☉江蘇如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學(xué) 印冬建

在我們的日常教學(xué)中，與預(yù)設(shè)偏離的教學(xué)生成時有出現(xiàn).當(dāng)它們出現(xiàn)時，學(xué)程（即學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)程）的變更在所難免.在實際教學(xué)中，如果我們能對“意外”生成進(jìn)行“緊急診斷”，理清其與要學(xué)知識、已有“四基”間的關(guān)系，在互動交流中生成新知的“生長點”，然后在已有生成上繼續(xù)前行，一般會取得較好的教學(xué)效果.這種對預(yù)設(shè)學(xué)程的變更，讓新的學(xué)程與學(xué)生的發(fā)展方向和知識的生長方向一致，為個體的順勢發(fā)展提供了可能.本文擬結(jié)合一次教學(xué)意外的生成及處置歷程，談?wù)劰P者的做法和思考，希望能給大家?guī)韱⑹?

一、教前準(zhǔn)備

1.內(nèi)容分析.

在人教版九年級上冊教材中，第二十三章第一節(jié)是圖形的旋轉(zhuǎn)，本節(jié)共安排了三課時的教學(xué)內(nèi)容：第1課時，旋轉(zhuǎn)的定義；第2課時，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；第3課時，旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)的簡單應(yīng)用.在小學(xué)，學(xué)生對圖形的旋轉(zhuǎn)已經(jīng)進(jìn)行了較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，他們具備了構(gòu)造簡單圖形旋轉(zhuǎn)的能力，對旋轉(zhuǎn)過程中圖形形狀、大小的不變性有著較為深刻的認(rèn)識；進(jìn)入初中后，學(xué)生又先后獲得了平移、軸對稱等圖形變換的知識，并積累了很多探索圖像變換及其性質(zhì)的活動經(jīng)驗.基于教材編排的現(xiàn)狀和學(xué)情發(fā)展的需要，筆者將教材第1、2課時的教學(xué)內(nèi)容整合在一起作為本課時的教學(xué)內(nèi)容，力求通過這節(jié)課的教學(xué)，讓學(xué)生獲得圖形的旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì).為吻合教材的內(nèi)容與流程安排，筆者計劃引導(dǎo)學(xué)生從實物的運動中抽象圖形的旋轉(zhuǎn)，并歸納出圖形的旋轉(zhuǎn)的定義，然后重點探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).為了突破旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)這一難點，將會安排學(xué)生經(jīng)歷“作圖—觀察—猜想—驗證”的探索歷程，通過“自主、合作、探究”實現(xiàn)“四基”的自然生長與合理延伸.

2.學(xué)程預(yù)設(shè).

圍繞教材編排的教學(xué)內(nèi)容與流程，結(jié)合本班的學(xué)情，為了更好地突破旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)這一難點，筆者給本節(jié)課預(yù)設(shè)了四個環(huán)節(jié)的學(xué)程：

（1）情境引入，抽象概念.

投影實物運動的動畫，師生在互動中描述“運動規(guī)則”并將實物抽象為幾何圖形，進(jìn)而揭示本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容——圖形的旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生觀察并歸納出圖形旋轉(zhuǎn)的定義.

（2）作圖探索，歸納性質(zhì).

這一環(huán)節(jié)主要是由學(xué)生自主作圖，構(gòu)造出已知三角形（三角板內(nèi)部的小三角形）旋轉(zhuǎn)一定角度后的三角形，然后比對兩個三角形并分析其旋轉(zhuǎn)過程，猜想并歸納旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

（3）應(yīng)用提升，建構(gòu)體系.

本環(huán)節(jié)將通過兩道例題的解答交流，鞏固旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì)，使學(xué)生知曉旋轉(zhuǎn)與平移、軸對稱一樣都是較為常見的全等變換，從而完善初中學(xué)段圖形變換的知識體系.

（4）全課小結(jié)，布置作業(yè).

分層布置與本課時高度相關(guān)的幾道練習(xí)題，讓學(xué)生通過解答實現(xiàn)課堂收獲的延伸應(yīng)用.

