袁 哲 張一鳴 鄭起佳

(北京工業(yè)大學,北京 100124)

1 引言

大地可等效為線性時不變系統(tǒng)，因此其電磁沖激響應(yīng)理論上包含全部地電信息。在人工源電磁探測中，通過觀測人工場源激勵下的大地電磁響應(yīng)信號，構(gòu)造大地系統(tǒng)的輸入、輸出模型，可實現(xiàn)大地電磁沖激響應(yīng)的辨識，即大地的“全系統(tǒng)觀測”。

從系統(tǒng)辨識的角度看，發(fā)射源作為辨識過程的輸入信號，應(yīng)保證能夠持續(xù)激勵被辨識系統(tǒng)的所有模態(tài)，即激勵源帶寬相對于觀測系統(tǒng)帶寬要足夠大，才能保證辨識的質(zhì)量與精度。m序列具有頻帶寬、譜密度高、白噪聲特性好的優(yōu)點，可以滿足以上要求，成為人工源電磁探測領(lǐng)域中的研究熱點。

Quincy等[1]首次將m序列應(yīng)用到瞬變電磁法中； 之后Duncan等[2]采用長線源進行m序列編碼發(fā)射，對埋深為500m的目標體進行了探測； Wright等[3]將m序列應(yīng)用到多道瞬變電磁法，并采用擬地震方法對資料進行解釋； Ziolkowski等[4,5]先后在陸地及海洋成功地實施了MTEM驗證試驗； 趙碧如等[6]研制了基于偽隨機碼發(fā)射源的PS100型激電法電測儀系統(tǒng)，并開展了野外實測； 王忠仁等[7]利用三元偽隨機序列進行可控震源信號編碼設(shè)計，抑制了響應(yīng)剖面中的相干噪聲； 湯井田等[8]完成了基于逆重復(fù)m序列偽隨機電磁法的相關(guān)研究，討論了編碼電磁測深原理及參數(shù)提取方法； 王顯祥等[9]通過數(shù)值模擬分析了m序列激勵源對高阻體的探測效果。

在m序列的抗噪性能方面，Helwig等[10]使用m序列替代階躍信號作為長偏移距瞬變電磁測深法(LOTEM)的激勵源，取得了明顯的信噪比增益；羅維斌等[11]采用逆重復(fù)m序列作為激勵源，通過收—發(fā)相關(guān)運算實現(xiàn)地電斷面的精細探測，研究結(jié)果表明采用逆重復(fù)m序列作為激勵源可極大地壓制干擾； Ziolkowski[12]通過相關(guān)運算分離并評估響應(yīng)信號中的估計噪聲與環(huán)境噪聲，實現(xiàn)對辨識效果的量化評估； Ilyichev等[13]從數(shù)值模擬和野外試驗兩方面研究了m序列的抗噪能力，研究表明m序列的抗噪能力相對于傳統(tǒng)方法可使信噪比提高100倍左右。

在m序列編碼參數(shù)優(yōu)選方面，由于m序列具備多個編碼參數(shù)，編碼參數(shù)的不同組合直接影響其抗噪性能。前人總結(jié)了部分參數(shù)的抗噪規(guī)律，Ziol-kowski[14]指出提高m序列階數(shù)能夠改善大地電磁沖激響應(yīng)的辨識精度； 武欣等[15]提出一種改進的大地沖激響應(yīng)的數(shù)學方法，同時對以m序列為發(fā)射波形的勘探系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)選擇進行了分析； 王顯祥等[16]指出編碼參數(shù)應(yīng)結(jié)合環(huán)境噪聲進行調(diào)整。但目前仍無法定量評估不同編碼參數(shù)m序列的抗噪性能，相應(yīng)的優(yōu)選方案尚待研究。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，基于多道瞬變電磁法的工作原理，首先回顧了大地電磁沖激響應(yīng)的辨識方法，并分析m序列的頻譜特征； 隨后對比了不同編碼參數(shù)m序列的辨識效果，通過將辨識過程等效為辨識系統(tǒng)，分析特定頻點處的辨識系統(tǒng)頻響特性，實現(xiàn)不同編碼參數(shù)m序列抗噪性能的定量評估； 在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)值模擬分析各編碼參數(shù)對抗噪性能的影響，進而給出m序列編碼參數(shù)的優(yōu)選方案； 最后野外試驗數(shù)據(jù)處理結(jié)果驗證了本文所述編碼參數(shù)優(yōu)選方案的可行性。

