梁玉青

(湖北工業(yè)大學(xué)土木建筑與環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430068)

0 引言

大跨結(jié)構(gòu)由于跨度過(guò)大容易導(dǎo)致在行人荷載激勵(lì)下其人體舒適度不滿足設(shè)計(jì)要求。我國(guó)規(guī)范對(duì)大跨結(jié)構(gòu)的1階豎向振動(dòng)頻率采取了一定的限制要求。如《高層建筑混凝土技術(shù)規(guī)程》(JGJ3)和《組合樓板設(shè)計(jì)與施工規(guī)范》(CECS 273)要求樓蓋結(jié)構(gòu)的豎向振動(dòng)頻率不宜小于3 Hz；《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010)提出對(duì)混凝土樓蓋結(jié)構(gòu)豎向自振頻率的要求更為細(xì)致，住宅和公寓不宜低于5 Hz，辦公室和旅館不宜低于4 Hz，大跨度公共公共建筑不宜小于3 Hz。

對(duì)于普通懸掛板，在遭受連續(xù)跳躍、奔跑等極端荷載作用時(shí)，懸掛板可能會(huì)因?yàn)楣舱窦ち覍?dǎo)致其舒適度不符合設(shè)計(jì)要求。為避免給行人帶來(lái)不舒適感，需要對(duì)大跨懸掛板采取加固或者減振措施，目前多調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(multiple tuned mass damper簡(jiǎn)稱MTMD)減振技術(shù)已被廣泛用于解決大跨結(jié)構(gòu)振動(dòng)舒適度問(wèn)題[1-4]，并具有較好的減振效果。但目前對(duì)于MTMD加裝位置和相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)缺乏充分研究。本文根據(jù)某大跨度懸掛板實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，進(jìn)行詳細(xì)的有限元分析，以確定不同參數(shù)和加裝位置MTMD結(jié)構(gòu)在不同荷載工況下的振型頻率和該振型幅值，確保懸掛板共振狀態(tài)下豎向加速度響依然低于舒適度限值，從而充分發(fā)揮MTMD的減振性能，有效避免了給板上行人帶來(lái)不舒適感。

1 工程概況

本工程為鋼-筋混凝土組合結(jié)構(gòu)，需要分析的懸掛板處于整體結(jié)構(gòu)的第二層西側(cè)。懸掛板結(jié)構(gòu)三維示意圖如圖1所示，該懸掛板長(zhǎng)度約為32 m，寬度約為12 m，外圍由18根直徑為60 mm的Q345鋼桿吊掛固定。懸掛板的梁板構(gòu)件材料分別為Q345鋼和C40混凝土。整體結(jié)構(gòu)布局合理清晰，對(duì)大跨度懸掛板MTMD減振控制的研究具有較好的應(yīng)用價(jià)值。

圖1 整體結(jié)構(gòu)三維結(jié)構(gòu)示意圖

2 懸掛板模態(tài)分析

準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性是舒適度評(píng)價(jià)的前提。大跨度懸掛結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜，需要篩選出懸掛板結(jié)構(gòu)的豎向振動(dòng)情況。通過(guò)Midas Gen軟件采用Ritz法并取45階振型對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，模態(tài)分析結(jié)果顯示，結(jié)構(gòu)從第4階開(kāi)始出現(xiàn)懸掛板的豎向振型，表1列出了整個(gè)結(jié)構(gòu)下懸掛板豎向振動(dòng)的前6階振型振動(dòng)情況，其中懸掛板前6階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)位置如圖1所示，圖2給出了懸掛板前3階豎向振動(dòng)時(shí)整體結(jié)構(gòu)振型圖。從表1可以看出，懸掛板第1、2階固有頻率在行人荷載頻率(1.5～3.5 Hz)以內(nèi)，行人活動(dòng)較為容易激發(fā)懸掛板產(chǎn)生劇烈運(yùn)動(dòng)，故本文研究懸掛板第1、2階豎向振型，驗(yàn)算不同人行激勵(lì)下懸掛板舒適度。

表1 懸掛板的豎向模態(tài)情況

圖2 懸掛板前3階豎向振動(dòng)時(shí)整體結(jié)構(gòu)振型圖

3 人行荷載模擬與工況定義

3.1 人行荷載的模擬

3.1.1 單人荷載

(1)單人步行及奔跑荷載

行人行走過(guò)程會(huì)產(chǎn)生豎向作用力、側(cè)向作用力以及前進(jìn)方向摩擦力，對(duì)于大跨結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，人群活動(dòng)產(chǎn)生水平方向的作用力對(duì)樓蓋結(jié)構(gòu)影響較小，可以忽略不計(jì)，主要考慮人群活動(dòng)對(duì)大跨結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的豎向產(chǎn)生的作用力。行人左右腳各行一步有一個(gè)近似的變化，即行人行走非常接近周期性運(yùn)動(dòng)，故可用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)描述單人行走步行力。