3.教學(xué)準(zhǔn)備.

結(jié)合本節(jié)課的教材編排和教前預(yù)設(shè)，想要完成預(yù)定的教學(xué)任務(wù)，我準(zhǔn)備了與教學(xué)內(nèi)容匹配的課件、活動單和一塊中間為一個含30°的內(nèi)角的三角形的三角板.此外，學(xué)生還需要準(zhǔn)備鉛筆、直尺、三角板等作圖工具，其中，中間為一個含30°的內(nèi)角的三角形的三角板為必備學(xué)具.

二、教中比對

1.預(yù)設(shè)與生成.

教學(xué)環(huán)節(jié) 學(xué)程預(yù)設(shè)教學(xué)生成情境引入， 感知旋轉(zhuǎn)問題1：下列動畫中，物體在怎樣運動？師生活動：教師投影圖片，請學(xué)生觀察并思考圖中物體運動的規(guī)則.（1） （2） （3）圖1學(xué)生觀察動畫，能較清晰地說出“物體是繞著中心（軸心）進(jìn)行順（逆）時針轉(zhuǎn)動”，接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：如果把物體抽象為圖形，剛才描述的運動就變成了圖形的旋轉(zhuǎn).最后，教師呈現(xiàn)并板書課題：23.1圖形的旋轉(zhuǎn).情境引入，抽象概念觀察變換，抽象概念問題2：（1）如圖2，鐘面上，從3點到6點，時針是怎樣轉(zhuǎn)動的？（2）如圖3，如果將時針抽象為線段OA，剛才的時針轉(zhuǎn)動過程又可以怎樣描述？師生活動：教師投影圖3，演示旋轉(zhuǎn)過程，交流問題2，并嘗試抽象圖形的旋轉(zhuǎn)的定義及與之相關(guān)的概念：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角及對應(yīng)點.圖2 圖3教師投影圖2，動畫演示“時針從3點轉(zhuǎn)動到6點的過程”，學(xué)生順利說出“此過程中，時針繞著表面中心順時針旋轉(zhuǎn)了90°”.接下來，教師給出圖3，將時針抽象為線段OA，讓學(xué)生明白“時針的轉(zhuǎn)動就變成線段的轉(zhuǎn)動”（也有學(xué)生認(rèn)為可以是“點A繞點O的轉(zhuǎn)動”），進(jìn)而歸納圖形的旋轉(zhuǎn)的定義，并明確旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角及對應(yīng)點的含義.通過對圖3中概念的再認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“AO＝BO，即兩個對應(yīng)點A、B與O所連線段相等，且它們的夾角∠AOB等于本次旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角”，通過對另一對對應(yīng)點P、P′的相關(guān)結(jié)論探索，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“任意一對對應(yīng)點與O所連線段相等，且它們的夾角都等于這個旋轉(zhuǎn)角”.自主作圖，體驗變換師生活動：教師描出如圖4所示的三角板內(nèi)部的小三角形，記為△ABC.然后，請學(xué)生將三角板繞其一個頂點O任意轉(zhuǎn)動一個角度，再描出內(nèi)部的小三角形，記為△A′B′C′，移開三角板，得到圖5.C根據(jù)活動方案，有學(xué)生按預(yù)設(shè)直接旋轉(zhuǎn)三角板，描出內(nèi)部的三角形.但也有不少學(xué)生給出了不同的畫法，教師請其中一名學(xué)生進(jìn)行了展示.該生先用給出的三角板作出點A、B、C繞點O順時針旋轉(zhuǎn)相同度數(shù)后的對應(yīng)點A′、B′、C′，如圖6.最終，作出△A′B′C′，如圖7.A C O A B C B A′O O A B C′A′A′C′O B′C′B′B′圖4圖5圖6圖7作圖探索，歸納性質(zhì)分析圖形，探索性質(zhì)問題3：（1）是否可以通過度量某一個角，來確定圖5中的旋轉(zhuǎn)角？（∠AOA′）（2）這樣的角有多少個？（無數(shù)個）（3）這些角具備怎樣的共性特征？（都是“對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角”）（4）你能歸納出這些角所具有的性質(zhì)嗎？（都等于旋轉(zhuǎn)角）（5）這些對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段之間又有怎樣的關(guān)系？（相等）（6）△ABC和△A′B′C′呢？（全等）師生活動：教師出示問題3，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)∠AOA′、∠BOB′等“對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角”等于旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)而作出線段OA、OA′、OB、OB′、OC、OC′，如圖7，歸納并證明三個結(jié)論：（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.在用文字語言從線段、角、圖形三個維度分別歸納圖7中存在的結(jié)論后，分別改變圖7中的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角及三角形的形狀和大小，通過課件演示讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到上述結(jié)論可以從特殊推廣到一般.最終，在師生互動反復(fù)矯正后，明確上述結(jié)論就是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).（1）觀察圖形，猜想結(jié)論.教師提問：圖7中的兩個三角形有怎樣的關(guān)系？學(xué)生給出“全等”的結(jié)論.在得到全體學(xué)生認(rèn)同后，教師板書結(jié)論（3）.（2）驗證猜想，抽取結(jié)論.在驗證△ABC≌△A′B′C′的過程中，教師就條件AB=A′B′的獲得過程進(jìn)行了深挖，讓學(xué)生明白OA=OA′、OB=OB′是概念抽象時獲得的“對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段相等”的應(yīng)用，同時板書結(jié)論（1）.在對條件∠AOB=∠A′OB′的探索過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOA′和∠BOB′始終相等，都等于旋轉(zhuǎn)角.通過對兩個角的特征的反復(fù)分析，歸納并板書結(jié)論（2）.（3）結(jié)論推廣，定格性質(zhì).分別改變圖7中的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角及三角形的形狀和大小，課件演示其旋轉(zhuǎn)過程，讓學(xué)生認(rèn)識到上述結(jié)論可以從特殊推廣到一般.最終，明確上述結(jié)論就是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