2 大地電磁沖激響應(yīng)辨識

大地電磁沖激響應(yīng)的辨識采用類地震的方法[17,18]，工作原理見圖1。該系統(tǒng)通過發(fā)射電極A、B發(fā)送m序列編碼電流信號對大地進行激勵，作為大地系統(tǒng)的輸入信號。在發(fā)射電極軸向延長線上布置接收陣列，同步觀測大地遠端的時變響應(yīng)電壓，作為大地系統(tǒng)的輸出信號，將大地等效為線性時不變系統(tǒng),其輸出信號(圖1)可表示為

r(t)=g(t)*s(t)+u(t)

(1)

式中：r(t)為接收到的遠端響應(yīng)電壓信號；g(t)為待辨識的大地電磁沖激響應(yīng)；s(t)為發(fā)射電流信號；u(t)為噪聲信號，包含人文噪聲和隨機噪聲。

圖1 大地電磁沖激響應(yīng)辨識原理

圖2 大地褶積模型

利用反褶積可從發(fā)射電流s(t)與響應(yīng)電壓r(t)中恢復(fù)大地電磁沖激響應(yīng)，即構(gòu)建一反算子b(t)，使其滿足

b(t)*s(t)=δ(t)

(2)

式中δ(t)為單位沖激信號。反算子b(t)可通過維納反褶積求取，其推導(dǎo)過程見附錄A。

式(1)兩邊同時褶積b(t)， 可實現(xiàn)大地沖激響應(yīng)的辨識

r(t)*b(t) =g(t)*s(t)*b(t)+u(t)*b(t)

=g(t)+u(t)*b(t)

(3)

顯然式(3)所述辨識結(jié)果包含噪聲分量u(t)*b(t)。定義辨識信噪比Ridt以表征辨識精度

(4)

將大地等效為時不變系統(tǒng)，即g(t)恒穩(wěn)不變。為獲得較高的辨識信噪比，應(yīng)保證式(4)的分母u(t)*b(t)盡可能地小，即辨識過程應(yīng)具備較強的噪聲壓制能力。

3 m序列

一個序列如果既可以被預(yù)先確定、重復(fù)和復(fù)制，又具有白噪聲序列所具有的統(tǒng)計特性，那么稱這種序列為偽隨機序列。m序列是最長線性反饋移位寄存器序列的簡稱，其實現(xiàn)簡單、理論成熟，是一種應(yīng)用廣泛的偽隨機序列[19]。

圖3 5階m序列編碼示意圖

圖4 5階m序列頻譜

4 不同編碼參數(shù)m序列的辨識效果

產(chǎn)生一組m序列需要確定四個編碼參數(shù)：本原多項式、初始狀態(tài)、階數(shù)以及碼元頻率。由于本原多項式與初始狀態(tài)不會改變m序列的頻譜特性，因此進行大地電磁沖激響應(yīng)的辨識時，一般只調(diào)整m序列的階數(shù)以及碼元頻率。

為了研究不同編碼參數(shù)下大地電磁沖激響應(yīng)的辨識效果，以均勻半空間模型為例進行說明。電阻率為ρ的均勻半空間的軸向響應(yīng)電場E(t)可通過下式求取[21]

(5)

(6)

結(jié)合式(1)可得到均勻半空間的遠端響應(yīng)電壓信號r(t)，在此基礎(chǔ)上可利用式(3)求得均勻半空間電磁沖激響應(yīng)的辨識解。為與解析解區(qū)分，用gi(t)表示辨識解。顯然，辨識解與解析解的吻合程度正比于辨識精度，因此可用辨識誤差率Rerr表征這種吻合程度

(7)

通過繪制辨識誤差率曲線，可分析大地電磁沖激響應(yīng)的辨識解在各時段與解析解的吻合程度。

4.1 無噪聲環(huán)境下不同編碼參數(shù)m序列的辨識效果

首先考慮無噪聲環(huán)境下不同的編碼參數(shù)組合對大地電磁沖激響應(yīng)辨識的影響，均勻半空間模型參數(shù)見表1。

隨機選用三組不同編碼參數(shù)的單周期m序列對上述模型的電磁沖激響應(yīng)進行辨識，編碼參數(shù)見表2。

表1 均勻半空間模型計算參數(shù)

