張廣智 趙 晨 涂奇催 劉 江 張佳佳 裴忠林

(①中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580； ②海洋國家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)與探測技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266071； ③中海石油(中國)有限公司上海分公司，上海 200030)

1 引言

地震反演可以分為確定性反演與隨機(jī)反演兩大類。與傳統(tǒng)的確定性反演方法相比，隨機(jī)反演對(duì)于具有薄層特征的油氣藏識(shí)別具有一定優(yōu)勢[1]。隨機(jī)地震反演方法的技術(shù)關(guān)鍵是分析并擬合儲(chǔ)層地球物理特性的分布規(guī)律并對(duì)不同地球物理參數(shù)進(jìn)行研究，以此獲得這些參數(shù)與地層巖性的關(guān)系[2]。隨機(jī)反演方法可以同時(shí)擬合實(shí)際地震觀測數(shù)據(jù)和測井?dāng)?shù)據(jù)，且可以有效地利用測井?dāng)?shù)據(jù)中所包含的高頻信息提高反演的分辨率[3,4]。

作為常用的反演方法，馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法(MCMC)可以獲得后驗(yàn)概率密度的一系列樣本，通過對(duì)這些樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可以獲得滿足要求的反演結(jié)果。基于Metropolis算法[5]，Hasting[6]提出了Metropolis-Hastings (MH)算法，是最常用的MCMC方法； Smith等[7]首次提出利用MCMC方法獲取參數(shù)反演的后驗(yàn)分布； Alberto等[8]利用直流電阻率測深數(shù)據(jù)反演一維地球模型，首次將MCMC方法應(yīng)用于完全非線性反演問題； Chen等[9]發(fā)現(xiàn)MCMC反演方法能提供大量與未知參數(shù)有關(guān)的全局信息，與確定性反演方法相比，能得到更好的估計(jì)值； 朱嵩等[10]提出了動(dòng)態(tài)多鏈搜索策略，在多鏈并行的過程中，通過逐步減少鏈的數(shù)目提高算法的計(jì)算效率；張廣智等[11]研究了基于MCMC方法的疊后及疊前地震反演方法； 李遠(yuǎn)等[12]將Haario等[13,14]提出的AM-MCMC方法引入地震反演，主要通過修改候選值的產(chǎn)生方式來提高算法的收斂效率； 張廣智等[15]、Pan等[16]將AM (Adaptive Metropolis)策略與DR(Delayed Rejection)策略相結(jié)合，提出了AMDR-MCMC算法，將DR策略融入AM策略，克服AM策略過度依賴初始協(xié)方差的劣勢。綜合前人研究成果，可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的MCMC算法較為依賴初始模型及搜索策略,當(dāng)計(jì)算時(shí)間有限或搜索策略設(shè)置不當(dāng)時(shí),對(duì)于一個(gè)較為復(fù)雜的參數(shù)空間,MH算法往往不能對(duì)反演參數(shù)空間進(jìn)行充分的搜索。

針對(duì)該問題，前人借鑒量子退火最優(yōu)化思想對(duì)傳統(tǒng)的MH方法進(jìn)行改進(jìn)。魏超等[17]依據(jù)模擬退火算法與量子蒙特卡洛理論，提出量子退火最優(yōu)化算法(QA)，并利用簡單的單道模型數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證;Alulaiw等[18]將基于QA算法的反演方法應(yīng)用于實(shí)際工區(qū)。量子退火算法的核心在于通過引入Hamilton量的概念修改模擬退火的接受概率。因此，同樣對(duì)MH算法的接受概率形式進(jìn)行修改，引入一個(gè)逐漸減小的正變量調(diào)整狀態(tài)接受的概率，提高算法的穩(wěn)定性和收斂性。本文借鑒量子退火算法的改進(jìn)措施，提出了量子退火MH算法，并將其應(yīng)用于疊前隨機(jī)反演。利用測井?dāng)?shù)據(jù)，獲取反演參數(shù)的先驗(yàn)信息，利用反演參數(shù)的正演關(guān)系構(gòu)建似然函數(shù)，利用量子退火MH算法對(duì)后驗(yàn)概率密度進(jìn)行抽樣，得到最終的反演結(jié)果。