2.比對分析.

在“情境引入，抽象概念”環(huán)節(jié)，生成與預(yù)設(shè)基本是一致的.動畫的觀察與描述，讓學(xué)生充分感知了旋轉(zhuǎn)在實際生活中的普遍存在，讓學(xué)生充分體會到了圖形的旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)本質(zhì).接下來，從對“鐘面上，時針從3點到6點轉(zhuǎn)動”的描述，到時針被抽象為線段OA，物體的旋轉(zhuǎn)被徹底轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形的旋轉(zhuǎn).接下來的定義及相關(guān)概念的抽象，學(xué)生的活動經(jīng)驗和生活經(jīng)驗也就迅速被轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌臄?shù)學(xué)事實.在學(xué)生獲得AO＝BO及探索另一對對應(yīng)點P、P′相關(guān)結(jié)論的過程中，學(xué)生對對應(yīng)點的認(rèn)識與學(xué)習(xí)平移、軸對稱時相比又邁出了一大步，“任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段相等，且兩條線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角”的性質(zhì)“雛形”初步形成.

在“作圖探索，歸納性質(zhì)”環(huán)節(jié)，生成與預(yù)設(shè)間產(chǎn)生了較大的“偏差”.預(yù)設(shè)中，△A′B′C′是“描”出的，而現(xiàn)實中，不少學(xué)生是用“先作對應(yīng)點，再畫三角形”得到的.兩者相比，生成的作法是旋轉(zhuǎn)作圖中較為規(guī)范的方法.預(yù)設(shè)中的作法簡單明了，圖形的獲得過程十分清晰，但探究味兒不濃；實際教學(xué)中，板演學(xué)生給出的方法，是平移、軸對稱作圖時所積累的“先作對應(yīng)點，后作三角形”經(jīng)驗和本節(jié)課獲得的對應(yīng)點知識的應(yīng)用，讓對應(yīng)點的作圖價值得到了很好的發(fā)揮.在接下來的“分析圖形，探索性質(zhì)”中，作圖方法與預(yù)期產(chǎn)生偏差，使得教師不得不迅速調(diào)整教學(xué)問題，原本沿著“線段—角—三角形”展開的“線型”探索，轉(zhuǎn)變?yōu)椤叭切巍€段、角”的“包容”型探索，即由“圖7中的兩個三角形有怎樣的關(guān)系”引出△ABC≌△A′B′C′，在追問全等的條件時，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納“線段、角”的結(jié)論，預(yù)設(shè)中細(xì)碎的問題被融入三角形全等追究的過程中，問題解決與性質(zhì)歸納實現(xiàn)了完美融合.至于結(jié)論推廣，生成與預(yù)設(shè)是一致的，在旋轉(zhuǎn)要素的變化下，猜想得出的結(jié)論被迅速一般化，性質(zhì)也就自此生成.