表2 三組編碼參數(shù)

圖5為三組編碼參數(shù)下的發(fā)射電流波形以及響應(yīng)電壓波形。其中圖5a～圖5c為對應(yīng)的三組發(fā)射電流波形，其時間長度隨著階數(shù)與碼元頻率的不同組合而變化； 圖5d～圖5f為對應(yīng)的三組響應(yīng)電壓波形。

圖6a為三組收發(fā)波形對應(yīng)的電磁沖激響應(yīng)辨識結(jié)果，可以看出在無噪聲環(huán)境下，使用不同編碼參數(shù)m序列得到的電磁沖激響應(yīng)辨識解均能與解析解很好地吻合。圖6b表明三組辨識解的辨識誤差率均小于2%，早期趨勢的辨識誤差率均穩(wěn)定在1%以內(nèi)，即在無噪聲環(huán)境下使用不同編碼參數(shù)的m序列作為激勵源均能取得較好的辨識效果。

圖5 無噪聲環(huán)境下三組編碼參數(shù)對應(yīng)的收/發(fā)波形 (a)第一組編碼發(fā)射電流波形； (b)第二組編碼發(fā)射電流波形； (c)第三組編碼發(fā)射電流波形(0～0.1s和4.0～4.1s波形放大顯示)； (d)第 一組編碼的響應(yīng)電壓波形； (e)第二組編碼的響應(yīng)電壓波形； (f)第三組編碼的響應(yīng)電壓波形(0～0.1s和4.0～4.1s波形放大顯示)

4.2 噪聲環(huán)境下不同編碼參數(shù)m序列的辨識效果

考慮含噪聲環(huán)境，沿用表1和表2的各項參數(shù)，并在響應(yīng)電壓信號中引入振幅為5mV的50Hz干擾信號，圖7為該噪聲環(huán)境下三組編碼參數(shù)對應(yīng)的接收波形。

圖8a為噪聲環(huán)境下，三組m序列對應(yīng)的電磁脈沖響應(yīng)辨識解，其中第三組的辨識解與解析解較吻合，另外兩組則能觀察到明顯的50Hz噪聲擾動。圖8b表明第三組的辨識誤差率控制在1%以內(nèi)，而另外兩組的辨識誤差率較大，第一組在晚期甚至超過15%?？梢娫谠肼暛h(huán)境下，不同編碼參數(shù)的m序列具有不同的抗噪性能。因此，編碼參數(shù)的優(yōu)化選擇成為大地電磁沖激響應(yīng)高精度辨識的重要環(huán)節(jié)。為此需要深入研究m序列的抗噪機制，對不同編碼參數(shù)m序列的抗噪性能進行定量評估，進而給出m序列編碼參數(shù)的優(yōu)選方案。

圖6 無噪聲環(huán)境下三組編碼參數(shù)對應(yīng)的辨識結(jié)果(a)及辨識誤差率(b)

圖7 噪聲環(huán)境下三組編碼參數(shù)對應(yīng)的響應(yīng)電壓波形 (a)第一組編碼； (b)第二組編碼； (c)第三組編碼(0～0.1s和4.0～4.1s波形放大顯示)

圖8 噪聲環(huán)境下三組編碼參數(shù)對應(yīng)的辨識結(jié)果(a)及辨識誤差率(b)

5 辨識系統(tǒng)

工程中通常使用兩種數(shù)學模型表征一個系統(tǒng)：沖激響應(yīng)與頻率響應(yīng)。二者可在時間—頻率域中相互轉(zhuǎn)換。對應(yīng)不同的數(shù)學模型，系統(tǒng)的輸出可表示為輸入信號與沖激響應(yīng)的時域卷積或與頻率響應(yīng)的頻域之乘積。式(3)表明辨識過程的本質(zhì)是構(gòu)建一辨識系統(tǒng)。反算子b(t)為該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，具體可分為兩部分：包含大地電磁沖激響應(yīng)的有用信號分量