2 理論與方法

在貝葉斯理論框架下，通過先驗(yàn)信息及似然函數(shù)構(gòu)建與后驗(yàn)概率密度相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)，利用量子退火MH算法進(jìn)行反演，得到反演結(jié)果。

2.1 MH算法

MCMC方法的核心是構(gòu)造一個(gè)平穩(wěn)分布且與所求后驗(yàn)分布相同的馬爾科夫鏈，反復(fù)迭代至平穩(wěn)狀態(tài)，從而得到后驗(yàn)分布的樣本，再基于這些樣本做各種統(tǒng)計(jì)、推斷[19]。

MH方法的主要步驟為：首先由建議分布q(xt,x*)產(chǎn)生一個(gè)潛在的轉(zhuǎn)移xt→x*，然后根據(jù)概率α(xt,x*)來決定是否接受。從[0,1]的均勻分布上抽取隨機(jī)數(shù)u，則馬爾科夫鏈下一時(shí)刻的狀態(tài)為[20]

(1)

式中：t表示馬爾科夫鏈的當(dāng)前時(shí)刻；xt表示在時(shí)刻t的值；x*表示由建議分布產(chǎn)生的候選抽樣值；α(xt,x*)代表轉(zhuǎn)移核函數(shù)，常用的形式為

(2)

式中，π指馬爾科夫鏈平穩(wěn)分布表達(dá)式。

當(dāng)目標(biāo)分布取為似然函數(shù)L(x)，且建議分布為對(duì)稱分布時(shí)，則式(2)可改寫為

(3)

因此，對(duì)于反演問題，MH算法的接受概率可改寫為

α(xt,x*)=exp{min[0,g(x*)-g(xt)]}

(4)

式中g(shù)表示所構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)。

經(jīng)過多次迭代，可以獲得后驗(yàn)概率分布的一系列樣本，對(duì)這些樣本進(jìn)行篩選，可獲得滿足要求的反演結(jié)果。

如搜索策略設(shè)置不當(dāng)，傳統(tǒng)的MH算法收斂速度較慢。由于搜索策略的設(shè)置需要針對(duì)不同問題具體分析，因此很難找到最佳的搜索策略。本文利用量子退火MH算法應(yīng)對(duì)搜索策略的問題。

2.2 量子退火MH算法

為提高反演算法的效率與精度，參照量子退火最優(yōu)化方法，改進(jìn)MH算法，提出量子退火MH算法，該方法的基礎(chǔ)在于Hamilton量的引入。

當(dāng)有外力作用于體系，此時(shí)系統(tǒng)的Hamilton量H為

(5)

將目標(biāo)函數(shù)之差ΔE=E(m(l+1))-E(m(l))看作體系的動(dòng)能H0，則

H=ΔE+CΓ(t)

(6)

式中C為常數(shù)。

量子最優(yōu)化算法利用系統(tǒng)的Hamilton量表達(dá)式替換傳統(tǒng)的模擬退火算法中的目標(biāo)函數(shù)之差，CΓ(t)的引入使迭代的反演結(jié)果在接近模型參數(shù)時(shí)依舊存在一定的接受概率，快速接近最優(yōu)結(jié)果[21]。

量子退火算法屬于全局隨機(jī)搜索的最優(yōu)化算法，能有效避免線性化反演的缺陷，具有較大的發(fā)展?jié)摿22]，然而其接受概率最終趨近于0，因此僅能獲得唯一的反演結(jié)果，無法對(duì)反演結(jié)果進(jìn)行不確定性分析；MH算法可獲得收斂于后驗(yàn)概率分布的一系列反演結(jié)果的樣本，因此可以對(duì)反演結(jié)果進(jìn)行不確定性分析。因此，依據(jù)量子退火算法的改進(jìn)思想將式(4)改寫為

