陳曉燕
如何解應(yīng)用題呢?首先,把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,也就是用數(shù)學(xué)語言加以抽象與概括,即數(shù)學(xué)地審題;其次,從數(shù)學(xué)角度刻畫或反映實(shí)際問題,得出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述,即建立數(shù)學(xué)模型;再次,通過推理、演算在數(shù)學(xué)模型中解決問題,并還原或說明數(shù)學(xué)結(jié)果所反映的實(shí)際問題,即“解”與“答”.解題步驟的流程圖如下:
其中,“建立數(shù)學(xué)模型”是解應(yīng)用題的關(guān)鍵,很多同學(xué)往往審題不清,無法進(jìn)入分析問題、解決問題的環(huán)節(jié),這就需要我們把握數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題特點(diǎn),養(yǎng)成“條分縷析”的思維習(xí)慣,充滿信心地建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.本文以兩道高考模擬試題為例,為同學(xué)們剖析數(shù)學(xué)應(yīng)用題的思維要求.
1.分級概括、去粗存精——簡化問題背景
數(shù)學(xué)應(yīng)用題源于生活,問題的背景包含很多生活化的信息,建模需要的量與量的相等和不等關(guān)系,量的約束條件等均蘊(yùn)含在其中,這就需要我們學(xué)會閱讀、分析和理解,學(xué)會將文字語言敘述轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)符號語言.我們可以將問題中的信息分為三個層級,淺層:可以忽略的鋪墊介紹;表層:能夠理解的基本關(guān)系;深層:反映本質(zhì)的關(guān)鍵信息.淺層信息可以簡去,表層信息直接轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言和符號,深層信息需要仔細(xì)推敲、重點(diǎn)突破.
問題1中的“如圖,墻上有一壁畫,最高點(diǎn)A離地面4m,最低點(diǎn)B離地面2m”,“A離地面4m”、“B離地面2m”是表層信息,需要直接標(biāo)注在圖上,其他的均是淺層信息直接忽略.問題2中的“某賓館在裝修時,為了美觀,欲將客房的窗戶設(shè)計(jì)成半徑為Im的網(wǎng)形”,只有“圓的半徑為1 m”是表層信息,需要直接標(biāo)注在圖上,其他的均為淺層信息直接忽略.而問題1中的“觀察者離墻多遠(yuǎn)時,視角θ最大”,問題2中的“四根木條將網(wǎng)分成如圖所示的9個區(qū)域,其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形”是深層信息,是問題的突破口以及解題的關(guān)鍵所在,需要認(rèn)真思考和推敲,準(zhǔn)確地用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化,
“分級概括”不僅去粗存精、用簡潔的數(shù)學(xué)語言表征信息,而且簡化了問題的背景、突出問題解決的重點(diǎn).很多同學(xué)在審題時,由于沒有掌握這種方法,往往身陷冗長的文字而無法自拔,進(jìn)而失去解決問題的信心.
2.逐層抽象、重點(diǎn)突破——加工關(guān)鍵信息
應(yīng)用題中的深層信息是建模的關(guān)鍵,基于不同的特征,我們要學(xué)會相應(yīng)的抽象方法.問題1中的信息“觀察者離墻多遠(yuǎn)時,視角θ最大”是一種典型的最優(yōu)化問題的表征.雖然從字面上理解是求“離墻多遠(yuǎn)”,即“求x”,事實(shí)上需要關(guān)注對象卻是“視角θ”.對于最優(yōu)化問題,我們常用的方法是“將需要最優(yōu)的量作為目標(biāo),建立目標(biāo)函數(shù)”.這里要將“視角0”的某一個函數(shù)值(正弦、余弦或正切)作為因變量,“x”作為自變量,建立等量關(guān)系(解析式),并給出“x”的相應(yīng)范圍(定義域).這樣處理后,問題轉(zhuǎn)化為:“結(jié)合圖形特征,如何求視角θ?”這是個表層的問題了,問題2中的深層信息“若四根木條總長為6m,求窗口ABCD面積的最大值”.也是最優(yōu)化問題,處理方法類似.
3.合理比析、設(shè)計(jì)模型——解決實(shí)際問題
在概括、抽象的基礎(chǔ)上,我們可以著手設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行建模.但是,思考問題的視角不同,所選擇的模型也不一樣,解決數(shù)學(xué)模型的方法就有難有易,需要我們合理比析,做出選擇.
(1)【問題1】的比析