以及噪聲分量

噪聲u(t)中包含隨機噪聲與人文噪聲，后者主要是指人文活動帶來的電磁干擾，例如電力傳輸線引入的工頻干擾，這些噪聲一般包含特定的頻點，例如50Hz基頻及其奇次諧頻。與隨機噪聲相比，人文噪聲干擾強度大，頻點分布集中，是主要干擾源。因此，通過分析辨識系統(tǒng)在噪聲頻點處的頻響特性B(ω)，能夠?qū)崿F(xiàn)辨識過程抗噪性能的定量評估，其中ω為角頻率。B(ω)可由b(t)通過傅里葉變換得到。由于噪聲分量一般只考慮幅值壓制，而不考慮相位畸變，因此需重點關(guān)注辨識系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|B(ω)|。

6 數(shù)值模擬

6.1 階數(shù)

沿用表1均勻半空間模型，分別使用4～12階m序列作為激勵源，碼元頻率均為2kbps，噪聲環(huán)境為幅值5mV的50Hz干擾。圖11為各階辨識系統(tǒng)在0～6000Hz以及40～60Hz頻帶的幅頻響應(yīng)。

從圖11a可以看出各階辨識系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)在整個頻帶范圍內(nèi)均有較大的衰減值(均大于60dB)，保證了辨識過程對噪聲的基本壓制作用；各階辨識系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)在2000、4000、6000Hz頻點附近有明顯上升，并在這些頻點取得極大值，表明辨識系統(tǒng)對碼元頻率及其諧頻處噪聲的壓制能力較弱。為論述方便，稱此類頻點為敏感頻點，該類頻點會導(dǎo)致辨識解中出現(xiàn)同頻干擾(在后文將有詳細論述)。此外，圖11a中各幅頻響應(yīng)存在明顯的分層現(xiàn)象，即各幅頻響應(yīng)的衰減值隨著階數(shù)增加而增加，因此使用高階m序列能夠獲得更好的噪聲壓制效果。

圖11b為40～60Hz頻帶內(nèi)的頻響特性。以50Hz工頻干擾頻點為例，每提高一階噪聲衰減可增加5～10dB(圖12a)。下面以4、8、12階m序列對應(yīng)的辨識解進行說明。由圖12b可見，使用12階m序列得到的辨識解與解析解吻合度最高，使用4階m序列得到的辨識解失真最嚴重。由圖12c可見，使用4階m序列的辨識誤差率超過了10%，8階m序列對應(yīng)誤差率有所降低，12階m序列對應(yīng)的辨識誤差率最低(1%以內(nèi))，具有較高的辨識精度。另外，4、8階對應(yīng)的辨識誤差曲線中存在明顯的高頻擾動，這是前文在圖11a中提及的敏感頻點所致。使用式(4)計算各階辨識信噪比，結(jié)果見圖12d，可以看出每增加1階可以帶來2～7dB的辨識信噪比增益。

6.2 碼元頻率

據(jù)趨膚深度公式，發(fā)射源的頻點分布與探測深度總體呈“高頻測淺，低頻測深”的關(guān)系[22]。圖13a為傳統(tǒng)方波激勵源在1000Hz和1500Hz發(fā)射頻率下的頻譜圖，可見方波激勵源僅包含基頻和奇次諧頻，單頻發(fā)射時頻點集中，探測深度直接受限于發(fā)射頻率，因此通常需要進行掃頻發(fā)射(例如CSAMT)。與方波激勵源不同，m序列激勵源的頻帶較寬，頻點豐富。圖13b為碼元頻率分別取1500bps和2000bps時m序列的頻譜圖，可見碼元頻率的增加只會導(dǎo)致譜能量的轉(zhuǎn)移(從低頻段轉(zhuǎn)移至高頻段)，而不會改變頻點分布。因此對于m序列激勵源，碼元頻率受趨膚深度影響較小，因此在野外施工時只能確定碼元頻率的大概區(qū)間，具有一定的“盲目性”與“試探性”。本文從辨識系統(tǒng)的角度對不同碼元頻率的辨識效果進行分析，繼而得出碼元頻率的優(yōu)選方案。

圖11 各階辨識系統(tǒng)的幅頻響應(yīng) (a)0～6000Hz； (b)40～60Hz

圖12 不同階數(shù)m序列的辨識效果 (a)4～12階辨識系統(tǒng)在50Hz處的頻響衰減值； (b)4、8、12階m序列所對應(yīng)的大地電磁沖激響應(yīng)辨識解； (c)4、8、12階m序列所對應(yīng)的辨識誤差率曲線； (d)4～12階m序列對應(yīng)的辨識信噪比

