錢方生

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150025)

1 引言

模表示論中塊論是其核心部分,而虧群在塊論中起到關(guān)鍵的作用.它是聯(lián)系群論性質(zhì)和表示論性質(zhì)最重要的對象.因而,下列問題一直是模表示論研究的核心問題.

一個p-子群D何時是有限群G的p-塊的虧群?如果D是虧群,用群論性質(zhì)來計算以D為虧群的p-塊的個數(shù).

這個問題在有限群表示論中具有重要意義,Brauer在文獻(xiàn)[1]中將它列為問題19,而在文獻(xiàn)[2]中被Feit列為問題5.

特別地,對D=1,以D為虧群的p-塊被稱為虧零p-塊.關(guān)于這一問題現(xiàn)在已有許多結(jié)論見文獻(xiàn)[3–8],在這里我們給出了一類存在極大子群是冪零群的有限群有虧零p-塊的充要條件.

本文討論的群均為有限群,如無特別說明所使用的符號和術(shù)語均符合標(biāo)準(zhǔn).

2 引理

定義2.1[9]有限群G的一個子群H稱為半正規(guī)的,若對任意的子群K≤G,只要(|K|,|H|)=1,就有KH=HK.

由定義下面的引理是顯然的.

引理2.2設(shè)G為有限群,H為G的半正規(guī)的子群.

(1)若H≤K≤G,則H為K的半正規(guī)的子群.

(2)設(shè)N?G,若(|N|,|H|)=1,則HN/N為G/N的半正規(guī)的子群.

引理2.3[10]假設(shè)有限群G有一個極大冪零子群,且Sylow 2子群是交換的,則群G是可解的.

引理2.4[11]假設(shè)G是有限可解群,P是G的Sylowp-子群且是交換的,Op′(G)是冪零的,其中p是整除群G階的素數(shù).則下列條件是等價的:

(1)G有虧零p-塊.

(3)Op(G)=1.

引理2.5[12]設(shè)N是可解群G的一個正規(guī)子群,且N的階與p互素,其中p是一個素數(shù).令K1,K2,···,Kr是G的虧零類,并且它們都包含在N中.則G至少有r個虧零特征標(biāo).

引理2.6設(shè)G是有限群,G=PN,其中P是G的Sylow 2-子群,N是初等交換q-群,q/=2,N?G.若G的2階群均是半正規(guī)的子群,則G有虧零2-塊的充要條件是O2(G)=1,并且存在a∈N,使得CG(a)是2′子群.

證 1)對任意a∈N,a/=1,x∈G,x2=1,x/=1,有x∈CG(a)或ax=a?1.

由〈x〉是半正規(guī)的子群,有〈x〉〈a〉≤G,于是〈a〉?〈x〉〈a〉,若則ax=al=b,其中2≤l≤q?1.于是有bx=(ax)x=ax2=a.進(jìn)而有(ab)x=axbx=ba=ab,從而ab=1,即有a=b?1.由x,a的任意性知對任意的2階元x及q-階元a有x∈CG(a)或ax=a?1.

2)命題成立.

由N是初等交換q- 群, 于是可設(shè)N=其中a1,a2,···an是q-階元.由O2(G)=1知CG(N)=N.否則,令Q為CG(N)的Sylow 2-子群,則Q/=1且CG(N)=N×Q,從而Q是CG(N)特征子群,進(jìn)而Q?G,與O2(G)=1矛盾.設(shè)a=a1+a2+···+an,x是2階元,若x∈CG(a),則a=ax=ax1+ax2+···+axn.由1) 及N=知axi=ai,其中i=1,2,···,n. 由于a1,a2,···,an是N的生成元,從而有x∈CG(N),與CG(N)=N矛盾.從而CG(a)是2′子群,且有a∈O2′(G)=N.由引理2.5知G有虧零2-塊,于是命題成立.

引理2.7[13]設(shè)G是奇階群,p是一個素數(shù),Op′(G)和G/Op′(G)是冪零的.則G有虧零p-塊的充要條件是Op(G)=1.

引理2.8[11]設(shè)G是有限群,D是G的正規(guī)p-子群,PN?G,其中P∈Sylp(G),N是G的正規(guī)p′-子群.則下列條件是等價的:

1)G有以D為虧群的p-塊.

2)PN有以D為虧群的p-塊.

3)N有以D為虧群的G的共軛類.

引理2.9設(shè)G是有限群,G=POp′(G),其中P∈Sylp(G),p是整除群G階的一個素因子.若G/Op(G)有虧零p-塊,則G有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.

