鞏子坤 滕林林 陳冬冬 殷文娣

摘 要：第13屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-13）把概率教與學(xué)作為重要議題之一.從ICME-13的文獻(xiàn)與報告中可以發(fā)現(xiàn)，高中教師對事件獨立性的理解存在一定誤區(qū)；初中學(xué)生對隨機(jī)概念和樣本空間等知識的理解還不夠透徹；大多數(shù)高中學(xué)生喜歡借助樹狀圖和列表來解題.因此，教師必須不斷學(xué)習(xí)，提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)知識水平和教育教學(xué)水平.學(xué)生不僅要善于用文字語言、圖像語言和符號語言對概率知識進(jìn)行表征，而且要善于對概念、公式進(jìn)行比較、歸納和概括，形成清晰的網(wǎng)絡(luò)圖示或知識網(wǎng)絡(luò).

關(guān)鍵詞：ICME；中學(xué)概率教與學(xué)；概念理解

概率的教與學(xué)是當(dāng)前我國數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容之一.2016年第13屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-13）在德國漢堡召開，“概率統(tǒng)計的教與學(xué)”是其中的一個專題.可以說，這是國際數(shù)學(xué)教育最高水平的會議.國際數(shù)學(xué)教育的同人研究了哪些中學(xué)概率統(tǒng)計的教學(xué)問題？有哪些新的進(jìn)展？這些進(jìn)展對我國概率的教與學(xué)有哪些啟示？基于ICME-13會議中關(guān)于概率教與學(xué)的文獻(xiàn)與報告，進(jìn)行綜述與分析，以期為我國中學(xué)概率統(tǒng)計的教學(xué)提供借鑒.

一、研究主題明確 聚焦教師理解

在概率和統(tǒng)計中，獨立性是非?；A(chǔ)的概念.各國的學(xué)校課程中也都包含獨立事件.美國俄克拉荷馬州立大學(xué)的Adam Molnar做了一項教師關(guān)于獨立性理解現(xiàn)狀的研究[1].來自美國的賓夕法尼亞州、格魯吉亞州和南卡羅來納州的25名高中數(shù)學(xué)教師參與這項研究.其中具有教育碩士及以上學(xué)位的有19人，概率教學(xué)經(jīng)驗豐富的有7人.參與的教師需要回答9個任務(wù)型的問題，例如：從2500人中隨機(jī)選擇一名，請問事件“他是一個大學(xué)畢業(yè)生”與事件“他是從互聯(lián)網(wǎng)上獲得新聞的”是否獨立？為什么？

該問題可以用獨立事件的乘法定義或條件定義來解決，也就是說，如果事件A和事件B同時發(fā)生的概率等于各自發(fā)生的概率的乘積，則事件A和事件B是獨立的.假設(shè)事件C為抽到的人是大學(xué)畢業(yè)生、事件N為他是從互聯(lián)網(wǎng)上獲得新聞的，可通過計算[PC×PN=P（CN）]是否成立來判斷兩個事件是否獨立.左邊=[6932500×6872500=0.076]，[右邊=2452500=0.098]，因為0.076≠0.098，即左邊[≠]右邊.所以事件C和事件N是相互依賴的，兩者并不獨立.

實驗數(shù)據(jù)顯示，在25名美國高中數(shù)學(xué)教師中，只有3人給出正確答案.在訪談過程中，有8名教師提到學(xué)生也經(jīng)常會誤解事件的獨立性；2名教師對獨立事件和互斥事件之間的關(guān)系比較模糊；部分教師表示對概率詞匯存在高誤解率，是因為美國當(dāng)前數(shù)學(xué)課程對概率知識還不夠重視.根據(jù)研究結(jié)果，可以推斷，較多美國高中數(shù)學(xué)教師對事件獨立性的理解存在誤區(qū).

二、交流范圍寬廣 重視學(xué)生認(rèn)知

除了討論教師對概率知識的理解情況外，ICME-13大會的概率組對中學(xué)生對概率問題的理解和解題情況也進(jìn)行了研究.