式中:Fp(t)為行人激勵(lì)；fp為行人的步頻；G為平均行人重量；t為時(shí)間；αi表示第i階動(dòng)荷載的初相位。

傅里葉級(jí)數(shù)n階的取值與所要求的近似程度有關(guān)，一般認(rèn)為，豎向荷載考慮前3階已有足夠的精度。通常采用IABSE(international association for bridge and structural engineering)荷載模型模擬豎向行人豎向步行力，如式(2)所示:

式 中 :αi=0.4+0.25(fs-2)，α2=α3=0.1；φ1=0，φ2=φ3=π/2。圖 3為單人按 2.0 Hz連續(xù)行走的荷載時(shí)程曲線。

圖3 單人連續(xù)行走荷載時(shí)程曲線

單人跑動(dòng)荷載類似于單人步行荷載，僅步頻較快，可近似認(rèn)為按步行荷載模型公式(2)模擬，圖4為單人按3.0 Hz連續(xù)跑動(dòng)的荷載時(shí)程曲線。

(2)單人跳躍荷載

人體跳躍是包括起跳、騰空與落地三階段的重復(fù)性運(yùn)動(dòng)過(guò)程，目前常用半正弦函數(shù)來(lái)描述單次跳躍曲線F(t):

圖4 單人連續(xù)跑動(dòng)荷載時(shí)程曲線

式中:G為平均行人重量，kp為跳躍動(dòng)力因子，tp和Tp分別代表接觸時(shí)間和一次跳躍總時(shí)間。

為簡(jiǎn)化分析，跳躍動(dòng)力因子取1.5，簡(jiǎn)化后公式(2)為

將式(4)轉(zhuǎn)化為連續(xù)跳躍荷載，可表示為

單人按2.70 Hz連續(xù)跳躍荷載時(shí)程曲線如圖5所示。

圖5 單人跳躍荷載時(shí)程曲線

3.1.2 多人荷載

由于不同行人間的步頻、相位、行走方向和行走位置等差異，多人荷載激勵(lì)時(shí)，各人產(chǎn)生的振動(dòng)激勵(lì)會(huì)在一定程度上相互抵消。文獻(xiàn)[5]假定人群行走為均勻分布人流，步頻按正態(tài)分布，相位差在[0，2π]之間均勻分布，按隨機(jī)變量方法做大量數(shù)據(jù)模擬。根據(jù)文獻(xiàn)[5]，隨機(jī)行走的多人荷載與單人荷載的關(guān)系。

當(dāng)人群密度d＜1.0人/m2時(shí)，等效人數(shù)為:

式中，n為按人群密度計(jì)算的行人總數(shù)；ζ為人行橋阻尼比。

而人群密度d≥1.0人/m2，等效人數(shù)為:

3.2 工況定義

將多人荷載等效為同頻同相位角均布荷載，并按照面積分配到懸掛板各節(jié)點(diǎn)上，利用有限元軟件進(jìn)行時(shí)程分析，求得懸掛板的響應(yīng)。將多人荷載大致分為4類:連續(xù)行走、連續(xù)奔跑、小組行走和連續(xù)跳躍，表2以此列出懸掛板多人荷載工況。

(1)連續(xù)行走

文獻(xiàn)[6]對(duì)非自由行走密度下的人群步行特征參數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，大量樣本數(shù)據(jù)表明，人群步頻均值隨人群密度增大而降低。假設(shè)懸掛板隨機(jī)走動(dòng)行人密度適中(0.7人/m2)、擁擠(1.0人/m2)、較為擁擠(1.2人/m2)的情況，其對(duì)應(yīng)的荷載頻率分別為2.5 Hz、2.0 Hz和 1.8 Hz。

(2)連續(xù)跑動(dòng)

跑動(dòng)荷載頻率較高，且單人跑動(dòng)荷載類似于連續(xù)行走荷載，跑動(dòng)頻率也會(huì)隨人群密度增大而降低。考慮隨機(jī)人群在懸掛板上以2.7 Hz、3.1 Hz和3.5 Hz跑動(dòng)，其密度分別為0.5人/m2、0.3人/m2和0.1 人/m2。

