朱志平

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南714099)

0 引言

帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)的許多研究領(lǐng)域有著重大意義。就應(yīng)用而言，質(zhì)譜儀、示波管、電子顯微鏡、電視顯像管、磁聚焦、粒子加速器等都與它有密切關(guān)系。［1］就基礎(chǔ)研究而言，人們對(duì)原子核和基本粒子的認(rèn)識(shí)大多來(lái)源于對(duì)其間相互碰撞過(guò)程的研究，而帶電粒子的碰撞過(guò)程則與它們?cè)陔姶艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律密切相關(guān)。對(duì)于空間物理和天體物理的研究，其研究對(duì)象大多是等離子體，其中又存在著各種磁場(chǎng)(如地球磁場(chǎng)、太陽(yáng)磁場(chǎng)、恒星磁場(chǎng)、星系磁場(chǎng)等)，研究帶電粒子在這些磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)對(duì)許多現(xiàn)象和過(guò)程的認(rèn)識(shí)至關(guān)重要。

對(duì)于在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，因受庫(kù)侖(Coulomb)力和洛侖茲(Lorentz)力作用，其運(yùn)動(dòng)方程為:

其運(yùn)動(dòng)規(guī)律比較復(fù)雜，難以由理論分析給出一個(gè)直觀的圖像，也不易用實(shí)驗(yàn)方法實(shí)現(xiàn)。因此，在研究帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，可以借助MATLAB軟件功能將帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)直觀地描繪出來(lái)。［2－4］

1 帶電粒子在均勻恒定電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1.1 帶電粒子在均勻恒定電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在電場(chǎng)中，受電場(chǎng)力作用，其運(yùn)動(dòng)方程為:

在水平方向(x方向)粒子的運(yùn)動(dòng)方程為:

在鉛直方向(y方向)粒子的運(yùn)動(dòng)方程為:

當(dāng)α=0或π時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為:

當(dāng)α≠0或π時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為:

取 E=1 N/C，q=1．6 × 10－19C，m=1．6 × 10－19kg=2 m/s，對(duì)粒子以不同入射角進(jìn)入電場(chǎng)進(jìn)行模擬，模擬圖如圖1所示。

圖1 帶電粒子在均勻恒定電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖2 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的螺旋運(yùn)動(dòng)

1.2 帶電粒子在均勻恒定磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1．2．1 帶電粒子在均勻恒定磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，受洛侖茲力的作用，其運(yùn)動(dòng)方程為:

運(yùn)動(dòng)方程的分量形式為:

對(duì)式(10)求微分并作代換，得

對(duì)式(11)積分，得

再積分，得

其中:v⊥=v0sinθ，v‖=v0cosθ，α及x0、y0、z0都是由初始條件確定的常數(shù)，其中α為初速度在xoy平面內(nèi)的投影與x軸的夾角。

式(13)表明，帶電粒子從初始位置(x0，y0，z0)出發(fā)，以初速度的平行磁場(chǎng)分量v‖沿磁場(chǎng)方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，在垂直磁場(chǎng)的xoy平面內(nèi)，以初速度的垂直磁場(chǎng)分量v⊥繞半徑為的圓作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。即x、y、z的表示式(13)式說(shuō)明此軌跡是一條螺旋線。取初始入射速度方向與z軸成30°夾角進(jìn)行模擬，模擬圖像如圖2所示。

1．2．2 磁聚焦原理

運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中的螺旋運(yùn)動(dòng)被廣泛地應(yīng)用于“磁聚焦技術(shù)”［3］。磁聚焦在許多電真空系統(tǒng)中得到應(yīng)用(如電子顯微鏡)。

由于電子速度的垂直分量各不相同，在磁場(chǎng)力的作用下，電子將沿不同半徑的螺旋線前進(jìn)。［5］但由于水平速度分量近于相等，所有電子從P點(diǎn)經(jīng)過(guò)一個(gè)螺距之后又重新匯聚于P'點(diǎn)。這與透鏡將光束聚焦成像的作用類似，叫做磁聚焦。

設(shè)磁場(chǎng)軸向路徑長(zhǎng)度為L(zhǎng)，一束質(zhì)量為m、帶電量為e的電子先經(jīng)過(guò)較大的軸向電場(chǎng)加速，獲得速度v‖;再經(jīng)過(guò)徑向交變電壓發(fā)散，獲得不同的但很小的徑向速度v⊥;然后進(jìn)入軸向勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中做螺旋運(yùn)動(dòng)。電子作螺旋運(yùn)動(dòng)的半徑為，由于電子帶負(fù)電荷，利用初始條件:t=0時(shí)，x=y=z=0，其運(yùn)動(dòng)方程可表示為:

經(jīng)過(guò)1個(gè)周期，電子能在端點(diǎn)匯聚，則L/z=1。若L/z=n(n為整數(shù))，即增加磁感應(yīng)強(qiáng)度B而減小周期T，則電子束有n個(gè)匯聚點(diǎn)(焦點(diǎn))。設(shè)發(fā)散角為θ，則散角越大，焦點(diǎn)越少，則半徑越大。如取電子束聚焦3次進(jìn)行模擬，模擬圖如圖3所示。

圖3 磁聚焦圖

圖4 空間正交電磁場(chǎng)