3 主要定理及其證明

關(guān)于虧零p-塊問題,人們希望給出存在虧零p-塊的各種群論條件.這一問題現(xiàn)在已有一些重要結(jié)果,在這里又給出了一類存在極大冪零子群的有限群有虧零p-塊的充要條件.首先給出一些關(guān)于有限群有虧零2-塊的充要條件.

定理3.1 設(shè)G是有限群,且G有一個極大冪零子群.若G的Sylow 2-子群是交換的,則G有虧零2-塊的充要條件是O2(G)=1.

證 必要性是顯然的,下面只需證充分性.

1)若M?G.設(shè)P是M的Sylow 2-子群,由M是冪零的,知PCharM,從而P?G.由O2(G)=1,知P=1.再由M是G的極大子群,知|G:M|=2,從而G的Sylow 2-子群的階是2,進(jìn)而是交換的.由O2′(G)=M是冪零的及引理2.4知G有虧零2-塊.

2)假設(shè)M不是G的正規(guī)子群.若Φ(G)/=1.由Φ(G)是冪零的和O2(G)=1,知Φ(G)是2′-子群.若O2(G/Φ(G))/=1,則令K/Φ(G)=O2(G/Φ(G)).于是K是冪零的,進(jìn)而K的Sylow 2-子群是K的不為1的特征子群,從而是G的不為1的正規(guī)2-子群與O2(G)=1矛盾,因而O2(G/Φ(G))=1.再由Φ(G)≤M和歸納假設(shè)知G/Φ(G)有虧零2-塊,從而G有虧零2-塊.

于是可假設(shè)Φ(G)=1.設(shè)MG是M中的G的極大正規(guī)子群,若MG/=1.由M是冪零的,知MG是冪零的且是p′-子群.若O2(G/MG)=1,則由歸納假設(shè)知G/MG虧零2-塊.從而G有虧零2-塊.現(xiàn)設(shè)O2(G/MG)=N/MG/=1.易知N/MG不是M/MG的子群,再由M是G的極大子群,知G=NM,從而G/N同構(gòu)于M的子群是冪零的.設(shè)L/N是G/N的Sylow 2-子群,由G/N冪零性知L是G的正規(guī)子群且G/L是p′-子群.從而G有虧零2-塊的充要條件是L有虧零2-塊.由G的Sylow 2-子群是交換的,知L的Sylow 2-子群是交換的,而O2′(L)=MG是冪零的,由引理2.4知L有虧零2-塊,從而G有虧零2-塊.

設(shè)MG=1.令K是G的極小正規(guī)子群,由引理2.3知G是可解的,再由Φ(G)=1知K是初等交換q-群,其中q是不同于2的素數(shù).由MG=1和M是G的極大子群知G=KM,于是G/K同構(gòu)于M的子群是冪零的,從而G/K的Sylow 2-子群W/K是G/K的正規(guī)子群.于是G/W是2′-子群,從而G有虧零2-塊的充要條件是W有虧零2-塊.設(shè)W=P0K,其中P0是G的Sylow 2-子群.而O2′(W)=K是冪零的,由G的Sylow 2-子群是交換的,知W的Sylow 2-子群是交換的,由引理2.4知W有虧零2-塊,從而G有虧零2-塊.

關(guān)于奇階冪零群被冪零群擴張的群有虧零p-塊已有很多很好的結(jié)果,例如引理2.7.而對于偶階群結(jié)果還不是很多,下面給出一類偶階群有虧零2-塊的充要條件.

定理3.2 設(shè)G是有限群,G=PN,其中P是G的Sylow 2-子群,N?G且N是冪零的.若G的2階子群均是半正規(guī)的子群,則G有虧零2-塊的充要條件是O2(G)=1,并且存在a∈N,使得CG(a)是2′-子群.

證 必要性是顯然的,下面只需證充分性.

假設(shè)Φ(G)/=1.則Φ(G)是G的2′-子群.否則由Φ(G)/=1的冪零性知1/=Syl2(Φ(G))?Φ(G)charG.則1/=Syl2(Φ(G))?G,則與O2(G)=1矛盾.

于是可以假設(shè)Φ(G)=1.由O2′(G)=N,N是冪零的,及Φ(G)=1知N=O2′(G)=F(G)=N1×N2×···×Ne,其中Ni是G的極小正規(guī)子群且是初等交換qi-子群,1≤i≤e.顯然有O2′(G)?CG(O2′(G))=CG(F(G))?O2′(G). 進(jìn)而P作用在O2′(G) 上是忠實的.