α(xt,x*)

(7)

式中φ是一個(gè)隨著迭代次數(shù)增加而逐漸趨近于0的較小的正變量。

對(duì)于量子退火MH算法來說，φ的引入可以適當(dāng)減少當(dāng)前狀態(tài)不必要的轉(zhuǎn)移，使馬爾科夫鏈能夠更加快速、穩(wěn)定地收斂于后驗(yàn)概率密度，避免局部極值的出現(xiàn)。

參照傳統(tǒng)的MH算法，量子退火MH算法的實(shí)現(xiàn)流程見圖1，其中“rand”為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。其與MH算法的主要區(qū)別在于新的量子退火MH算法采用了新的接受概率表達(dá)形式。

中國礦業(yè)大學(xué)（北京）是煤炭特色高等教育的全國重點(diǎn)院校，擁有我國首家以能源與安全為特色的科技園——“中關(guān)村能源與安全科技園”和“中國礦業(yè)大學(xué)留學(xué)人員創(chuàng)業(yè)園”，并與北京市共建能源安全產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，組成了學(xué)校產(chǎn)學(xué)研用及科技成果轉(zhuǎn)化體系；另外科技園就位于校內(nèi)，學(xué)生不需要高頻校外甚至異地往返，避免了學(xué)校頻繁組織交通車、組織成本高且可能存在安全等方面的問題，為創(chuàng)建校企合作的煤礦特色機(jī)械虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)提供了地理和資源的雙重優(yōu)勢。

圖1 量子退火MH算法流程圖

2.3 基于量子退火MH算法的疊前反演方法

疊后地震反演只能獲得地下阻抗的相關(guān)信息，對(duì)于較為復(fù)雜的地層，傳統(tǒng)的疊后反演無法有效識(shí)別巖性及流體，且疊后反演是基于疊后地震數(shù)據(jù)的，忽略了部分地震信息。相比疊后反演，疊前反演具有較高的保真度，且能得到泊松比、拉梅參數(shù)以及孔隙度、泥質(zhì)含量、含流體飽和度等多種參數(shù)，進(jìn)而為儲(chǔ)層預(yù)測提供更可靠的信息[23]。

疊前地震反演的理論基礎(chǔ)是Zoeppritz方程，然而精確的Zoeppritz方程極其復(fù)雜，不利于反演[24]。因此，前人對(duì)其進(jìn)行了簡化，提出了Zoeppritz近似方程。Aki等[25]首次提出了Aki-Richards近似公式，本文基于該近似公式進(jìn)行基于隨機(jī)反演的疊前反演研究。

Aki-Richards近似公式具體形式為

(8)

要利用量子退火MH算法進(jìn)行疊前反演，需要構(gòu)建后驗(yàn)概率表達(dá)形式，即目標(biāo)函數(shù)。貝葉斯理論是其基礎(chǔ)，它將先驗(yàn)信息通過似然函數(shù)轉(zhuǎn)化為后驗(yàn)信息[26]，利用量子退火MH算法對(duì)后驗(yàn)概率密度進(jìn)行抽樣，便可獲得后驗(yàn)概率的一系列樣本。

本文所研究的反演問題可以表述為

p(vP,vS,ρ|d)=f(vP,vS,ρ)+e

(9)

式中：d為觀測地震數(shù)據(jù)；f代表正演算子；e代表觀測噪聲。待反演參數(shù)vP、vS以及ρ的后驗(yàn)概率密度可寫作

p(vP,vS,ρ|d)=p(vP,vS,ρ)·p(d|vP,vS,ρ)

(10)

對(duì)于似然函數(shù)，假設(shè)地震噪聲滿足均值為0、方差為σn的正態(tài)分布，則似然函數(shù)可表示為

(11)

式中N表示待反演參數(shù)的樣本數(shù)量。

假設(shè)待反演參數(shù)vP、vS以及ρ均服從高斯分布，且相互獨(dú)立，那么待反演參數(shù)的先驗(yàn)信息可表示為

p(vP,vS,ρ)=p(vP)·p(vS)·p(ρ)

