■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

本刊特邀欄目專家簡介：

高慧明 首屆全國十佳班主任,全國著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師,國家教育部課程改革“全國先進(jìn)工作者”,全國著名高考數(shù)學(xué)命題與考試研究專家,國家教育部“國培計(jì)劃”全國中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長培訓(xùn)特邀主講專家。受邀在全國各地做有關(guān)高考科學(xué)備考、班級(jí)管理等多個(gè)專題報(bào)告,場場好評(píng)如潮,在全國引起強(qiáng)烈反響。現(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué)高中部。

一、三角中的關(guān)鍵詞——三角恒等變換

1.兩角和與差的三角函數(shù)公式。

(1)會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。

(2)會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。

(3)會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

2.簡單的三角恒等變換。

能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但不要求記憶)。

解讀：“兩角和與差的三角函數(shù)公式”的整體要求就是會(huì)推、會(huì)用。這是進(jìn)行三角函數(shù)式化簡求值的主要依據(jù),是高考命題的重點(diǎn),要掌握一定的化簡技巧。看清要求——“積化和差、和差化積、半角公式,但對(duì)這三組公式不要求記憶”,所以不要做無用功哦。

命題預(yù)測：全國卷對(duì)三角的命題：小題一般主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、利用誘導(dǎo)公式與和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化簡。大題主要以正、余弦定理為知識(shí)框架,以三角形為依托進(jìn)行考查(注意在實(shí)際問題中的考查),或向量與三角結(jié)合考查三角函數(shù)化簡求值以及圖像與性質(zhì)。

例1 (1)求函數(shù)f(x)=sinx·cosx+cos2x,x∈的值域;

(2)求函數(shù)f(x)=sinx+cos2x的值域。

解析：(1)f(x)=sinx·cosx+cos2x=

(2)f(x)=sinx+cos2x=-sin2x+sinx+1,令sinx=t,t∈[-1,1],函數(shù)變?yōu)閥=-t2+t+1,值域?yàn)?/p>

例2 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,tanC=26。

(1)求cosC;

(2)若ab=20,且a+b=9,求△ABC的周長。

(2)因?yàn)閍b=20,又因?yàn)閍+b=9,所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41。所以c2=a2+b2-2abcosC=33,所以c=33。故△ABC的周長為a+b+c=9+33。

二、數(shù)列中的關(guān)鍵詞——通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式

1.掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

(1)掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,了解其導(dǎo)出過程。

(2)掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì),特別是等差、等比中項(xiàng)問題,熟練掌握a1,an及公差d(或公比q)知三求二的運(yùn)算,理解等差、等比數(shù)列中通項(xiàng)公式的特點(diǎn),掌握求通項(xiàng)公式an的方法及有關(guān)最值的計(jì)算。

2.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

(1)掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,了解其導(dǎo)出過程。

(2)熟練掌握等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的特點(diǎn),掌握求前n項(xiàng)和Sn的方法及有關(guān)最值的計(jì)算。

解讀：數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系雖然沒出現(xiàn)在考綱中,但也是高考命題的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。等差、等比數(shù)列在考綱中的要求與其在高考中的地位是相符的,均是命題的重點(diǎn)。等比數(shù)列求和的時(shí)候千萬要先考慮公比是否為1啊!還有,一定要能靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決相關(guān)問題?？季V中沒有明確提出掌握求通項(xiàng)公式an的方法,但是在具體考試的過程中,疊加、疊乘、待定系數(shù)還是有所涉及的,復(fù)習(xí)過程中應(yīng)引起重視!數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù),既然是特殊的函數(shù),那么在確定數(shù)列最值的時(shí)候,自然也有它自身特殊的方法!

命題預(yù)測：全國卷對(duì)數(shù)列的命題：2個(gè)小題或1個(gè)大題,小題以考查數(shù)列概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容為主,屬中低檔題;解答題以考查等差(比)數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式、錯(cuò)位相減求和、簡單遞推為主。

例3 已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an+p·2n-1+1(n∈N*,p為常數(shù)),a1,a2,a3-2成等差數(shù)列。

(Ⅰ)求p的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}滿足明

解析：(Ⅰ)由a1,a2,a3-2成等差數(shù)列,知2a2=(a3-2)+a1,可得p=2。然后利用疊加的方法可求得an=2n+n-1。

bn+1-bn<0,則n＞1+2,即n≥4時(shí)bn+1

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)求Sn(n∈N*)的最值。

解析：(Ⅰ)當(dāng)q=1時(shí),-2S2=-4a1=

因?yàn)?S3≠-2S2+4S4,故q≠1。

由2S3=-2S2+4S4及Sn=,得q2·(2q2-q-1)=0,所以q=或q=1(舍去)。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：

綜上,Sn的最大值為,最小值為

三、立體幾何中的關(guān)鍵詞——空間位置關(guān)系、空間向量

1.理解空間位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理。

判定定理：(1)平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。

(2)一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。

(3)一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則該直線與此平面垂直。

(4)一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直。

性質(zhì)定理：(1)如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線和該直線平行。

(2)兩個(gè)平面平行,則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行。

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

(4)兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

解讀：空間線面位置關(guān)系的判斷經(jīng)常以命題判斷的形式進(jìn)行考查,判斷空間中的線面關(guān)系時(shí),要把平面幾何中的知識(shí)與空間中的線面關(guān)系區(qū)分開來,不要熬成“大鍋飯”,亂成一團(tuán)。