三、教后反思

1.“意外”的生成緣由.

（1）新學(xué)知識的自然應(yīng)用.

本節(jié)課上，在得出△A′B′C′前，學(xué)生已經(jīng)獲得不少圖形旋轉(zhuǎn)的知識.其中，通過對時針的抽象，學(xué)生準(zhǔn)確地獲得了“線段的旋轉(zhuǎn)”或“點的旋轉(zhuǎn)”所產(chǎn)生的線段之間、角之間的關(guān)系：兩個對應(yīng)點A、B與O所連線段相等，且它們的夾角∠AOB等于本次旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角.隨著這兩個結(jié)論向另一對對應(yīng)點P、P′的有效遷移，對應(yīng)點知識的遷移障礙被徹底掃清，學(xué)生在作圖中想到它并用好它也就不奇怪了.

（2）基本經(jīng)驗的自然延續(xù).

在學(xué)習(xí)平移和軸對稱這兩種圖形變換時，作三角形、四邊形等直線型圖形的平移或軸對稱變換，學(xué)生一直是按照“先作對應(yīng)點，再連線成圖”的思路進(jìn)行的.由于對這一思路的反復(fù)鞏固和長期應(yīng)用，它已經(jīng)成為了學(xué)生圖形變換知識體系中的基本經(jīng)驗，牢牢地扎根于其認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中.本節(jié)課上，當(dāng)作圖要求提出后，這一經(jīng)驗便被學(xué)生迅速從知識網(wǎng)絡(luò)中提取出來，并與新學(xué)的兩個知識快速疊合，應(yīng)用并生成“意外”作法也就不意外了.

（3）個體思維的主動突破.

任何一次“意外”生成的出現(xiàn)，一定會有學(xué)生個體創(chuàng)新思維的參與.只有當(dāng)學(xué)生開始追求異樣解法時，其思維的爆發(fā)力才會凸顯出來.也只有在這種狀態(tài)下，一些異于常規(guī)的解法才會走進(jìn)課堂，進(jìn)入到教師與學(xué)生的視野之中，為課堂教學(xué)錦上添花.當(dāng)然，只有當(dāng)學(xué)生思維發(fā)展、知識積聚和能力提升到達(dá)一定的高度后，這樣的主動突破才能成為教學(xué)現(xiàn)實.因而，我們不應(yīng)也不能期盼這樣的思維突破在每節(jié)課中都出現(xiàn).

2.幾點教學(xué)啟示.

（1）尊重意外生成，共享思維成果.

