楊新玲

摘 要：解析幾何題目一般以解答題的形式出現(xiàn)在試卷上，所以學(xué)生感覺比較難，其實經(jīng)過對《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》的內(nèi)容進(jìn)行定量比較，可以看出難度并沒有增加，只是出題更加靈活，更加側(cè)重于數(shù)學(xué)原理的理解，所以教師在教學(xué)中要對這方面有所側(cè)重。

關(guān)鍵詞：解析幾何；課程難度；定量分析

解析幾何是幾何方法與代數(shù)方法相結(jié)合的第一次嘗試，在高考試卷中一般以解答題的形式出現(xiàn)，學(xué)生需要用代數(shù)的方法計算證明幾何問題，所以解析幾何給人的直觀感受就是難度較大。如果一門課程需要在有限的課時內(nèi)，學(xué)習(xí)太多的知識點，每個知識點的掌握都需要學(xué)生進(jìn)行很多的推理和運算步驟，那這門課程的難度系數(shù)自然就會增加，可見課程難度與課程時間、課程廣度和課程深度都有關(guān)系，其中與課程時間反比，與其他兩個因素成正比?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）是課程的基本理念、課程目標(biāo)、課程實施建議等的詳細(xì)闡述和要求，是最低限度的教學(xué)要求，《高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡稱《大綱》）是每門學(xué)科的教學(xué)綱要，包括教學(xué)目標(biāo)、任務(wù)、教學(xué)內(nèi)容的范圍、深度和結(jié)構(gòu)、教學(xué)進(jìn)度等的基本要求，也是對學(xué)生進(jìn)行考核的出題范圍及出題深度的綱要性文件。以下，筆者對《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中的要求對解析幾何部分進(jìn)行難度分析，并針對難點提供解題思路。

一、高中解析幾何課程難度分析

在《標(biāo)準(zhǔn)》中解析幾何的內(nèi)容是分層次的，對于選修文科的學(xué)生和選修理科的學(xué)生，部分內(nèi)容是要求不同的。在課程廣度上，《標(biāo)準(zhǔn)》中解析幾何包括必修2的直線與方程、圓與方程、空間直角坐標(biāo)系，以及選修課的圓錐曲線與方程；《大綱》中的解析幾何包括直線和圓的方程、圓錐曲線與方程兩部分內(nèi)容均在必修當(dāng)中。在課程時間上，《標(biāo)準(zhǔn)》中理科生解析幾何總課時是34個學(xué)時（文科生總課時是30個學(xué)時本文不做考慮，只比較對理科生來說的《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》的比較），而《大綱》中授課總時數(shù)為40個學(xué)時。從課程難度來說，《標(biāo)準(zhǔn)》比《大綱》的課程難度要大，《標(biāo)準(zhǔn)》中對解析幾何的要求有以下特點：內(nèi)容滲透著數(shù)形結(jié)合的思想，注重知識發(fā)生發(fā)展的過程強(qiáng)調(diào)幾何背景。

例如《標(biāo)準(zhǔn)》中要求學(xué)生經(jīng)歷橢圓曲線的形成過程，讓學(xué)生對圓錐曲線的定義和幾何背景有個深入的了解，并提出有條件的學(xué)校要發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用，用計算機(jī)演示出平面截圓錐得的圓錐曲線，這樣可以使學(xué)生對所學(xué)的知識有切身的實踐和體現(xiàn)，通過看演示過程，更能發(fā)現(xiàn)空間幾何圖形與解析幾何中的一些結(jié)論，并能將這些思想和方法用到解題過程中去。

從幾次大綱的修訂來看，現(xiàn)行的2003年的《標(biāo)準(zhǔn)》在解析幾何部分的課程時間在減少，課程廣度和深度相對以前的1996年和2000年的《大綱》來說沒有相應(yīng)地減少，反而是增大了，尤其是課程深度增大比較明顯。

二、高中解析幾何難點的解題思路

從問卷調(diào)查來看，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解析幾何的基本定義與概念理解上問題不大，但一到實際運用環(huán)節(jié)卻表現(xiàn)較差。經(jīng)過分析后，筆者認(rèn)為解析幾何比較難的原因是：學(xué)生對基本定義與概念更加偏向于機(jī)械地記憶，缺乏真正的理解，也不能在知識點間建立有效的聯(lián)系。其實，解析幾何就是一個對幾何方法和代數(shù)方法的綜合運用。就像《標(biāo)準(zhǔn)》所要求的那樣，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)注重讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)獲得知識，體會解題的技巧，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，這樣才能從根本上解決這個“一看就懂一用就錯”的問題。以下筆者總結(jié)了幾種比較常見的解題方法。

1.利用“韋達(dá)定理”設(shè)而不求

韋達(dá)定理說明了一元二次方程中根和系數(shù)之間的關(guān)系，所以是解答解析幾何題非常有效的工具，在考題中，很多題目都是將圓錐曲線與直線綜合起來考查，利用知識交叉點進(jìn)行出題。這類題目在解答過程中，一般不容易求出交點坐標(biāo)，但是可以通過聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得到交點坐標(biāo)的和與積。

2.利用“點到直線的距離公式”建立等量關(guān)系

3.利用“兩點間的距離公式”求弦長

本文用定量的方法對《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中高中解析幾何部分的難度進(jìn)行了分析，得出由于這部分內(nèi)容在《標(biāo)準(zhǔn)》中課時減少，課程廣度和深度都有所增加，更加注重學(xué)生對數(shù)學(xué)原理的理解，以往只是記住公式的做法，在遇到問題時不能發(fā)揮作用，所以筆者列舉了幾個難點進(jìn)行了解析。

參考文獻(xiàn)：

[1]周加中.人教版高中教科書“平面解析幾何”部分演變研究（1949～2016）[D].南京師范大學(xué)，2017.

[2]藺瑩.基于課程難度分析的高中解析幾何教學(xué)研究[D].河北師范大學(xué)，2016.

注：本文系武威市“高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中課程難度的比較研究”（立項號WW[2017]GH139）研究成果。