（一）初中生對隨機(jī)發(fā)生器的理解

印度德里大學(xué)教育學(xué)院的Haneet通過一項對稱多面體的實驗，來了解初中生對隨機(jī)發(fā)生器的看法，從而來研究其對事件隨機(jī)性的理解[2].Haneet在印度德里私立學(xué)校的八年級學(xué)生（年齡在13～14歲）中找了8名，隨機(jī)分成兩組，每組4名.按照印度的常規(guī)課程，被測的學(xué)生已經(jīng)學(xué)過古典概型和幾何課程.

首先，為每組學(xué)生提供八個多面體（正四面體，立方體，正八面體，正二十面體，正四棱錐，正六棱錐，正三棱柱和正六棱柱）.接著，在學(xué)生小組討論后，決定選擇哪個多面體作為游戲里的“骰子”.最后，詢問他們選擇的原因.研究方法采用的是視頻錄制和訪談.

實驗結(jié)果初步顯示，兩組學(xué)生分別選擇正八面體和正二十面體作為骰子.訪談數(shù)據(jù)集中反映了以下4個方面：

（1）兩個組用于選擇的最重要的條件是多面體樣本空間的大小.兩組確保它們各自選的多面體與立方體相比具有更大的樣本空間，即更多的面；

（2）從多面體的形狀上來看，拿來當(dāng)骰子的物品是完全對稱的，從而確保游戲的公平（物理對稱性）；

（3）學(xué)生存在等可能性偏差的問題.也就是說，學(xué)生認(rèn)為在有限次的投擲中，每個數(shù)字至少出現(xiàn)一次；

（4）學(xué)生存在與“樣本空間的窮盡”相關(guān)的誤解.例如，學(xué)生認(rèn)為對正八面體來說，不管怎么投擲，扔八次中每個數(shù)字都會出現(xiàn)一次.

顯然，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為事件的概率和比例相關(guān).受之前學(xué)習(xí)過的古典概型的影響，學(xué)生會先列舉樣本空間，然后計算期望的事件和樣本空間大小之間的比，即事件的概率.因此，學(xué)生自然而然地去選擇較大的樣本空間，同時考慮到游戲的公平性，選擇的多面體都應(yīng)具有對稱性的.由于正八面體和正二十面體都符合古典概型的定義，兩組人都認(rèn)為他們的模型中每個面出現(xiàn)的概率都是相等的.但是從實驗中不難發(fā)現(xiàn)，初中生對隨機(jī)事件的概率概念和樣本空間的適用條件等仍存在一定的誤解.

（二）高三學(xué)生對復(fù)合隨機(jī)實驗的理解

高中學(xué)生如何通過推理找到復(fù)合隨機(jī)實驗的樣本空間？教學(xué)前后學(xué)生會用什么方法計算復(fù)合事件的概率？學(xué)生在解決這些問題時可能會遇到哪些困難？為了回答上述問題，墨西哥的Pedro Landín-Vargas等人對一所公立學(xué)校的28名高三學(xué)生進(jìn)行調(diào)查研究.在測試之前，研究人員設(shè)計了一門含有階段測試的概率課程.而后測采用的是高三學(xué)生數(shù)學(xué)課程中的概率知識（二項分布和正態(tài)分布）.

測試的問題如下所示.問題1涉及兩步驟的隨機(jī)實驗，而問題2則由三步驟的隨機(jī)實驗組成.

問題1.一對夫婦計劃生兩個孩子.假設(shè)生男孩或女孩的可能性相同，并且任何一個的性別不影響另一個的性別.

a.記下兩個孩子性別的所有組合.

b.假設(shè)問題a中列出的結(jié)果同樣可能，兩個女孩出生的概率是多少？

c.每種性別的孩子的概率是多少？

問題2.向空中擲了1美元硬幣、2美元硬幣和5美元硬幣.

a.寫出在空中拋擲三個硬幣的所有結(jié)果.

b.拋擲三個硬幣，結(jié)果一個反面都沒有的概率是多少？

c.拋擲三個硬幣，結(jié)果有一個反面的概率是多少？

d.拋擲三個硬幣，結(jié)果有兩個反面的概率是多少？

e.拋擲三個硬幣，結(jié)果三個都是反面的概率是多少？

基于SOLO分類法的五個層次，Pedro Landín-Vargas等研究人員根據(jù)高中生在解決概率問題的表現(xiàn)，完善了概率層次推理模型，補充了處于不同概率推理水平的具體表現(xiàn)特點，具體如表1所示[3].