沿用上節(jié)模型，采樣率改為14322Hz，采用10階m序列作為發(fā)射源，分別以六組碼元頻率進行編碼： 256、512、1024、1792、3584、7168bps。圖14為六組碼元頻率對應(yīng)的辨識系統(tǒng)在0～7166Hz以及40～60Hz頻帶的幅頻響應(yīng)。類似于圖11，每組幅頻響應(yīng)均在碼元頻率及其諧頻處取得極大值，從而導(dǎo)致辨識解中存在高頻干擾(圖15c)。很顯然較低的碼元頻率具有更多的敏感頻點，增加了后期濾除高頻干擾的難度。另一方面，隨著碼元頻率的增加，辨識系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的衰減值逐漸降低。以50Hz頻點為例，碼元頻率每增加512bps，相應(yīng)的辨識系統(tǒng)幅頻響應(yīng)衰減值降低8～10dB(圖15a)，說明增加碼元頻率會削弱辨識過程的噪聲壓制能力。

圖15b和圖15c為碼元頻率分別為512、1024、1792bps時對應(yīng)的辨識解及辨識誤差率，可以看出隨著碼元頻率的降低，辨識解與解析解的吻合度逐漸增加。當碼元頻率為1792bps時，辨識誤差率在后期超過了5%；當碼元頻率為1024bps時，辨識誤差率有所改善；當碼元頻率降低到512bps時，辨識誤差率最低(1%以內(nèi))。與圖12c類似，在各誤差率曲線中也能觀察到與碼元頻率同頻的擾動(圖15c)。使用式(4)計算各碼元頻率對應(yīng)的辨識信噪比(圖15d)，可以看出碼元頻率每降低512bps可帶來3～7dB的辨識信噪比增益。

圖13 方波與m序列在不同編碼頻率下的頻譜 (a)方波； (b)m序列

圖14 各碼元頻率對應(yīng)辨識系統(tǒng)的幅頻響應(yīng) (a)0～7166Hz； (b)40～60Hz

圖15 不同碼元頻率m序列的辨識效果 (a)各碼元頻率對應(yīng)辨識系統(tǒng)在50Hz的頻響衰減值； (b)各碼元頻率對應(yīng)的辨識解； (c)各碼元頻率對應(yīng)的辨識誤差率曲線； (d)各碼元頻率對應(yīng)的辨識信噪比

7 驗證試驗

為驗證數(shù)值模擬結(jié)果，在中國內(nèi)蒙古自治區(qū)興和縣曹四夭鉬礦進行了試驗。收—發(fā)裝置如圖16所示，其中供電電流為15A，發(fā)射電極間距為300m，接收電極間距為60m，選用960m和660m兩種收—發(fā)偏移距。

本次試驗使用了多種編碼參數(shù)組合，包含4種階數(shù)，分別是6、8、10、12階，以及4種碼元頻率，分別是256、512、1024、1792bps。由于野外試驗中大地電磁沖激響應(yīng)的解析解是未知的，因此無法使用式(4)計算辨識信噪比。為定量分析現(xiàn)場試驗中不同編碼參數(shù)的辨識精度，重新定義現(xiàn)場試驗辨識信噪比

(8)

式中：gori(t)為通過原始數(shù)據(jù)得到的大地電磁沖激響應(yīng)辨識解；gsmo(t)為gori(t)的平滑結(jié)果。顯然Pidt與gori(t)的光滑程度成正比，即當gori(t)中含有的噪聲分量越少，gori(t)與gsmo(t)吻合度越高，Pidt的值越大。

圖17為660m收發(fā)距時，分別使用6、8、10、12階m序列，以1024bps碼元頻率進行發(fā)射得到的大地電磁沖激響應(yīng)辨識解。圖中初始時刻的瞬變脈沖為空氣波。很明顯，隨著階數(shù)的增加，原始辨識解曲線的平滑度逐漸增強，并逼近擬合曲線。用式(8)分別計算4種階數(shù)的現(xiàn)場試驗辨識信噪比，并與數(shù)值模擬結(jié)果進行比較(圖18)，可見使用高階m序列能獲得更高的辨識精度，驗證了6.1節(jié)所述結(jié)論。

