許珊珊+譚兵+李屹+何婷??

摘要：現(xiàn)行的葡萄酒質(zhì)量的評價體系是建立在人的感官上進行的，如何通過一些量化的理化指標(biāo)來評價葡萄酒質(zhì)量是一個值得研究的方向。為此，利用多元統(tǒng)計分析的相關(guān)知識，通過研究釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量之間的關(guān)系，客觀的評價了葡萄酒的質(zhì)量，成功的對釀酒葡萄進行了分級。

關(guān)鍵詞：t檢驗法；K均值聚類；典型相關(guān)分析；多元線性回歸

中圖分類號：F27文獻標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.09.028

1問題背景

葡萄酒質(zhì)量的好壞主要依賴于評酒員的感觀評價，由于人為主觀因素的影響，對于酒質(zhì)量的評價總會存在隨機差異，找到一種簡單有效的客觀方法來評酒，如何采用一個量化的評價標(biāo)準(zhǔn)就顯得尤為重要了。本文根據(jù)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2012年A題的問題和數(shù)據(jù)，通過研究釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質(zhì)量的關(guān)系，以及葡萄酒和釀酒葡萄檢測的理化指標(biāo)之間的關(guān)系，對葡萄酒的質(zhì)量進行了客觀評價和分級。

2模型假設(shè)

（1）假設(shè)附件數(shù)據(jù)來源真實有效；

（2）假設(shè)兩組品酒員在相同環(huán)境下品酒，采用評分標(biāo)準(zhǔn)一樣；

（3）假設(shè)釀酒葡萄和葡萄酒編號一一對應(yīng)。

3符號說明

4模型建立與求解

4.1問題一的模型建立與求解

4.1.1數(shù)據(jù)預(yù)處理

在數(shù)據(jù)分析之前通常要對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，附件1包含兩組品酒員分別對紅葡萄酒和白葡萄酒的評分?jǐn)?shù)據(jù)，每組品酒員有10個，紅葡萄酒樣品有27個，白葡萄酒樣品有28個。觀察數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn)，部分?jǐn)?shù)據(jù)存在缺失和異常現(xiàn)象，我們對其正?；幚?。對于數(shù)據(jù)缺失情況，例如第一組紅葡萄酒樣品20號中品酒員4號對色調(diào)評分?jǐn)?shù)據(jù)缺失，我們采用剩余數(shù)據(jù)的均值替換法來修補缺失數(shù)據(jù)。對于數(shù)據(jù)異常情況，例如第一組白葡萄酒樣品3號中品酒員7號對持久性數(shù)據(jù)評分超過其規(guī)定最大值，我們也是采用“先舍棄后均值替換”的方法。

4.1.2評分?jǐn)?shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗

對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理后，我們對附件1中品酒員對酒樣品的評價總分進行了計算，然后得出了紅葡萄酒和白葡萄酒的得分均值，其圖像如圖1、圖2所示。

觀察圖1、圖2可以發(fā)現(xiàn)，兩組品酒員對紅葡萄酒和白葡萄酒的得分均值雖然在數(shù)值上有出入，但其變化趨勢大致一樣，為了評價兩組品酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異，我們擬采用雙正態(tài)總體t檢驗法，為此我們需要對兩組品酒員的評分?jǐn)?shù)據(jù)進行正態(tài)性檢驗。

根據(jù)其得分均值數(shù)據(jù)，我們采用MATLAB正態(tài)檢驗性的相關(guān)函數(shù)，繪制了兩組品酒員對紅葡萄酒得分均值的頻數(shù)分布和正態(tài)概率如圖3所示。

觀察圖3我們可以發(fā)現(xiàn)，兩組品酒員對紅葡萄酒得分均值頻數(shù)大致符合正態(tài)分布，而正態(tài)概率圖正說明了得分均值的概率落在直線周圍，所以我們可認(rèn)為兩組品酒員對紅葡萄的得分均值服從正態(tài)分布，我們再利用函數(shù)lillietest來檢驗是否服從正態(tài)分布，結(jié)果顯示H=0，則可以認(rèn)為是服從正態(tài)分布的。針對兩組品酒員對白葡萄酒的得分均值亦采用上述方法，結(jié)果表明其服從正態(tài)分布。

