☉江蘇省啟東市鶴城初級(jí)中學(xué) 印 衛(wèi)

在初中平面幾何中，有一類在動(dòng)態(tài)問題中求線段最值的問題.這類題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，要求解題者具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力及創(chuàng)造意識(shí).下面，我們一起來探討一下此類問題的解法.

一、運(yùn)用軸對(duì)稱變換解決線段最值問題

例1（2013年內(nèi)江）如圖1，已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值=_______.

圖1

圖2

分析：M和N都是定點(diǎn)，且都在直線BD的同側(cè)，這個(gè)問題同人教版八年級(jí)上冊(cè)第85頁問題1.如圖2，作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ.則PM=PQ，把PM轉(zhuǎn)化為PQ，于是，求PM+PN的最小值即求PQ+PN的最小值.因?yàn)镼，N為定點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得線段QN即為所求.

例2（2017年啟東市一模）如圖3，已知正比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖像與x軸相交所成的銳角為70°，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)y=kx（k＞0）的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+MP+PN的最小值為（ ）.

圖3

圖4

A.2

B.4sin40°

C.2

D.4sin20°（1+cos20°+sin20°cos20°）

分析：如圖4所示，直線OC、y軸關(guān)于直線y=kx對(duì)稱，直線OD、直線y=kx關(guān)于y軸對(duì)稱，A′是A關(guān)于直線y=kx的對(duì)稱點(diǎn)，E是N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn).于是求AM+MP+PN的最小值就是求A′M+PM+PE的最小值.因?yàn)锳′是定點(diǎn)，其他都是動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)用“垂線段最短”的原理，作A′E垂直直線OD，垂足為E.所以AM+PM+PN=A′M+PM+PE=A′E最小.在Rt△A′EO中，因?yàn)椤螦′EO=90°，OA′=4，∠A′OE=

策略：此類題的背景材料往往是角、矩形、菱形、正方形等具有軸對(duì)稱性的圖形，解題時(shí)，通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化其中一條或幾條線段，再運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”的原理，實(shí)現(xiàn)“化折為直”就可以解決.

二、運(yùn)用平移變換解決線段最值問題

例3（人教版八年級(jí)上冊(cè)第86頁問題2造橋選址問題）如圖5，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？在圖中畫出路徑，不寫畫法但要說明理由.（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

圖6

圖5

分析：雖然A、B兩點(diǎn)在河的兩側(cè)，但連接AB的線段與河岸不垂直.關(guān)鍵在于AM+BN最小，但AM與BN未連在一起，所以，應(yīng)該進(jìn)行以下操作：如圖6，把BN沿與河岸垂直的方向平移至MB′，這樣，相當(dāng)于把BN轉(zhuǎn)化為MB′.于是，求AM+BN最小，相當(dāng)于求AM+MB′最小.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，線段AB′最短，即AM+BN最短.故橋建立在MN處符合題意.

策略：本題通過平移變換，轉(zhuǎn)化一條線段，從而順利運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決了問題.

三、運(yùn)用平移及軸對(duì)稱變換解決線段最值問題

例4 （2012年南寧）已知點(diǎn)A（3，4），B為直線x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B（-1，y）.

（1）如圖7，若點(diǎn)C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

圖7

圖8

（2）在（1）的條件下，y是否有最大值？若有，請(qǐng)求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖8，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）時(shí)，在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1.線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時(shí)，四邊形ABEF的周長(zhǎng)最?。壳蟪龃藭r(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

分析：本題中的第（3）題涉及的問題是線段的最值問題.如圖8，由于線段AB與線段EF為定值，所以求四邊形ABEF周長(zhǎng)的最小值，相當(dāng)于求BE+AF的最小值，于是問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)E在x軸的什么位置時(shí)，BE+AF最小.此問題是例1與例3的綜合.先把線段AF左移1個(gè)單位至A′E，求BE+AF的最小值就轉(zhuǎn)化為求BE+A′E的最小值.接下來作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E就這樣確定下來后，再在x軸上截取線段EF=1，則此時(shí)四邊形ABEF的周長(zhǎng)最小.

策略：本題綜合性比較強(qiáng)，先運(yùn)用圖形的平移把題目轉(zhuǎn)化為例1模型，再用例1模型解決問題.

四、運(yùn)用旋轉(zhuǎn)解決線段最值問題

例5（2014年通州區(qū)一模）如圖9，邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是（ ）.

圖9

圖10

分析：由于線段HN不改變位置無法解決問題，只能根據(jù)題意轉(zhuǎn)化線段HN.把△HNB繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△GMB，此時(shí)G正好落在BC的中點(diǎn)處.這樣很順利地就把線段HN轉(zhuǎn)化為線段MG.于是根據(jù)“垂線段最短”的原理，當(dāng)MG⊥CH時(shí)，MG最短，即HN最短.

策略：當(dāng)題目中有明顯的旋轉(zhuǎn)變換而又無法直接解決線段最值問題，想到用旋轉(zhuǎn)變換反過來轉(zhuǎn)回，以達(dá)到轉(zhuǎn)化線段的目的.

五、運(yùn)用軌跡解決線段最值問題

例6 （2016年安徽）如圖11，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（ ）.

圖11

圖12

分析：本題顯然不能用上述方法解決.由于C是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，所以CP的大小就由點(diǎn)P的位置來決定.本題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC內(nèi)何處時(shí)，線段CP的長(zhǎng)最小.于是，我們就想到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡問題.由∠PAB=∠PBC，得∠APB=90°，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小.

策略：本題解題關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的位置，明確點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，然后利用圖13所示的基本圖形求出最值.

綜合分析：以上方法，無論是軸對(duì)稱、平移還是旋轉(zhuǎn)或是軌跡圓，都是通過幾何作圖分析，運(yùn)用基本原理、基本圖形解決的.但有些幾何問題，并不一定都通過幾何方法來解決的，有時(shí)要通過函數(shù)或方程思想來解決.

圖13

六、運(yùn)用函數(shù)思想解決線段最值問題

例7（2016年日照）如圖14，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，Q是以C（0，-1）為圓心、1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q的切線交線段AB于點(diǎn)P，則線段PQ的最小是_______.

分析：此題中，點(diǎn)P的位置隨著點(diǎn)Q的位置變化而變化，又由于點(diǎn)Q在圓上，且PQ與圓C相切，所以用作圖的幾何方法很難解決.這時(shí)，我們?cè)囈幌麓鷶?shù)思想：函數(shù)思想，想一下線段PQ與哪些線段有關(guān).不妨運(yùn)用切線常見的輔助線，連接CQ，連接CP，構(gòu)造了直角△PCQ，從而所以PQ的大小隨著CP的變化而變化，CP越小，PQ越小，而當(dāng)CP垂直AB時(shí)CP最小.求出了CP的最小值再代入上式就可求出PQ的最小值.

圖14

圖15

策略：遇到此類題，千萬不能放棄，記住一點(diǎn)，幾何問題并不一定都是通過幾何方法解決的，不要忘記函數(shù)思想、方程思想等代數(shù)思想，其中函數(shù)思想是求最值的常用方法.

作為教師，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中應(yīng)該立足教材，深挖教材，拓展例題習(xí)題，重視學(xué)生的探究；作為學(xué)生，解題不在多，要善于歸類反思，找到變化萬千的試題背后最本質(zhì)的原理模型，這樣才能發(fā)展思維，拓展能力.H