對每個Ni可看作是不可約Fqi[G]-模,其中Fqi是qi個元素的域.由G=PO2′(G)及O2′(G)是交換的,有Ni可看作是不可約Fqi[P]-模.設(shè)Ki是P作用在Ni上的核,由于P作用在O2′(G)上是忠實的,因而有且N可看作是不可約F[P/K]-模.由引iqii理2.6,存在ni∈Ni{1},對任意x∈PKi有令n=n1n2···ne∈O2′(G).若存在1/=y∈P,y2=1,使得則有因為ni/=1,所以y∈Ki,即有y∈由是交換的,則對于n有 2?|C(n)|,于是有CG(n)是2′-子群.再由引理2.5,G有虧零2-塊.

注 有例子說明定理3.2的條件群G的2階子群均是半正規(guī)的是必要的.設(shè)q=1+2m是Fermat素數(shù),令是Zq:Zq?1與Z2的圈積,則G是冪零群被冪零群擴張的群,且O2(G)=1,但G沒有虧零2-塊.

定理3.3 設(shè)G是有限群,且G有一個極大冪零子群.若G的2階群均是半正規(guī)的子群,則G有虧零2-塊的充要條件是O2(G)=1.

證 必要性是顯然的,下面只需證充分性.

1)若M?G.設(shè)P是M的Sylow 2-子群,由M是冪零的,知PCharM,從而P?G.由O2(G)=1,知P=1.再由M是G的極大子群,知|G:M|=2,從而G的Sylow 2-子群的階是2,進(jìn)而是交換的.由O2′(G)=M是冪零的及引理2.4知G有虧零2-塊.

2)若M不是G的正規(guī)子群.設(shè)MG是M中的G的極大正規(guī)子群,若MG/=1.由M是冪零的,知MG是冪零的且是2′-子群.若O2(G/MG)=1,則由引理2.2及歸納假設(shè)知G/MG有虧零2-塊.從而G有虧零2-塊.現(xiàn)設(shè)O2(G/MG)=N/MG/=1.易知N/MG不是M/MG的子群,再由M是G的極大子群,知G=NM.從而G/N同構(gòu)于M的子群,于是G/N冪零的.設(shè)L/N是G/N的Sylow 2-子群,由G/N冪零性知L是G的正規(guī)子群且G/L是2′-子群.從而G有虧零2-塊的充要條件是L有虧零2-塊.而O2′(L)=MG是冪零的,L/Op′(L)=L/MG是2-群,因而也是冪零的,由定理3.2知L有虧零2-塊,從而G有虧零2-塊.

于是可假設(shè)MG=1.設(shè)K是G的極小正規(guī)子群,由引理2.3知G是可解的,于是K是初等交換q-群,其中q是不同于2的素數(shù).由MG=1和M是G的極大子群知G=KM,于是G/K同構(gòu)于M的子群,進(jìn)而G/K冪零的.從而G/K的Sylow 2-子群W/K是G/K的正規(guī)子群.于是G/W是2′-子群,從而G有虧零2-塊的充要條件是W有虧零2-塊.設(shè)W=P0K,其中P0是G的Sylow 2-子群.而O2′(W)=K是冪零的,W/O2′(W)=W/K是2-群,因而也是冪零的,由定理3.2知W有虧零p-塊,從而G有虧零p-塊.

接下來給出一類奇階群有虧零p-塊的充要條件.

定理3.4 設(shè)G是奇階群,M是G的極大子群且是冪零的,p是整除群G階的一個素因子.則G有虧零p-塊的充要條件是Op(G)=1.

證 必要性是顯然的,下面只需證充分性.

1)若M?G.設(shè)P是M的Sylowp-子群,由M是冪零的,知PcharM,從而P?G.由Op(G)=1,知P=1.再由M是G的極大子群,知|G:M|=p,從而G的Sylowp-子群的階是p,進(jìn)而是交換的.由Op′(G)=M是冪零的及引理2.4知G有虧零p-塊.