意外生成是基于學(xué)生已有知識與經(jīng)驗之上的合理產(chǎn)物，是學(xué)生經(jīng)過深思熟慮后的思維成果.雖然意外生成可能偏離了教師的教學(xué)預(yù)期，可能會給我們的教學(xué)帶來較大的波動，甚至?xí)绊懙筋A(yù)設(shè)教學(xué)進(jìn)程的推進(jìn)，但我們絕不能因為它對教學(xué)可能產(chǎn)生的干擾，而無視其存在，不聞不問，直接將學(xué)生的思維強拉硬拽回教前預(yù)定的軌道上來.筆者認(rèn)為，教師應(yīng)當(dāng)尊重并用好這些意外生成，使其很好地服務(wù)于師生的課堂教學(xué).這種尊重，主要表現(xiàn)為對出錯學(xué)生的包容和對異常成果的應(yīng)用.也就是當(dāng)“意外”出現(xiàn)時，我們首先要做的不是否定學(xué)生，而是給予學(xué)生的探索以積極的評價，然后努力從學(xué)生的角度來找尋成果及其獲得過程的閃光點，并敏銳地捕捉或建構(gòu)出新知的生長點.顯然，整個教學(xué)進(jìn)程，教師應(yīng)始終以欣賞的眼光來看待并處理學(xué)生的這些“意外”成果，并努力讓每名課堂教學(xué)參與者從中收益.筆者認(rèn)為，這種對學(xué)生學(xué)習(xí)成果的尊重，讓“異樣”成果的教學(xué)價值得以全盤發(fā)揮，能最大限度地保持學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，為其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效提升保駕護航.對于“意外”制造者來說，對其“成果”的尊重?zé)o疑是一種肯定和鼓勵，其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心也必將得以繼續(xù)保持，在成果的分析與經(jīng)驗的共享過程中，教師的反復(fù)追問同時能將其潛能挖掘出來，讓他們在“知其然，且知其所以然”的道路上越走越遠(yuǎn)；對于其他學(xué)生來說，不管對意外生成的態(tài)度是贊同還是反對，都需要個體思維的積極參與，而此間最為重要的是他們對意外發(fā)生后教師態(tài)度的真切感知，這將會對他們后續(xù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生深遠(yuǎn)而積極的影響；對教師而言，“意外”來襲，積極應(yīng)對將會全方位調(diào)動教師的教學(xué)思維，這種教學(xué)經(jīng)歷的反復(fù)體驗必然會提升教師的課堂應(yīng)變能力和意外處置能力.

（2）剖析意外生成，挖掘教學(xué)價值.

“意外”生成，不管對錯，因為其偏離了教者的預(yù)設(shè)軌道，所以，一旦出現(xiàn)就會干擾課堂教學(xué)的進(jìn)程.為了減小其對教學(xué)的影響，給學(xué)生營造出寬松、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，當(dāng)意外發(fā)生后，我們一般應(yīng)先給予積極的評價，然后迅速分析這些“意外”生成的教學(xué)價值.如果價值不大，給出一個正向評價，表揚到位一點，矯正深刻一點，迅速發(fā)揮其教學(xué)效益即可；如果發(fā)現(xiàn)價值較大，教師就應(yīng)“借機生事”，將意外“做大做強”，結(jié)合已有知識和將學(xué)知識進(jìn)行價值深挖，在“意外”中找尋新知的生長點，打造價值的增長點.以本文中的案例為例，意外發(fā)生后，教師迅速對學(xué)生的作圖方法進(jìn)行了價值分析，在對已有知識的分析中，發(fā)現(xiàn)：“學(xué)習(xí)平移、軸對稱等變換時，積累的對應(yīng)點的知識及其相關(guān)作圖經(jīng)驗”是學(xué)生給出作法的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗鋪墊，而這一切同樣是本節(jié)課繼續(xù)探索新知的基礎(chǔ)，此外，如果不是本節(jié)課上概念抽象時對對應(yīng)點的深度認(rèn)知，出現(xiàn)這一意外的可能性是很小的.所以，本節(jié)課應(yīng)沿著對應(yīng)點的認(rèn)知展開進(jìn)一步的教學(xué)，通過對學(xué)生所認(rèn)同的“旋轉(zhuǎn)前、后的兩個圖形全等”的追問，將“對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段相等”和“對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角”嵌入到△ABC≌△A′B′C′的全等條件的剖析中，擇機引導(dǎo)，相機總結(jié).從實際教學(xué)成效看，這樣的學(xué)程變更顯然是成功的，學(xué)生在獲得這些知識的同時，對數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過程有了完整的感知，尤其對結(jié)論證明的“步步有理”有了更為深刻的認(rèn)知，這對其后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無疑是大有益處的.關(guān)于意外生成的教學(xué)價值分析，筆者認(rèn)為能夠作出迅速判斷并調(diào)整教學(xué)進(jìn)程的教師不少，但如何做才能“在不動聲色中調(diào)整到位，達(dá)成教學(xué)效益的最大化”，這對教師的個人素養(yǎng)有著極高的要求.首先，教師應(yīng)具有較為豐富的學(xué)科知識，能及時對學(xué)生的學(xué)習(xí)成果作出準(zhǔn)確判斷，此外，教師還應(yīng)具備強大的現(xiàn)場分析與處置能力，尤其是既想讓意外生成者感到舒服，又能讓全體學(xué)生坦然應(yīng)用交流，沒有強大的應(yīng)變能力估計是很難做到的.