根據(jù)實驗的前測和后測得分，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

（1）在前測中，近一半的學(xué)生使用樣本空間的概念；在后測中，大約有60%的學(xué)生使用這種概念.

（2）在前測中，71%的學(xué)生處于主觀或過渡水平，只有29%的學(xué)生處于不規(guī)則的量化或數(shù)值水平；在后測中，43%的學(xué)生處于主觀或過渡水平，而有54%的學(xué)生達(dá)到不規(guī)則的量化或數(shù)值水平.

（3）近60%的學(xué)生用拉普拉斯的概率定義來計算概率的值，另外三分之一的學(xué)生用加法或乘法法則來計算概率.

（4）從解題步驟來看，前測中有43%的學(xué)生通過列表法和枚舉法來構(gòu)建樣本空間并計算概率；后測中有43%的學(xué)生使用樹狀圖來計算概率（29%通過概率的加法或乘法法則，11%通過拉普拉斯的概率定義，剩余的3%用了其他策略）.

此外，在Lydia和Makonye等人的研究中，大約90%的學(xué)生能利用樹狀圖正確求解問題，85%的學(xué)生通過列表求解，約50%的學(xué)生用列聯(lián)表（Contingency tables），還有的學(xué)生通過維恩圖和雙向表來幫助理解問題和求解[4]. 多個研究數(shù)據(jù)均表明，學(xué)生最常用的輔助方式是列表和樹狀圖，約21%的學(xué)生能用代數(shù)符號來表示隨機(jī)變量，從而進(jìn)行解題.對高三學(xué)生來說，很少有學(xué)生能夠理解并通過代數(shù)符號表示隨機(jī)變量，從而來解決概率問題.

三、小結(jié)與展望

通過上述ICME-13的相關(guān)論文，可以發(fā)現(xiàn)美國大多數(shù)教師對事件獨立性的理解有所欠缺，自身的數(shù)學(xué)專業(yè)知識還需要加強；大多數(shù)學(xué)生可以利用不同的表征方式來列舉概率問題的結(jié)果，并且學(xué)生也表現(xiàn)出對隨機(jī)序列中連續(xù)事件的獨立性也有很好的理解.但是在研究中也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對隨機(jī)概念和樣本空間枚舉存在一定的誤解.同時，學(xué)生在解決概率問題時的抽象水平還不夠高，大部分學(xué)生處于概率層次推理模型中的主觀或過渡水平.

教師對事件獨立性的誤解會影響其教學(xué).為了能勝任新世紀(jì)的教育教學(xué)工作，教師必須不斷學(xué)習(xí)，提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)知識水平和教育教學(xué)水平.同時，對高等師范院校而言，高等師范院校在概率統(tǒng)計的教學(xué)中應(yīng)有針對性地結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的具體情況加強教學(xué)，以免造成師范生所學(xué)與中學(xué)教學(xué)實踐的嚴(yán)重脫節(jié).另外，希望教師們注意自己平時上課的表述，以更恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式幫助學(xué)生理解概率問題.

對于學(xué)生的學(xué)，一方面，概率內(nèi)容的直觀性決定學(xué)生對概念、公式的理解需要從不同角度、不同方式進(jìn)行多元表征，用多種數(shù)學(xué)語言表達(dá)同一個概念和公式，突出概念、公式的本質(zhì)屬性；另一方面，概率中的概念和公式眾多、零散，并且多數(shù)概念表面上差異不明顯，容易混淆.這就要求學(xué)生不僅要善于用文字語言、圖像語言和符號語言對概率知識進(jìn)行表征，而且要善于對概念、公式進(jìn)行比較、歸納和概括，從而形成清晰的網(wǎng)絡(luò)圖示或知識網(wǎng)絡(luò).

參考文獻(xiàn)：

[1]MOLNAR A. High school mathematics teachers understanding of independent events[C].Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.

[2]GANDHI H. Understanding children conception of randomness through explorations with symmetrical polyhedrons[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.

[3]LANDIN-VARGAS P， SALINAS J. Probability reasoning of high school students on sample space and probability of compound events[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.

[4]MUTARA L， MAKONYE J. Learnersuse of probability models in answering probability tasks in South Africa[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.