☉湖北武漢市漢鐵初級(jí)中學(xué) 馮 英

☉湖北武漢二中廣雅中學(xué) 李鴻運(yùn)

近年來，在全國各地中考?jí)狠S題的關(guān)鍵一問中，大多涉及二次函數(shù)與一次函數(shù)問題，本題就拋物線上一“特征點(diǎn)”的求法進(jìn)行了深入探究，對(duì)已知條件中的“兩倍角”問題這一學(xué)生感到棘手的難點(diǎn)進(jìn)行多途徑的突破，歸納出以下八種不同的解決方法，以饗讀者.

問題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，連接CD，使∠DCA=2∠BAC.若存在這樣的點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1

方法1：如圖2.取AC的中點(diǎn)P，可得P（-2，1），直線OP的解析式為

過C點(diǎn)作DC∥PO交拋物線于點(diǎn)D.

則有：∠DCP=∠CPO=2∠BAC.

圖2

圖3

方法2：如圖3.取點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E，則E（4，0），連接EC并延長交拋物線于點(diǎn)D，則∠CAB=∠CEB，∠DCA=2∠CAB.

方法3：如圖4.過C作CH∥x軸，過A作AH⊥x軸，兩線交于H，作A點(diǎn)關(guān)于CH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交拋物線于點(diǎn)D，∠A′CH=∠ACH=∠CAO，則∠A′CA=2∠BAC，A′（-4，4）.

圖4

圖5

方法4：如圖5.在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)P，使OP=OC，則P（0，-2）.連接AP，過C作CD∥AP交拋物線于D，則∠CAP=2∠CAB=∠DCA.

方法5：如圖6.連接BC.由OA=4，OC=2，OB=1，可得∠ACB=90°，取AB的中點(diǎn)M.

過A作AP⊥AC交CD的延長線于P，過P作PH⊥x軸于H.

圖6

圖7

求得D（-2，3）.

方法6：如圖7.過D作DH⊥y軸于H，并延長交AC于P.

則∠DPC=∠CAB.

當(dāng)∠DCA=2∠CAB時(shí)，有∠DPC=∠PDC，則tan∠PDC=

設(shè)CH=a，則D（-2a，a+2）.

方法7：如圖8.過D作DM⊥x軸于M，交AC于G；過C作CH⊥DM于H.

∠DCA=2∠BAC，∠HCA=∠BAC，則∠DCH=∠ACH，則D、G關(guān)于CH對(duì)稱.解得m1=0（舍），m2=-2，則D（-2，3）.

圖8

圖9

設(shè)CF=3a，則HF=6a，EH=4a，DE=8a，則D（-10a，2+

點(diǎn)評(píng)：在拋物線上求一個(gè)點(diǎn)的方法往往是由題意先求出過該點(diǎn)所在直線的解析式，再和拋物線方程聯(lián)立，得到該點(diǎn)的坐標(biāo).以上8種方法中，方法1至5都是這一思想，不同之處是直線CD的構(gòu)造方法不同，或者說直線CD上的“特征點(diǎn)”的選擇不同而產(chǎn)生了5種不同的求特征直線的方法.方法6至8則是由邊角關(guān)系得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中，從而求得D點(diǎn)的坐標(biāo).三角形相似和三角函數(shù)都用上了，各有特色，匠心獨(dú)運(yùn)，值得讀者仔細(xì)琢磨、體會(huì).有創(chuàng)造性的解法歡迎讀者交流.