(3)小組行走

考慮7人同步頻按1.75 H同步行走，以激發(fā)懸掛板第2階振型幅值處位置共振。

表2 人行荷載的定義

(4)連續(xù)跳躍

跳躍頻率越高，兩人同步跳躍難度越高。參考多人行走、跑動(dòng)工況，考慮41人、22人和13人在懸掛板上同步以1.75 Hz、2.7 Hz和3.5 Hz跳躍的情況，以激發(fā)懸掛板豎向第1階(2.72 Hz)和第2階(3.50 Hz)振型幅值處位置共振。

4 懸掛板無(wú)控加速度響應(yīng)

行人是振動(dòng)激勵(lì)荷載又是感受體，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)、速度響應(yīng)和加速度響應(yīng)三者中，加速度能明顯影響行人生理和心理感受，人體的舒適性感受可以采用振動(dòng)加速度響應(yīng)來(lái)評(píng)價(jià)。通常將振動(dòng)加速度響應(yīng)作為人體的舒適性感受控制指標(biāo)。按照室內(nèi)大跨度樓板豎向加速度限值規(guī)定[7]，人行荷載激勵(lì)下懸掛板樓板豎向振動(dòng)最大加速度峰值低于0.2 m/s2(見(jiàn)表 3)。

表3 樓蓋豎向振動(dòng)加速度限值

圖6 各工況下懸掛板前6階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)加速度峰值響應(yīng)

各工況下懸掛板前6階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)加速度峰值響應(yīng)如圖6所示，由圖6可見(jiàn)，GK3、GK4和GK9工況行人荷載激勵(lì)下懸掛板不滿足懸掛板豎向振動(dòng)加速度限值要求，其中懸掛板1階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)1311的豎向加速度峰值最大，依次分別為 0.24 m/s2、0.37 m/s2和 0.33 m/s2。原因在于GK3、GK7和GK9工況行人荷載頻率接近懸掛板1階豎向自振頻率，導(dǎo)致懸掛板發(fā)生共振，從而使懸掛板豎向加速度響應(yīng)大幅增加。同時(shí)，2階振型幅值處節(jié)點(diǎn)1286、3階振型幅值處節(jié)點(diǎn)1395、4階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)1287、5階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)1262和6階振型幅值處節(jié)點(diǎn)1309等(見(jiàn)圖7)在GK3、GK4和GK9工況行人荷載激勵(lì)下加速度峰值也超過(guò)了舒適度限值要求，而2階振型幅值處節(jié)點(diǎn)1152、3階振型幅值處節(jié)點(diǎn)1530、4階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)1516、5階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)1177和6階振型幅值處節(jié)點(diǎn)1554等節(jié)點(diǎn)加速度響應(yīng)卻低于舒適度限值，這說(shuō)明節(jié)點(diǎn)1286、1395、1287、1262 和 1309 等節(jié)點(diǎn)加速度響應(yīng)過(guò)大的主要因素并不是懸掛板豎向2～6階振型共振造成的，而是由于這些節(jié)點(diǎn)比較靠近豎向1階振型幅值處節(jié)點(diǎn)1311，因節(jié)點(diǎn)1311共振而加速度連帶放大。

共振工況(GK4和GK9)行人荷載作用下懸掛板所有振型和僅1階豎向振型下節(jié)點(diǎn)1311加速度時(shí)程曲線如圖8所示，前20 s懸掛板受行人荷載激勵(lì)，后15s行人荷載停止激勵(lì)，懸掛板自由振動(dòng)并衰減至靜止。由圖8可見(jiàn)，懸掛板僅考慮一階豎向振型產(chǎn)生的加速度略小于考慮所有振型的。結(jié)合圖6和圖7可見(jiàn)，MTMD減振裝置應(yīng)根據(jù)懸掛板1階豎向自振頻率設(shè)計(jì)，并加裝在懸掛板1階振型幅值處節(jié)點(diǎn)1311附近的梁構(gòu)件上。

5 懸掛板MTMD減振分析

5.1MTMD參數(shù)設(shè)計(jì)及加裝位置

圖7 懸掛板前6階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)

圖8 懸掛板所有振型和僅1階豎向振型下節(jié)點(diǎn)1311加速度時(shí)程曲線

為便于TMD制作與應(yīng)用，假定MTMD系統(tǒng)中各TMD質(zhì)量和阻尼比一致，TMD阻尼比按單個(gè)TMD的阻尼比取值[8]，見(jiàn)公式(8):

式中:ξ為TMD最優(yōu)阻尼比；μ為TMD質(zhì)量與結(jié)構(gòu)質(zhì)量之比。

同時(shí)，假定MTMD的頻率對(duì)稱分布于結(jié)構(gòu)被控頻率附近，每個(gè)TMD的頻率計(jì)算公式為:

式中:fj為第j個(gè)TMD的頻率；fs為結(jié)構(gòu)被控頻率；n為TMD的個(gè)數(shù)；β為MTMD的頻率間隔。

確定各個(gè)TMD的質(zhì)量md、阻尼比ξ和頻率fj后，其剛度和阻尼見(jiàn)公式(10)、(11):

經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代，取6個(gè)質(zhì)量為600 kg的TMD，懸掛板部分的質(zhì)量為365.88 t，經(jīng)計(jì)算每個(gè)TMD的質(zhì)量比和阻尼比分別為0.00164和0.025，MTMD的頻率間隔β取0.12 Hz，計(jì)算得到的MTMD剛度和阻尼如表4所示，圖9節(jié)點(diǎn)1311周圍6個(gè)高亮節(jié)點(diǎn)即是MTMD加裝位置。

表4MTMD參數(shù)

5.2 懸掛板減振效果

減振前后，懸掛板1階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)1311在10種工況行人荷載激勵(lì)下的減振加速度響應(yīng)如圖10所示。減振后節(jié)點(diǎn)1311在10種工況下加速度峰值均有所降低，且低于舒適度限值0.2 m/s2，尤其在工況4和工況9荷載激勵(lì)下節(jié)點(diǎn)1311減振前后加速度峰值降低較其它工況降低明顯。其主要原因在于MTMD是根據(jù)被控模態(tài)控制的，GK4和GK9工況行人荷載頻率(2.7 Hz)接近被控模態(tài)頻率(2.72 Hz)，激發(fā)MTMD發(fā)揮更佳優(yōu)越地減振效果。

圖10 各工況下節(jié)點(diǎn)1311的減振效果

GK3、GK4和GK9工況行人荷載激勵(lì)下懸掛板前6階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)的減振效果如表4所示。由表4可知，在GK4、GK9工況行人荷載激勵(lì)下，響應(yīng)較大的振型幅值處節(jié)點(diǎn)1311、1286、1395、1287、1262和1309的減振效果均達(dá)43.8%以上，MTMD減振效果明顯，這些節(jié)點(diǎn)主要是因?yàn)樘幱?階豎向振型共振而加速度過(guò)大，MTMD根據(jù)懸掛板1階豎向振型對(duì)應(yīng)的頻率和幅值處位置設(shè)置，因此在共振工況下MTMD減振性能良好。此外，圖11為減振前后懸掛板1階豎向振動(dòng)振型圖，由圖可見(jiàn)，懸掛板上顏色形狀變化明顯，圖中紅色代表位移響應(yīng)大，藍(lán)色代表位移響應(yīng)小，且除藍(lán)色外其它顏色面積均有明顯減小，說(shuō)明在振型響應(yīng)最大處設(shè)置MTMD是有效、合理的設(shè)計(jì)方法。

GK4和GK9工況行人荷載激勵(lì)下懸掛板1階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)1331豎向加速度時(shí)程曲線如圖12所示。節(jié)點(diǎn)1311受行人荷載激勵(lì)后MTMD能夠在1 s左右進(jìn)入工作狀態(tài)，迅速抑制節(jié)點(diǎn)1331的豎向加速度，并將其控制在0.2 m/s2以下，說(shuō)明MTMD受激后既能夠快速地進(jìn)入工作狀態(tài)，又能將懸掛板舒適度控制在限值內(nèi)，從而很好地確保了懸掛板具有適宜的舒適度。

表4 懸掛板前6階豎向振型幅值處節(jié)點(diǎn)減振效果

圖11 減振前后懸掛板1階豎向振動(dòng)振型圖

圖12 節(jié)點(diǎn)1131的豎向加速度時(shí)程曲線

6 結(jié)語(yǔ)

(1)懸掛板對(duì)接近其1階豎向自振頻率行人荷載頻率較為敏感，工況3、工況4和工況9行人荷載因懸掛板共振激烈導(dǎo)致其舒適度不符合設(shè)計(jì)要求。

(2)MTMD是根據(jù)懸掛板1階豎向振型頻率和該振型幅值處位置來(lái)設(shè)計(jì)的。共振工況(工況4和工況9)下懸掛板1階豎向振型幅值處處MTMD的減振效果能夠達(dá)到43.8%以上，并能夠確保懸掛板共-振狀態(tài)下豎向加速度響應(yīng)低于舒適度限值，有效避免了給板上行人帶來(lái)不舒適感。

(3)受行人荷載激勵(lì)時(shí)，懸掛板1階振型幅值處節(jié)點(diǎn)1311起振后MTMD能夠很快進(jìn)入工作狀態(tài)而發(fā)揮減振作用，迅速地抑制懸掛板因共振造成豎向加速度響應(yīng)的增長(zhǎng)，確保懸掛板有適宜的舒適性。