(guī)律用一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)嗎？面對(duì)這個(gè)提問(wèn)，學(xué)生感到茫然，似乎可以寫出關(guān)系式但又不知道寫什么. 這就是教師“教”得不明確. 但如果用數(shù)列中的某一項(xiàng)來(lái)表示每一項(xiàng)：你覺(jué)得這一項(xiàng)是什么，如何表示？學(xué)生容易想到第n項(xiàng)an，我們用an來(lái)表示數(shù)列的每一項(xiàng)，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式. 這樣的設(shè)問(wèn)給學(xué)生的思考方向是顯然的，學(xué)生根據(jù)自己的理解會(huì)寫出第一個(gè)數(shù)列的關(guān)系式：an-an-1=2或者an-an+1=-2. 但是“后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差”這句話中an的前一項(xiàng)究竟指的是an-1還是an+1？教師此時(shí)的“教”就是當(dāng)學(xué)生有困惑的時(shí)候給予指引，數(shù)列是從第一項(xiàng)開(kāi)始，叫作首項(xiàng)，那么這里的“后一項(xiàng)與前一項(xiàng)”是對(duì)項(xiàng)數(shù)而言的，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為n時(shí)，它的前一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是比n小的即n-1項(xiàng)，這樣學(xué)生不難得出an-an-1=2這一關(guān)系式了.

如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“從第2項(xiàng)起”呢？其實(shí)僅從上面的例子，學(xué)生是很難看出“從第2項(xiàng)起”的，看不出“從第2項(xiàng)起”就很難真正明白等差數(shù)列的定義. 在上面的例子中，如果增加一個(gè)例子：④1，3， 7，11，15，19，…. 這里教師“教”的意識(shí)就是讓學(xué)生通過(guò)事例發(fā)現(xiàn)有跟前面例子不一樣的情況，而這個(gè)不一樣的情況自然能引起學(xué)生思考：什么樣的數(shù)列才是等差數(shù)列？“每一項(xiàng)”如何理解？從而得出“從第2項(xiàng)起”這一重要前提，在關(guān)系式中如何體現(xiàn)“從第2項(xiàng)起”呢？學(xué)生通過(guò)思考，便得出an-an-1=2（n≥2）這個(gè)等式.

教師：根據(jù)①中的公差為2，②中的公差為-2，③中的公差是常數(shù)a，你能把這三個(gè)式子用一個(gè)等式表示嗎？

學(xué)生：an-an-1=d，d為常數(shù)，且d為全體實(shí)數(shù).

教師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己的理解描述一下你心目中的等差數(shù)列.

這看是比較開(kāi)放的問(wèn)題，但學(xué)生的回答卻事與愿違，一連幾個(gè)同學(xué)的回答結(jié)果與教材的表述一模一樣，“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為一個(gè)常數(shù)”. 為什么學(xué)生就不會(huì)用自己的理解來(lái)表述呢？這里主要是教師“教”的意識(shí)沒(méi)到位，教師的設(shè)問(wèn)沒(méi)有提供給學(xué)生一個(gè)可以自己表述的思維方向，學(xué)生不知從哪些方面來(lái)描述. 既然不知道怎么去描述，那就干脆按照書本上的來(lái)描述. 在此，教師“教”的意識(shí)在于讓學(xué)生明白從哪些方面入手，說(shuō)什么內(nèi)容. 其實(shí)定義的表述要說(shuō)什么并不難，語(yǔ)文中要完整地描述一件事，就要從地點(diǎn)、人物、事件等方面來(lái)描述. 這里教師不妨借鑒語(yǔ)文的要求，首先說(shuō)“地點(diǎn)”，即條件，在什么條件下;其次說(shuō)“人物”，即數(shù)量，有幾個(gè)數(shù)量，這些數(shù)量有什么要求;最后說(shuō)“事件”，即關(guān)系，這些數(shù)量之間有什么關(guān)系. 這樣學(xué)生便會(huì)去思考：在一個(gè)數(shù)列中，有兩個(gè)數(shù)量，即數(shù)列中的兩項(xiàng)，這兩項(xiàng)有什么要求呢？必須是任意的，不能是特殊的，同時(shí)這兩項(xiàng)必須是連續(xù)的. 發(fā)生了什么事？用項(xiàng)數(shù)大的項(xiàng)減去項(xiàng)數(shù)小的項(xiàng)結(jié)果都等于同一個(gè)常數(shù). 有了這樣“教”的意識(shí)，學(xué)生自然會(huì)用自己的語(yǔ)言去描述定義了. 這樣的描述，也在學(xué)生心中對(duì)等差數(shù)列有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)，這就是對(duì)定義的“真”理解，“真”明白，真正理解了定義，應(yīng)用就不難了. 比如，要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，學(xué)生會(huì)思考：只要找其中任意連續(xù)的兩項(xiàng)作差，看其結(jié)果是不是一個(gè)常數(shù).

2. 等差數(shù)列通項(xiàng)公式“教”的意識(shí)

公式的教學(xué)要讓學(xué)生明白公式是怎么來(lái)的，公式長(zhǎng)什么樣子，公式有什么應(yīng)用價(jià)值. 尤其是公式的推導(dǎo)過(guò)程，要讓學(xué)生清楚是怎么想到的，為什么要這樣想.

引入：既然等差數(shù)列的代數(shù)形式是an-an-1=d（d為常數(shù)，n≥2），如果已知a1，能否用a1和d把a(bǔ)n表示出來(lái)？

怎么思考呢？教師“教”的意識(shí)就是要給學(xué)生一個(gè)思考方向：要用a1和d來(lái)表示，關(guān)系式中就應(yīng)該要有a1，由已知關(guān)系式怎么才能出現(xiàn)a1呢？

由an-an-1=d有a2-a1=d和a3-a2=d，如何消除a2？學(xué)生自然會(huì)想到兩式相加得a3-a1=2d，以此類推，便得an-a1=（n-1）d，所以便得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d. 而由an-an-1=d得an=an-1+d，結(jié)合通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d，你能猜想an與前面任意項(xiàng)am（m∈N*，m

教師：如果把n看成自變量，an看成函數(shù)值f（n），你能得到什么樣的函數(shù)關(guān)系？

學(xué)生：f（n）=a1+（n-1）d=dn+a1-d，即關(guān)于n的一次函數(shù).

以上是對(duì)公式的出生和長(zhǎng)相的認(rèn)識(shí)，下面對(duì)公式的應(yīng)用價(jià)值進(jìn)行分析. 而這個(gè)公式的應(yīng)用價(jià)值并不是公式本身，而是推導(dǎo)公式的思想方法，即疊加思想. 這里教師“教”的意識(shí)就應(yīng)該體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生思維模式的構(gòu)建，如何用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法去解決相關(guān)問(wèn)題.

“已知數(shù)列中的某一項(xiàng)和連續(xù)兩項(xiàng)的關(guān)系，求其中一項(xiàng)”，這是對(duì)該問(wèn)題的一般描述，對(duì)此問(wèn)題教師要如何“教”呢？這里可借用如下的思維導(dǎo)圖. 有了思維導(dǎo)圖，學(xué)生明確了思維的方向，對(duì)新課標(biāo)提出的對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用就能真正實(shí)現(xiàn)用疊加法的技巧解決數(shù)列的綜合問(wèn)題.