4.1.3雙正態(tài)總體t檢驗

t檢驗是一種比較成熟的檢驗方法，針對本問題，采用雙總體獨立樣本的t檢驗法，其檢驗統(tǒng)計量為：

（1）

其中S21，S22表示兩樣本方差，n1，n2表示兩樣本量。

當(dāng)樣本量n1=n2=n時，t檢驗統(tǒng)計量化簡為：

（2）

首先提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)：H0：兩組品酒員評價結(jié)果無顯著性差異，H1：兩組品酒員評價結(jié)果有顯著性差異。

計算兩組品酒員對紅葡萄酒和白葡萄酒評分均值的t統(tǒng)計量，繪制其顯著性檢驗結(jié)果如圖4所示。

觀察圖4再結(jié)合t檢驗推斷依據(jù)，在顯著性水平為0.05的情況下，t檢驗值小于t（df）0.05，所以接受原假設(shè)，即兩組品酒員評價結(jié)果無顯著性差異。接著計算得到了兩組品酒員對紅葡萄酒和白葡萄酒的平均顯著性t檢驗值分別為1.7539和1.1356，這說明品酒員對白葡萄酒評價結(jié)果的差異小于對紅葡萄酒的差異。

4.1.4哪組結(jié)果更可信

為了評價哪一組結(jié)果更可信，我們可以根據(jù)品酒員對酒樣品評價得分的方差來體現(xiàn)，方差越小，說明品酒員之間評價結(jié)果越接近，評價結(jié)果越可信。

觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，對于紅葡萄酒和白葡萄酒，第一組品酒員評分的方差均大于第二組品酒員評分的方差，綜上，我們可認(rèn)為第二組品酒員的評分?jǐn)?shù)據(jù)更可信一點。

4.2問題二的模型建立與求解

根據(jù)釀酒葡萄理化指標(biāo)和葡萄酒質(zhì)量對釀酒葡萄進行分級，也就是對釀酒 進行聚類。查閱文獻可知，K均值聚類法具有廣泛的應(yīng)用，是典型的基于原型的目標(biāo)函數(shù)聚類方法的代表，它是數(shù)據(jù)點到原型的某種距離作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)求極值的方法得到迭代運算的調(diào)整規(guī)則。限于篇幅原因，其實現(xiàn)原理和方法見參考文獻。

4.2.1根據(jù)葡萄酒質(zhì)量聚類

由問題一分析可知，兩組品酒員評價結(jié)果無顯著性差異，因此本文采用兩組品酒員評分均值來進行分析。利用K均值聚類算法對紅葡萄酒質(zhì)量進行聚類得到圖7。

圖7紅葡萄酒K均值聚類結(jié)果圖

根據(jù)分類的結(jié)果以及各葡萄樣品酒綜合得分最終將釀酒葡萄分為A（優(yōu)質(zhì)）、B（良好）、C（中等）、D（差）四個等級，客觀地反映了釀酒葡萄的理化指標(biāo)與葡萄酒質(zhì)量之間的聯(lián)系。對于紅葡萄酒的分類結(jié)果如表2所示。

4.2.2根據(jù)釀酒葡萄酒理化指標(biāo)聚類

觀察表3中釀酒葡萄的理化指標(biāo)，分為一級指標(biāo)和二級指標(biāo)，為了指標(biāo)級別的統(tǒng)一性，我們選擇一級指標(biāo)進行研究，但一級指標(biāo)仍然有9個，為此，我們采用主成分分析法（Principal Component Analysis，PCA）對指標(biāo)進行降維。主成分分析，是考察多個變量間相關(guān)性一種多元統(tǒng)計方法，研究如何通過少數(shù)幾個主成分來揭示多個變量間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，即從原始變量中導(dǎo)出少數(shù)幾個主成分，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此間互不相關(guān).通常數(shù)學(xué)上的處理就是將原來P個指標(biāo)作線性組合，作為新的綜合指標(biāo)。endprint

利用主成分分析法先對釀酒葡萄指標(biāo)進行降維，然后在利用K均值聚類法對降維結(jié)果進行聚類。以紅葡萄為例，根據(jù)PCA得分利用K均值聚類的結(jié)果如圖9所示。

與根據(jù)葡萄酒質(zhì)量的分級結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)兩者一致性較差，這在情理之中。根據(jù)不同的評判標(biāo)準(zhǔn)就會得到不同的結(jié)果，根據(jù)葡萄酒分級的目的，可能認(rèn)為根據(jù)葡萄酒評分對釀酒葡萄進行分級更合理一點。對于白葡萄酒情況類似，限于篇幅不再給出白葡萄酒的分級結(jié)果。