空間線面位置關(guān)系的推理與證明以平面圖形中的線線關(guān)系為基礎(chǔ),所以要注意將空間中的問題通過平面的基本性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為平面圖形中的問題來解決,這就是平面化的數(shù)學(xué)思想。

判定定理是我們證明空間平行與垂直關(guān)系的主要依據(jù)!證明時(shí),條件要全,結(jié)論才能準(zhǔn)確,亂改誤用條件,證明就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

性質(zhì)定理是我們處理已知條件中的空間線面關(guān)系的重要依據(jù)!一般是將面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系,將線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系。尤其要注意線面平行與面面垂直的性質(zhì)定理,要準(zhǔn)確把握定理中的條件,考題多通過改變條件或減少條件給出一些命題進(jìn)行判斷,一定要牢記條件喲!

2.空間向量與立體幾何。

(1)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。

(2)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直。

(3)理解直線的方向向量及平面的法向量。

(4)能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系。

(5)能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理。

(6)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題,了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用。

解讀：空間向量的要求都比較高,以“掌握”、“能用”為主,說明此處是高考命題的重點(diǎn)!作為解決空間線面關(guān)系、空間角與距離的求解的基本工具,一定要熟練掌握其基本運(yùn)算。在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí),一定要結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,準(zhǔn)確記憶公式,準(zhǔn)確地用向量探究空間關(guān)系、用向量度量空間角。

命題預(yù)測：全國卷對(duì)立體幾何的命題：2道小題和1道大題,小題必考三視圖,一般側(cè)重于線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系,以及空間幾何體中的空間角、距離、面積、體積的計(jì)算的考查,另外,特別注意對(duì)球的組合體的考查。解答題以平行、垂直、夾角、距離等為考查目標(biāo)。幾何體以四棱柱、四棱錐、三棱柱、三棱錐等為主。

例5 如圖1,在幾何體ABCDEF中,底面ABCD為矩形,EF∥CD,AD⊥FC。點(diǎn)M在棱FC上,平面ADM與棱FB交于點(diǎn)N。

(Ⅰ)求證：AD∥MN;

(Ⅱ)求證：平面ADMN⊥平面CDEF;

(Ⅲ)若CD⊥EA,EF=ED,CD=2EF,平面ADE∩平面BCF=l,求二面角A-l-B的大小。

解析：(Ⅰ)因?yàn)锳BCD為矩形,所以AD∥BC,所以AD∥平面FBC。又因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN,所以AD∥MN。

(Ⅱ)因?yàn)锳BCD為矩形,所以AD⊥CD。因?yàn)锳D⊥FC,所以AD⊥平面CDEF。所以平面ADMN⊥平面CDEF。

(Ⅲ)因?yàn)镋A⊥CD,AD⊥CD,所以CD⊥平面ADE,所以CD⊥DE。

圖1

由(Ⅱ)得AD⊥平面CDEF,所以AD⊥DE,所以DA,DC,DE兩兩互相垂直。

圖2

建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖2所示。不妨設(shè)EF=ED=1,則CD=2。設(shè)AD=a(a＞0),由題意得A(a,0,0),B(a,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1)。所以=(a,0,0)=(0,-1,1)。

設(shè)平面FBC的法向量為n=(x,y,z),

因?yàn)槎娼茿-l-B的平面角是銳角,所以二面角A-l-B的大小為45°。

【同步練習(xí)】

1.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且atanC=2csinA。

(Ⅰ)求角C的大小;

(Ⅱ)求sinA+sinB的取值范圍。

2.設(shè){an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,{bn}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列。記cn=an+bn,n=1,2,3,…。

(Ⅰ)若{cn}是等差數(shù)列,求q的值;

(Ⅱ)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn。

3.如圖3,在正四棱錐P-ABCD 中,已知PA=AB,E,F分別為PB,PD的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求證：AC⊥平面PBD;

(Ⅱ)求異面直線PC與AE所成角的余弦值;

圖3

【參考答案】

2.(Ⅰ)因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,所以an=2n-1。因?yàn)閧bn}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列,所以bn=qn-1。所以cn=an+bn=2n-1+qn-1。因?yàn)閧cn}是等差數(shù)列,所以2c2=c1+c3,即2(3+q)=2+5+q2,解得q=1。經(jīng)檢驗(yàn),q=1時(shí),cn=2n,所以{cn}是等差數(shù)列。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知cn=2n-1+qn-1(n=1,2,…),所以

當(dāng)q=1時(shí),Sn=n2+n。

3.(Ⅰ)設(shè)AC∩BD=O,則O為底面正方形ABCD的中心。連接PO,因P-ABCD為正四棱錐,所以PO⊥平面ABCD。所以PO⊥AC。又BD⊥AC,且PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD。

(Ⅱ)因?yàn)镺A,OB,OP兩兩互相垂直,如圖4,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz。因?yàn)镻B=AB,所以Rt△POB≌Rt△AOB,所以O(shè)A=OP。設(shè)OA=2,則A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(0,-1,1)。故=(-2,1,1),=(-2,0,-2)。所以|cos|=即異面直線PC與AE所成角的余弦值為。

圖4