(12)

(13)

最后我們利用量子退火MH算法進(jìn)行反演，最終得到收斂于后驗(yàn)概率密度分布的馬爾科夫鏈，再對(duì)馬爾科夫鏈進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，即可獲得反演參數(shù)vP、vS及ρ。

3 模型測試

3.1 一維模型測試

首先利用一維模型進(jìn)行反演測試，該一維模型來自實(shí)際井資料。子波選取25Hz的零相位雷克子波，設(shè)置炮檢距為100～1000m。利用炮檢距、速度、時(shí)間深度等參數(shù)通過計(jì)算得到角度信息，然后利用式(8)計(jì)算反射系數(shù)，與子波進(jìn)行褶積，并加入一定噪聲(SNR=3)，最終得到觀測地震記錄。

圖2為傳統(tǒng)MH算法反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對(duì)比，圖3為在相同搜索策略下量子退火MH算法反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對(duì)比?？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)搜索策略相同時(shí)，量子退火MH算法反演結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)的MH算法反演。

圖4為觀測地震記錄、未加噪聲的地震記錄及傳統(tǒng)MH算法和量子退火MH算法反演結(jié)果合成的地震記錄，由圖可見，量子退火MH算法反演結(jié)果所合成的地震記錄與實(shí)際地震記錄更加接近。這是由于Γ的引入能夠適當(dāng)調(diào)整原有的接受概率，減少當(dāng)前狀態(tài)不必要的轉(zhuǎn)移，使算法更加穩(wěn)定地收斂于后驗(yàn)概率分布。

圖2 傳統(tǒng)MH算法反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對(duì)比 綠線為初始模型，紅線為模型數(shù)據(jù)，藍(lán)線為反演結(jié)果 (a)vP; (b)vS; (c)ρ

圖3 量子退火MH算法反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對(duì)比 綠線為初始模型，紅線為模型數(shù)據(jù)，藍(lán)線為反演結(jié)果 (a)vP; (b)vS; (c)ρ

圖4 觀測地震記錄(a)、未加噪聲的地震記錄(b)及傳統(tǒng)MH算法(c)和量子退火MH算法(d)反演結(jié)果合成的地震記錄 圖c、圖d中紅線為反演結(jié)果合成的記錄，黑線為未加噪聲的合成記錄

從一維模型中選取某一位置處的采樣點(diǎn)，比較兩種方法在該采樣點(diǎn)處密度值的迭代結(jié)果的變化。圖5為分別利用傳統(tǒng)MH算法和量子退火MH算法在某采樣點(diǎn)的縱波速度值隨迭代次數(shù)的變化曲線。

圖5 分別利用傳統(tǒng)MH算法(a)和量子退火MH 算法(b)的縱波速度值隨迭代次數(shù)的變化

由圖5可見，傳統(tǒng)MH算法在迭代到20000次左右才開始在真值附近區(qū)域內(nèi)采樣，共耗時(shí)1230.1s，而量子退火MH算法在4000次左右就開始在真值

附近區(qū)域內(nèi)采樣，共耗時(shí)228.1s，且后者的穩(wěn)定性要強(qiáng)于前者。這說明量子退火MH算法相比傳統(tǒng)的MH算法具有更高的計(jì)算效率，且反演結(jié)果更加穩(wěn)定。

利用量子退火MH算法進(jìn)行疊前反演，可以同時(shí)獲得同一個(gè)采樣點(diǎn)的縱、橫波速度以及密度的多個(gè)反演結(jié)果(圖6)，進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)與不確定性估算。由圖可見，縱、橫波速度與密度反演結(jié)果的概率統(tǒng)計(jì)均表現(xiàn)為高斯分布，這與給出的先驗(yàn)假設(shè)一致。