1.3 帶電粒子在均勻正交電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)方程的分量形式為:

對(duì)式(16)求微分并作代換，得

利用初始條件:t=0時(shí)，有

對(duì)式(18)積分，得帶電粒子的軌跡方程為:

根據(jù)不同的初始速度與電磁場(chǎng)大小對(duì)式(20)進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬圖如圖5所示。

由圖5可知，若v0＜E/B時(shí)，帶電粒子的軌跡是短幅擺線，如圖5(a)所示;若v0＞E/B時(shí)，帶電粒子的軌跡是長(zhǎng)幅擺線，如圖5(b)所示;若v0=E/B時(shí)，帶電粒子沿x軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖5(c)所示。

圖5 帶電粒子在均勻正交電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

2 帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的普遍情況

2.1 帶電粒子在均勻非正交電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

以上討論了(1)只有電場(chǎng)而沒有磁場(chǎng);(2)只有磁場(chǎng)而電場(chǎng)為三者兩兩互相垂直的三種情況。現(xiàn)在討論普遍情況下帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，即成任意夾角時(shí)，求解其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

圖6 均勻非正交電磁場(chǎng)

代入式(21)，有

整理得一組微分方程:

對(duì)式(23)微分并整理，得:

積分，得:

此為帶電粒子在恒定電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)其速度在x、y、z軸上的3個(gè)分量式。

圖7 帶粒子在勻強(qiáng)非正交電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)示意圖

解式(26)，得:

利用初始條件:在t=0時(shí)，帶電粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，初速度為vo。即t=0時(shí)，有

并對(duì)式(28)積分得粒子的軌跡方程為:

取Ex=1 N/C，Ey=Ez=2 N/C，vox=voy=2 m/s，voz=1 m/s進(jìn)行模擬，軌跡曲線如圖7所示。

由圖7可知，在勻強(qiáng)非正交電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，在xoy平面內(nèi)作擺線運(yùn)動(dòng)，如圖7(a)所示;在沿z軸方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如圖7(b)所示;帶電粒子在均勻非正交電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7(c)所示。

圖8 非勻強(qiáng)磁場(chǎng)

2.2 帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

帶電粒子運(yùn)動(dòng)矢量微分方程為:

由于

粒子運(yùn)動(dòng)微分方程的分量形式為:

對(duì)式(32－3)積分，并利用初始條件可得

再積分，由于z(0)=0，可得

當(dāng)θ=0時(shí)，vx=vy=0，因此粒子沿z軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)θ=π/2時(shí)，vx=v0，vz=vy=0，在x=0的平面，B=0，粒子沿x軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

再求解x方向和y方向的運(yùn)動(dòng)方程:由式(33－1)(33－2)得，

利用初始條件:vx=v0sinθ，vy=0得

設(shè) vx=v0sinθcosφ，vy=v0sinθsinφ，φ 為角變量，代入式(32－1)，則得

當(dāng)t=0時(shí)，φ=0。對(duì)式(37)積分得

對(duì)式(38)積分得:

此積分稱為菲涅爾余弦 /正弦積分，只有數(shù)值解。當(dāng)積分上限趨于無(wú)窮大時(shí)，兩個(gè)菲涅耳積分都趨于則粒子的極限坐標(biāo)為:

粒子的極限坐標(biāo)為:

取θ=60°對(duì)式(42)進(jìn)行模擬，得到帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與軌跡，如圖9(a)、圖9(b)所示。

圖9(a)之上圖和中圖表示，當(dāng)帶電粒子的入射角為60°時(shí)，其坐標(biāo)x和y隨時(shí)間均做周期性變化，時(shí)間越長(zhǎng)，幅度越小。圖9(a)之下圖表示，帶電粒子的z坐標(biāo)隨時(shí)間直線增加。圖9(b)表示，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是螺旋上升的，時(shí)間越長(zhǎng)，粒子運(yùn)動(dòng)得越高，半徑也越小。［6］由于磁場(chǎng)只有z分量，粒子在z方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此，粒子不會(huì)返回來(lái)。

圖9 帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律與軌跡

3 結(jié)語(yǔ)

借助MATLAB軟件的作圖動(dòng)畫功能，對(duì)帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的5種情況進(jìn)行模擬，將其運(yùn)動(dòng)規(guī)律形象而直觀地描繪出來(lái)，加強(qiáng)了對(duì)帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理解和掌握，為進(jìn)一步研究帶電粒子在其他情況下的運(yùn)動(dòng)以及運(yùn)動(dòng)規(guī)律在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用提供科學(xué)參考。

［1］陳秉乾，舒幼生，胡望雨．電磁學(xué)專題研究［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［2］周博，謝東來(lái)，張憲海．MATLAB－科學(xué)計(jì)算［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2010．

［3］占亞波，于立志．計(jì)算機(jī)模擬帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)［J］．阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，27(1):40－43．

［4］牛懷崗，朱志平．MATLAB 求解力學(xué)問題探析［J］．渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，31(16):64－69．

［5］高永毅，張平柯．帶電粒子在均勻電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律［J］．湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，17(3):84－87．

［6］歐陽(yáng)鈐，史兆憲．帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的普遍情況［J］．零陵師專學(xué)報(bào)，1981，2(1):47－59．