4.3兩組變量之間的關(guān)系

4.3.1典型相關(guān)分析

欲分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系，可以采用典型相關(guān)分析法，典型相關(guān)分析的目的識別并量化兩組變量之間的關(guān)系，將兩組變量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一組變量的線性組合與另一組變量的線性組合之間的相關(guān)關(guān)系分析，其基本思想是主成分分析。

根據(jù)附件2發(fā)現(xiàn)，釀酒葡萄的一級理化指標(biāo)有30個，葡萄酒的一級理化指標(biāo)有9個，我們采用MATLAB中的canoncorr函數(shù)分析這兩組變量之間的關(guān)系，分析結(jié)果表明，九組典型相關(guān)變量的相關(guān)系數(shù)均為1，繪制了九組典型相關(guān)變量得分如圖10所示。

由于典型相關(guān)變量太多，且其表達式較復(fù)雜，故此種方法對分析釀酒葡萄與葡萄酒理化指標(biāo)之間的聯(lián)系用處不大。

4.3.2多元線性回歸模型的建立

多元回歸分析是研究多個變量之間關(guān)系的回歸分析方法，確定變量之間數(shù)量的可能形式，并用數(shù)學(xué)模型表示如下：

（3）

其中β0為截距項，βi為偏回歸系數(shù)，ε為殘差項。

假定：

（4）

建立模型后，需要對模型進行擬合度檢驗，就是用R2檢驗樣本回歸方程的變量的線性關(guān)系是否顯著，此外可以用F檢驗對整個回歸進行顯著性檢驗，即Y與所考慮的k個自變量是否有顯著性線性關(guān)系，F(xiàn)檢驗統(tǒng)計量為：

（5）

其中ESS為回歸平方和，RSS為殘差平方和，n為樣本容量，k為自變量個數(shù)。

給定顯著性水平α=0.05，可得到臨界值Fα（k，n-k-1），由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過與F的臨界值進行比較，若FF（0.05）（k，n-k-1），則拒絕原假設(shè)，即參數(shù)βi不全為0，認(rèn)為回歸方程在0.05水平上顯著。

為了便于分析，我們將附件2中的一級指標(biāo)進行編號，釀酒葡萄的一級指標(biāo)從氨基酸總量、蛋白質(zhì)、VC 含量直到b*（+黃；-藍）分別命名為x1，x2，x3，…xn，葡萄酒的一級指標(biāo)從花色苷、單寧、總酚直到b*分別命名為y1，y2，y3，…，yn。建立葡萄酒理化指標(biāo)y與釀酒葡萄理化指標(biāo)x之間的關(guān)系，由于釀酒葡萄一級指標(biāo)多達30個，為此，需要對釀酒葡萄一級指標(biāo)進行降維，選擇主要的指標(biāo)進行分析。以花色苷為例，針對葡萄酒的其他理化指標(biāo)的分析與之類似。建立釀酒葡萄與花色苷之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，選擇相關(guān)系數(shù)絕對值大于均值的變量。其相關(guān)系數(shù)矩陣如表5所示。其中X表示將該變量舍去。

根據(jù)R2的大小，可判斷出多元線性回歸方程的契合度，結(jié)果顯示，在置信度95%下，R2=0.98，可知方程的吻合性非常好。且F=19.4>F（0.95，19，7）=3.46，與顯著性概率0.05相關(guān)的p=0.00027<005，這說明回歸方程中的每個自變量的選取都是有意義的。最后得到葡萄酒花色苷與釀酒葡萄一級理化指標(biāo)的多元線性回歸方程為：

y=β0+β1x2+β2x4+β3x6+…+β19x28+β20x29（6）

其中x2、x4、x4、x28、x29、y分別代表蛋白質(zhì)、釀酒葡萄花色苷、蘋果酸、L*、a*、葡萄酒花色苷。

參考文獻

[1]全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽官網(wǎng)，2012年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽題[EB/OL].http：//www.mcm.edu.cn/problem/2012/2012.html.

[2]百度百科，t檢驗定義[EB/OL].https：//baike.baidu.com/item/t%E6%A3%80%E9%AA%8C/9910799？fr=aladdin.

[3]百度百科，K均值聚類[EB/OL].https：//baike.baidu.com/item/K-means/4934806？fr=aladdin.

[4]朱建平.應(yīng)用多元統(tǒng)計分析[M].第3版.北京：科學(xué)出版社，2016.

[5]百度百科，主成分分析法[EB/OL].https：//baike.baidu.com/item/%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90/829840？fr=aladdin.endprint