搖朱永

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)是鞏固和加深已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，使學(xué)生在掌握復(fù)習(xí)內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高問題解決能力。長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐使我們體會(huì)到：無論是平時(shí)教學(xué)，還是中考復(fù)習(xí)都不能在同一水平上簡(jiǎn)單重復(fù)，更不能使學(xué)生成為解題機(jī)器；而一題多解有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，使學(xué)生在解題中回憶、聯(lián)系所學(xué)內(nèi)容，有助于鍛煉學(xué)生的基本技能，同時(shí)抑制教學(xué)的模型化，有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，在復(fù)習(xí)課中恰當(dāng)適量地采用“一題多解”教學(xué)，進(jìn)行多角度的解題思路分析，探討解題規(guī)律和解題方法與技巧，勢(shì)必能活躍學(xué)生思維進(jìn)而達(dá)到高效復(fù)習(xí)的目標(biāo)。下面筆者以一道平面幾何證明題為例說明，供大家參考。

例題 如圖1，已知在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD⊥BE，垂足為D。求證：∠BAD=∠CAD+∠C。

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分析1：引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的內(nèi)角和、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、角平分線的定義，尋找等量關(guān)系，運(yùn)用等式的性質(zhì)解決問題。

證法1：∵BE是∠ABC的平分線

∴∠ABE=∠CBE

∵AD⊥BE

∴∠ABD+∠BAD=90°

∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°

∴∠ABE+∠CBE+∠BAD+∠CAD+∠C=180°

∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠CAD+∠C

∴∠BAD=∠CAD+∠C

分析2：引導(dǎo)學(xué)生觀察結(jié)論、通過輔助線——延長(zhǎng)法，構(gòu)造所需三角形；運(yùn)用直角三角形的兩個(gè)銳角互余尋找等量關(guān)系、借助三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解決問題。

證法2：延長(zhǎng)AD交BC于F點(diǎn)（如圖2）。

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∵BE是∠ABC的平分線

∴∠ABE=∠CBE

∵AD⊥BE

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠FBD+∠BFD=90°

∴∠BAD=∠BFD

∵∠BFD=∠CAD+∠C

∴∠BAD=∠CAD+∠C

分析3：通過延長(zhǎng)法構(gòu)造全等三角形、截取法構(gòu)造全等三角形；在解決問題同時(shí)，讓學(xué)生感受相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

證法3：延長(zhǎng)AD交BC于F點(diǎn)（如圖2）。

∵BE是∠ABC的平分線

∴∠ABE=∠CBE

∵AD⊥BE

∴∠BDA=∠BDF=90°

在△ABD與△FBD中

∵∠ABD=∠FBD，BD=BD，∠BDA=∠BDF

∴△ABD≌△FBD

∴∠BAD=∠BFD

∵∠BFD=∠CAD+∠C

∴∠BAD=∠CAD+∠C

證法4：在BC上截取BF=BA，連接DF（如圖3）。

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∵BE是∠ABC的平分線

∴∠ABE=∠CBE

在△ABD與△FBD中

∵BA=BF，∠ABD=∠FBD，BD=BD

∴△ABD≌△FBD

∴∠ADB=∠FDB，∠BAD=∠BFD

由AD⊥BE，可得A、D、F三點(diǎn)在一條直線上。

∵∠BFD=∠CAD+∠C

∴∠BAD=∠CAD+∠C

分析4：引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件、通過輔助線——作平行線法，構(gòu)造等腰三角形，解決問題。

證法5：過A點(diǎn)作AF∥BC，交BE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)（如圖4）。

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∴∠CBF=∠AFB，∠C=∠CAF

∵BE是∠ABC的平分線

∴∠ABE=∠CBE

∴∠ABF=∠AFB

∵AD⊥BE

∴∠BAD=∠FAD

∵∠FAD=∠CAF+∠CAD

∴∠FAD=∠C+∠CAD

∴∠BAD=∠CAD+∠C

一題多解不但能讓學(xué)生達(dá)到解題的目標(biāo)要求，而且讓學(xué)生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛。學(xué)生多角度地思考解題方法，讓解題增添了新穎性和趣味性，解題思維模式解放了，解題方法也多種多樣，這樣才能使枯燥的數(shù)學(xué)解題變得更加具有吸引力，學(xué)生才能更加對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，而不會(huì)覺得數(shù)學(xué)枯燥無趣。本題在復(fù)習(xí)的教學(xué)過程中取得了良好的教學(xué)效果，也為學(xué)生解決有關(guān)平面幾何證明題題奠定了很好的思維基礎(chǔ)。

（作者單位：安徽省蕪湖市第七中學(xué)）