2)若M不是G的正規(guī)子群.設(shè)MG是M中的G的極大正規(guī)子群,若MG/=1.由M是冪零的,知MG是冪零的且是p′-子群.若Op(G/MG)=1,則M/MG是G/MG的極大子群且是冪零的,從而由歸納假設(shè)知G/MG虧零p-塊.進(jìn)而G有虧零p-塊.現(xiàn)設(shè)Op(G/MG)=N/MG/=1.易知N/MG不是M/MG的子群,再由M是G的極大子群,知G=NM,從而G/N同構(gòu)于M的子群,進(jìn)而是冪零的.設(shè)L/N是G/N的Sylowp-子群,由G/N冪零性知L是G的正規(guī)子群且G/L是p′-子群.從而G有虧零p-塊的充要條件是L有虧零p-塊.而Op′(L)=MG是冪零的,L/Op′(L)=L/MG是p-群,因而也是冪零的,由引理2.7知L有虧零p-塊,從而G有虧零p-塊.

于是可假設(shè)MG=1.設(shè)K是G的極小正規(guī)子群,由G的可解性知K是初等交換q-群,其中q是不同于p的素數(shù).由MG=1和M是G的極大子群知G=KM,于是G/K同構(gòu)于M的子群是冪零的,從而G/K的Sylowp-子群W/K是G/K的正規(guī)子群.于是G/W是p′-子群,從而G有虧零p-塊的充要條件是W有虧零p-塊.設(shè)W=P0K,其中P0是G的Sylowp-子群.而Op′(W)=K是冪零的,W/Op′(W)=W/K是p-群,因而也是冪零的,由引理2.7知W有虧零p-塊,從而G有虧零p-塊.

定理3.5 設(shè)G是奇階群,M是G的極大子群且是冪零的,p是整除群G階的一個素因子.若Op(M)?Op(G),則G有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.

證 1)若Op(M)＜Op(G),則Op(G)不是M的子群,由M是G的極大子群,有G=MOp(G),于是G/Op(G)同構(gòu)于M的子群是冪零的.設(shè)P∈Sylp(G),則有P/Op(G)∈Sylp(G/Op(G))且有P/Op(G)?G/Op(G),于是有P=Op(G)?G.由于 1∈Op′(G),P∈Sylp(G)=Sylp(1).由引理2.8知G有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.

2)若Op(G)=Op(M).由M是冪零的,知Op(G)=Op(M)∈Sylp(M).若M?G,由M是G的極大子群,有|G:M|=q,其中q是整除群G階的一個素因子.若q/=p,則G有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊的充要條件是M有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.由M是冪零的,則有M=Op(M)×Op′(M).于是對任意x∈Op′(M),有Op(M)∈Sylp(CG(x)).從而M有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.于是G有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.

若q=p.令P∈Sylp(G),則有G=PM.易知P/Op(G)∈Sylp(G/Op(G)),M/Op(G)是G/Op(G)的極大子群且冪零的,且有Op(G/Op(G))=1.于是由定理3.4知G/Op(G)有虧零p-塊. 由Op′(M)chraM?G,知Op′(M)≤Op′(G). 由|G:M|=p,知Op′(M)=Op′(G).于是M=Op(M)×Op′(M)=Op(G)×Op′(G).于是由引理2.9及G/Op(G)有虧零p-塊,知G有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.

若M不是G的正規(guī)子群.由于M/Op(G)是G/Op(G)的極大子群且冪零的,

于是由定理3.4知G/Op(G)有虧零p-塊.設(shè)MG是M中的G的極大正規(guī)子群.若Op(G/MG)/=1,則由M/MG是p′-子群,知Op(G/MG)=H/MG不是M/MG的子群.由M/Op(G)是G/Op(G)的極大子群,有G=HM,且有(H/MG)∩(M/MG)=1.于是有|G/MG|=|H/MG||M/MG|,即有|G:H|=|M/MG|,從而G/H是p′-群.設(shè)P∈Sylp(H),則有H=PMG=POp′(MG),且Op′(MG)?H和Op(H)=Op(G). 由G/H是p′-群及G/Op(G)有虧零p-塊,知H/Op(G)有虧零p-塊,再由引理2.9知H有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.從而存在x∈Op′(MG),使得Op(G)∈Sylp(CH(x)).由Op′(MG)?G,有Op′(MG)?Op′(G),即有x∈Op′(G).于是由引理2.8知G有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.

若Op(G/MG)=1.由G/MG的可解性知,Op′(G/MG)/=1.易知Op′(G/MG)不是M/MG的子群,于是有G/MG=(Op′(G/MG))(M/MG). 而Op′(G/MG),M/MG均是p′-群,所以G/MG也是p′-群.進(jìn)而有Op(MG)=Op(G)=P∈Sylp(G),于是G有以O(shè)p(G)為虧群的p-塊.

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