圖16 現(xiàn)場試驗收—發(fā)裝置布設(shè)示意圖

圖17 660m收發(fā)距時不同階數(shù)m序列的辨識結(jié)果 (a)6階； (b)8階； (c)10階； (d)12階

類似地，對于960m收發(fā)距、使用10階m序列分別以256、512、1024、1792bps碼元頻率進行編碼發(fā)射，對應(yīng)的大地電磁沖激響應(yīng)辨識解見圖19?？梢婋S著碼元頻率的降低，原始辨識解曲線的平滑度逐漸增加，并逼近擬合結(jié)果。

用式(8)計算4種碼元頻率的現(xiàn)場試驗辨識信噪比，并與數(shù)值模擬結(jié)果進行比較(圖20)，可見使用較低的碼元頻率能夠獲得更高的辨識精度，驗證了6.2節(jié)所述結(jié)論。

圖18 660m收發(fā)距時不同階數(shù)對應(yīng)的辨識信噪比

8 討論

多個編碼參數(shù)使得m序列具有靈活多變的編碼組合，不同編碼組合的m序列在無噪聲環(huán)境下均能取得較高的辨識精度；當存在噪聲干擾時，不同的編碼組合體現(xiàn)出不同的抗噪性能。因此編碼參數(shù)的優(yōu)化選擇成為大地電磁沖激響應(yīng)高精度辨識的關(guān)鍵，為此需要深入研究m序列的抗噪機制，對不同編碼參數(shù)m序列的抗噪性能進行定量評估。

關(guān)于階數(shù)，高階m序列具備更強的噪聲壓制性能，可提高大地電磁沖激響應(yīng)辨識精度。數(shù)值模擬與驗證試驗表明，相同碼元頻率下，每增加一階，可以帶來2～7dB的辨識信噪比增益，但是提高階數(shù)的同時會增加發(fā)射的時間成本。

關(guān)于碼元頻率，傳統(tǒng)的選擇方法只能確定碼元頻率的大概區(qū)間，具有一定的“盲目性”和“試探性”。通過引入辨識系統(tǒng)的概念，能夠?qū)Σ煌a元頻率的辨識效果進行分析，繼而得出碼元頻率的優(yōu)選方案。辨識系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)在碼元頻率及其諧頻處取得峰值，即在上述敏感頻點處的噪聲壓制能力最弱，這也是使用高碼元頻率辨識出的大地電磁沖激響應(yīng)存在高頻擾動的原因。另一方面，這些敏感頻點為辨識過程埋下了隱患：若工區(qū)有集中分布在敏感頻點的干擾源，那么相對其他頻點，辨識過程實際上放大了這些干擾，導(dǎo)致辨識精度大幅下降。另外，辨識系統(tǒng)在敏感頻點以外的幅頻響應(yīng)衰減值隨著碼元頻率的降低逐漸提高，因此在滿足趨膚深度的基礎(chǔ)上選用較低的碼元頻率能夠取得較高的辨識精度。

9 結(jié)束語

(1)進行大地電磁沖激響應(yīng)辨識時，在滿足趨膚深度的基礎(chǔ)上，應(yīng)盡量選用高階低碼元頻率的m序列作為激勵源。

(2)由于辨識過程會放大碼元頻率及其諧頻處的噪聲，在選擇碼元頻率時應(yīng)盡量規(guī)避強噪聲頻點及其諧頻值，例如電力線噪聲頻率50Hz及其諧頻。

附錄A 維納反褶積

使用地震法中常用的維納濾波計算反算子，其思想在于使濾波器的實際輸出與期望輸出的誤差平方和最小。本文的期望輸出為單位沖激信號δ(t),則有

s(t)*b(t)=δ(t)

(A-1)

離散化得到

b(n)*s(n)=δ(n)

(A-2)

其輸出誤差的平方和為

(A-3)

式中：τ為b(n)與s(n)的偏移量；N、M分別為s(n)、b(n)的離散點數(shù)。令Q最小，b(n)需滿足

(A-4)

解得

(A-5)

定義相關(guān)函數(shù)

(A-6)

(A-7)

式中：γSS(τ-h)為s(n)關(guān)于延遲時間τ-h的自相關(guān)函數(shù)；γδS(h)為s(n)和δ(n)關(guān)于延遲時間h的互相關(guān)函數(shù)。顯然γδs(h)也為沖激信號。

式(A-5)可寫為

(A-8)

再寫成矩陣形式，b(n)可通過解下列矩陣方程求得

(A-9)

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