鄭義富

當(dāng)前對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定尚無定論。采用“二分法”將公認(rèn)的素養(yǎng)項(xiàng)逐步排除，科學(xué)“求核”，確定“數(shù)感”為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。構(gòu)建形如“飛行器”式數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)模型，提出“綜合數(shù)感”。

一、基于“二分法”視角辨析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“二分法”，一種認(rèn)識(shí)事物的辯證方法，是在“一分為二”觀點(diǎn)指導(dǎo)下認(rèn)識(shí)事物的方法。對(duì)“二分法”通俗地理解其實(shí)就是一種通過不斷的排除不可能的東西，最終找到需要的東西的一種方法，所以可以理解成“排除法”。以“二分法”逐步排除“非核心素養(yǎng)”，那么最后剩下的應(yīng)該就是處于核心地位的素養(yǎng)——核心素養(yǎng)。

經(jīng)過文獻(xiàn)整理，筆者認(rèn)為目前被廣泛接受的數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)該就是“十個(gè)核心詞+抽象”，共11個(gè)素養(yǎng)項(xiàng)。如果把這11項(xiàng)都作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)顯然過于分散且“臃腫”，必須進(jìn)行“瘦身”，根據(jù)“二分法”逐步排除，從而科學(xué)地進(jìn)行“求核”。

首先排除的是不受專業(yè)課程局限的，超越學(xué)科功能的素養(yǎng)項(xiàng)，也就是“共通性素養(yǎng)”，包括：創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)。應(yīng)用意識(shí)不是只有數(shù)學(xué)教育才可培養(yǎng)，任何學(xué)科都應(yīng)該注重“學(xué)以致用”。而“創(chuàng)新意識(shí)”更是超越學(xué)科、超越任何教育時(shí)段了。因此，二者必然不能算作數(shù)學(xué)學(xué)科的“核心”。

“模型思想”是否就是“核心”呢？模型思想并非獨(dú)立的數(shù)學(xué)知識(shí)板塊，可以說是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終，但對(duì)于人的培養(yǎng)結(jié)果來講模型思想并非是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)。模型思想的培養(yǎng)和形成其實(shí)綜合了各項(xiàng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域或者數(shù)學(xué)素養(yǎng)。其“與外部世界聯(lián)系的基本途徑”的特性其實(shí)就是“應(yīng)用意識(shí)”的培養(yǎng)；“具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”說明其門檻是“抽象”；“用數(shù)學(xué)符號(hào)”就是要培養(yǎng)“符號(hào)意識(shí)”；“建立方程、不等式、函數(shù)”“數(shù)量關(guān)系”“結(jié)果意義”等關(guān)鍵詞表明其對(duì)“數(shù)感”培養(yǎng)的要求。經(jīng)過上述解構(gòu)，“模型思想”就分解到“應(yīng)用意識(shí)”“抽象”“符號(hào)意識(shí)”“數(shù)感”等素養(yǎng)項(xiàng)中。除非分解后的素養(yǎng)項(xiàng)最后被界定為核心素養(yǎng)，否則，“模型思想”就不能居于“核心”地位了。

在對(duì)“模型思想”進(jìn)行辨析時(shí)采用了“分解”的方法，其他幾項(xiàng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)還可以結(jié)合另一種方法進(jìn)行分析，這種方法可稱為“化歸”，或者說是“合并轉(zhuǎn)化重組”。

比如“幾何直觀”，《課標(biāo)》（2011年版）解釋為“主要利用圖形描述和分析問題”。如果我們把幾何圖形看作是一種“特殊的數(shù)學(xué)符號(hào)”，那么，幾何直觀其實(shí)就是“符號(hào)意識(shí)”。同理，“空間觀念”是“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形描述現(xiàn)實(shí)問題”。說到底，空間觀念也是一種數(shù)學(xué)式的空間感悟。因其借助的是“幾何圖形”，所以也可以歸為“符號(hào)意識(shí)”一類，但是其“抽象”“推理”的特性還是不能忽視。也就是說空間觀念可以分解到“符號(hào)意識(shí)”“抽象”“推理”三個(gè)素養(yǎng)項(xiàng)中。