（3）強化互動交流，把握教學(xué)契機.

既然是“意外”，就必定是異乎尋常的，其出現(xiàn)也就一定與學(xué)生已有知識經(jīng)驗和良好思維品質(zhì)是緊密關(guān)聯(lián)的.為了讓學(xué)生的知識經(jīng)驗繼續(xù)充實，讓其思維不斷優(yōu)化，我們就應(yīng)努力從這些“意料之外”中找尋并應(yīng)用于“預(yù)計之中”.那么，面對這些意外，我們究竟該如何下手呢？筆者認(rèn)為，意外出現(xiàn)后，就算是一線的教學(xué)“老手”，生成與預(yù)設(shè)的差異也會讓他們感到些許恐慌.待到鎮(zhèn)定下來，很多教師都會隨口追問諸如“為什么”或“你是怎么想到的”.這樣的隨意追問，有時或許能引出接下來的探索，但更多的時候會因為問題的過于寬泛而導(dǎo)致無果而終，這顯然不是教師想看到的.筆者認(rèn)為，突破此困境最有效的辦法，是教師所進(jìn)行的追問必須使用精心設(shè)計的問題組，這些問題之間應(yīng)具有明顯的梯度和清晰的指向.但由于意外生成在瞬間，其應(yīng)對策略也就必須在很短的時間內(nèi)形成，這就導(dǎo)致教師對意外的剖析未必能全面、到位.顯然，在追問實施過程中，教師還應(yīng)根據(jù)學(xué)生的作答對提問的方向進(jìn)行必要的調(diào)整，以確保新知生成的每一契機都為教師所把握并為教學(xué)所用.還是回到上面的案例，教者原本為圖7設(shè)計了6個小的問題，但由于出現(xiàn)了與預(yù)期作法不一樣的作圖方法，在稍作思量后便將教學(xué)問題變更為“圖7中的兩個三角形有怎樣的關(guān)系”，隨后的探索就圍繞著“這兩個三角形為什么全等”“OA為什么等于OA′”“∠AOB=∠A′OB′是怎么得到的”等一系列問題展開，這些問題指向的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，其獲得的過程由原來的“點→線段→角→圖形”四級變更為“圖形→點、線段、角”的兩級.教師的每一次追問，都是學(xué)生思維向教學(xué)目標(biāo)邁進(jìn)的一個臺階，一問一答中，知識生成，能力提升，素養(yǎng)發(fā)展，意外教學(xué)步入意料行列，“學(xué)為教用，教為學(xué)用”的教學(xué)合一的境界就此真正實現(xiàn).

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.沈曄.預(yù)設(shè)操作跟進(jìn)追問，掌握知識發(fā)展思維——圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時）教學(xué)設(shè)計與解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（7）.

3.林群.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

4.林群.義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書·數(shù)學(xué)（九年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

5.印冬建.基于系統(tǒng)觀的新授教學(xué)——以人教版“18.1平行四邊形（第1課時）”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

6.王杰航.“旋轉(zhuǎn)”（第1課時）教學(xué)設(shè)計［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（12）.

7.印冬建.復(fù)式分組與公平教學(xué)［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（12）.