3.2 二維模型測試

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于量子退火MH算法的隨機(jī)反演方法的可行性，利用部分Marmous2二維模型進(jìn)行反演測試，選取模型的時(shí)窗為1000～1600ms，地震子波選取頻率為30Hz的雷克子波，設(shè)置炮檢距為100～1000m。利用炮檢距、速度、時(shí)間深度等參數(shù)計(jì)算入射角等信息，之后利用量子MH算法進(jìn)行反演。

圖7為反演結(jié)果(SNR=3)與模型數(shù)據(jù)的對(duì)比。由圖可見，即使存在一定的噪聲，反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)基本吻合,模型中的薄層也能很好地識(shí)別。

為了進(jìn)一步說明反演結(jié)果的有效性，分別比較信噪比為1和3時(shí)，模型第61道的反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)(圖8)。從圖8可以發(fā)現(xiàn)，無論信噪比為1還是3，反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)均吻合較好，說明了該算法具有一定的抗噪能力。

圖9為該二維模型某采樣點(diǎn)縱波速度、橫波速度和密度多個(gè)反演結(jié)果的概率直方圖。由圖可見，縱、橫波速度與密度反演結(jié)果的概率統(tǒng)計(jì)均表現(xiàn)為高斯分布，這與先驗(yàn)假設(shè)一致。因此，可同樣選擇縱、橫波速度和密度在某采樣點(diǎn)處反演的均值作為最大后驗(yàn)概率估計(jì)。

圖6 某采樣點(diǎn)的縱波速度vP(a)、橫波速度vS(b)和密度ρ(c)的概率直方圖

圖7 反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)對(duì)比 (a)vP模型； (b)vP反演結(jié)果； (c)vS模型； (d)vS反演結(jié)果； (e)ρ模型； (f)ρ反演結(jié)果

圖8 vP、vS、ρ反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)對(duì)比 (a)SNR=1； (b)SNR=3

圖9 某采樣點(diǎn)縱波速度vP(a)、橫波速度vS(b)和密度ρ(c)的概率直方圖

圖10 縱波速度vP(a)、橫波速度vS(b)和密度ρ(c)反演結(jié)果

4 實(shí)際資料分析

為了測試疊前隨機(jī)反演方法在實(shí)際資料應(yīng)用中的可行性，應(yīng)用實(shí)際資料進(jìn)行反演測試。該資料來自中國北部，最大入射角為35°左右，主要目標(biāo)為多層系含油的典型復(fù)式油氣聚集區(qū)，根據(jù)測井資料解釋結(jié)果，密度可以很好地反映砂體分布。

為了提高反演的計(jì)算效率，將地震炮檢距道集分為3°～13°、14°～24°、25°～35°三個(gè)角度部分疊加的地震剖面。為分析反演方法的效果，應(yīng)用基于量子退火MH算法的疊前反演方法進(jìn)行儲(chǔ)層預(yù)測。

圖10為反演結(jié)果。由圖可見，反演結(jié)果與測井?dāng)?shù)據(jù)吻合較好，且密度反演結(jié)果能大體反映出砂體的分布特征，驗(yàn)證了該反演方法對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行反演的可行性。

5 結(jié)論

(1)借鑒量子退火的思路對(duì)MH算法進(jìn)行改進(jìn)，模型測試結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)的分析均表明，該反演方法能夠獲得縱、橫波速度和密度參數(shù)，且收斂速度及穩(wěn)定性相較于傳統(tǒng)的MH算法有一定的提升；

(2)量子退火MH算法基于貝葉斯理論，將先驗(yàn)信息與似然函數(shù)相結(jié)合，提高了反演結(jié)果的穩(wěn)定性，同時(shí)可獲得收斂于后驗(yàn)概率分布的一系列樣本，便于進(jìn)行解的不確定分析；

(3)量子退火MH方法的核心在于φ的引入，它能夠適當(dāng)調(diào)整原有的接受概率，減少當(dāng)前狀態(tài)不必要的轉(zhuǎn)移，使馬爾科夫鏈能夠更加快速穩(wěn)定地收斂于后驗(yàn)概率密度，但是φ的選取原則及衰減函數(shù)還需進(jìn)一步探索。

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