再看“數(shù)據(jù)分析”“運(yùn)算能力”“推理能力”“數(shù)感”之間的關(guān)系。大多數(shù)人可能對(duì)“數(shù)感”的認(rèn)識(shí)有所偏頗，錯(cuò)誤地把“數(shù)感”與“數(shù)字感”等同了?！墩n標(biāo)》（2011年版）這樣解釋：數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。顯然，“數(shù)感”所涵蓋的意義要遠(yuǎn)超“數(shù)與計(jì)算”。而“運(yùn)算能力”主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。對(duì)“數(shù)感”素養(yǎng)解析的關(guān)鍵詞“數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算”不就是“運(yùn)算能力”嗎？類似的，“推理能力”所強(qiáng)調(diào)的“借助數(shù)學(xué)基本思維方式推斷某些結(jié)果，或通過數(shù)學(xué)法則等進(jìn)行證明和計(jì)算”等等都是“數(shù)感”素養(yǎng)或者“符號(hào)意識(shí)”素養(yǎng)的直接體現(xiàn)。數(shù)學(xué)推理最終要落在數(shù)或運(yùn)算符號(hào)上，以數(shù)學(xué)特有的符號(hào)簡(jiǎn)明地反映邏輯思考的過程，數(shù)或符號(hào)的使用同時(shí)也促進(jìn)推理能力的提升。因此，推理能力也可以歸為數(shù)感一項(xiàng)?！皵?shù)據(jù)分析觀念”是指“收集現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析判斷，發(fā)現(xiàn)規(guī)律或解決現(xiàn)實(shí)問題”。數(shù)據(jù)分析雖然屬于統(tǒng)計(jì)與概率范疇，是統(tǒng)計(jì)的核心。但說到底也是對(duì)“數(shù)”的分析。無論如何“數(shù)據(jù)”總是“數(shù)”，對(duì)數(shù)據(jù)的收集認(rèn)識(shí)理解分析都是對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)和感悟，何嘗又不是“數(shù)感”呢？至此，“數(shù)據(jù)分析”“運(yùn)算能力”“推理能力”都可以歸為“數(shù)感”一項(xiàng)，只不過這時(shí)候“數(shù)感”的涵義更加豐富更為立體了。

而“符號(hào)意識(shí)”中的“符號(hào)”只是工具或手段，真正的用意是“表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”，是要進(jìn)行“運(yùn)算與推理”。如果把“數(shù)字”也看作一種特殊的數(shù)學(xué)符號(hào)，那么“數(shù)感”就是“符號(hào)感”。因“符號(hào)”在這里必須具有“數(shù)學(xué)意味”，因此，用“數(shù)感”統(tǒng)領(lǐng)二者更為合適。

經(jīng)過上面的分解、化歸，十一個(gè)素養(yǎng)項(xiàng)已經(jīng)排除了九項(xiàng)，只?！皵?shù)感”與“抽象”兩項(xiàng)了。只有兩項(xiàng)處于學(xué)科核心地位自然無可厚非。但是，這兩項(xiàng)并非彼此“獨(dú)立”，而是有著千絲萬縷的聯(lián)系，甚至可以整合為一項(xiàng)。數(shù)學(xué)中對(duì)于抽象的表達(dá)，主要是通過數(shù)字或數(shù)學(xué)特征鮮明的符號(hào)，抽象就是對(duì)“數(shù)與形”的抽象。因此，抽象也是人對(duì)數(shù)字或符號(hào)的特殊感悟能力。所以，抽象也可以歸到數(shù)感和符號(hào)感合并延展后的“新數(shù)感”項(xiàng)中。

由此得出結(jié)論，數(shù)學(xué)中處于核心地位的素養(yǎng)是——數(shù)感，也可以說“數(shù)感”是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)?；谇拔姆治觯瑯?gòu)建形如“飛行器”式數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)模型，如右圖。

二、與時(shí)俱進(jìn)，從“數(shù)感”到“綜合數(shù)感”

事物總是要發(fā)展變化的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值觀與人才觀也要與時(shí)俱進(jìn)。筆者學(xué)習(xí)借鑒張奠宙先生的“真善美”論述，在原“數(shù)感”的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展延伸，提出“新數(shù)感”的概念，將“數(shù)學(xué)綜合數(shù)感”簡(jiǎn)稱為“綜合數(shù)感”。綜合數(shù)感主要是指“通過對(duì)數(shù)（符號(hào)）與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、空間幾何、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟，提升用數(shù)學(xué)思想方法分析、解決實(shí)際問題的基本能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)及創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性，進(jìn)而能夠喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)之美?！?/p>

責(zé)任編輯韋英哲