■山東省肥城市第一高級中學 董欣月

立體幾何中的探索性問題立意新穎,形式多樣,求解探究過程既能夠考查同學們的空間想象力,又可以考查同學們的意志力和探究創(chuàng)新意識,逐步成為近幾年高考命題的熱點和今后命題的趨勢之一。其主要有兩類：一是推理型,即探究空間中的平行與垂直關系,可以利用空間線面關系的判定與性質定理進行推理探究;二是計算型,即對幾何體中的空間角與距離、幾何體的體積等計算型問題的有關探究,此類探究性問題可以轉化為關于某個參數的方程,根據方程解的存在性來解決。

透析1——“幾何法”探究以“平行”為背景的探索性問題

例1 (2017年吉林百校聯(lián)盟九月聯(lián)考)如圖1,在四棱錐E-ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=3AB。

(1)求證：平面ACE⊥平面CDE。

圖1

(2)在線段DE上是否存在一點F,使AF∥平面BCE?若存在,求的值;若不存在,說明理由。

解析：(1)因為CD⊥平面ADE,AE?平面ADE,所以CD⊥AE。又因為AE⊥DE,CD∩DE=D,所以AE⊥平面CDE。因為AE?平面ACE,所以平面ACE⊥平面CDE。

透析：求解直線和平面平行的存在探索性問題,一定要靈活利用空間幾何體的結構特征,注意其中的平行、垂直及長度之間的關系,取特殊點構造輔助面完成線和面內的直線平行,其中依據性質定理作輔助線和輔助面是關鍵,本題取ED的三分之一點F構造平行四邊形,凸顯空間問題平面化的特點。

透析2——“幾何法”探究以“垂直”為背景的探索性問題

例2 (2017屆廣東七校聯(lián)合體高三上學期聯(lián)考)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AD,DD1的中點,AB=BC=2,過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后,得到如圖2所示的幾何體ABCD-A1C1D1,且這個幾何體的體積為。

圖2

(1)求證：EF∥平面A1BC1。

(2)求A1A的長。

(3)在線段BC1上是否存在點P,使直線A1P與C1D垂直?如果存在,求線段A1P的長;如果不存在,請說明理由。

解析：(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,可知AB∥D1C1,AB=D1C1。由四邊形ABC1D1是平行四邊形,所以。因為E,F分別是AD,DD1的中點,所以AD1∥FE,則EF∥BC1。又EF?面A1BC1,BC1?面A1BC1,則EF∥平面A1BC1。

(2)因為VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-

(3)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于點Q,過點Q作QP∥CB交BC1于點P,則A1P⊥C1D。因為A1D1⊥平面CC1D1D,而C1D?平面CC1D1D,所以C1D⊥A1D1。又QP∥CB,CB∥A1D1,所以QP∥A1D1。

又因為A1D1∩D1Q=D1,所以C1D⊥平面A1PQC1,且A1P?平面A1PQC1,所以A1P⊥C1D。由Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD,得,所以C1Q=1。又因為PQ∥BC,所以。因為四邊形A1PQD1為直角梯形,且高D1Q=5,所以A1P=

透析：求解以特殊幾何體為背景的線線垂直關系的探索性問題,常依據幾何體的特殊性質,合理選擇構造一條直線和另一條直線所在的平面垂直。本題選擇C1D和經過點A1且與BC1相交于點P的平面,通過作D1Q⊥C1D交CC1于點Q,過點Q作QP∥CB交BC1于點P,構造出的輔助面為直角梯形。

透析3——“向量法”求解以“角”為背景的探索性問題

例3 (2017年天津市濱海新區(qū)八校聯(lián)考)如圖3,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,PA=AB,AB∶AD∶CD=2∶2∶1。

圖3

(1)證明BD⊥PC;

(2)求二面角A-PC-D的余弦值;

(3)設點Q為線段PD上一點,且直線AQ與平面PAC所成角的正弦值為,求的值。

解析：由題意知AB,AD,AP兩兩垂直,所以以A為坐標原點,以AB,AD,AP的方向為x,y,z軸的正方向建立如圖4所示的空間直角坐標系,由題設知B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(1,2,0)。

圖4

設θ為直線AQ與平面PAC所成的角,而平面PAC的法向量為m=(2,-1,0),

透析：求解與“兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角”有關的存在性問題,常利用空間向量法解決,可以避開抽象、復雜的尋找角的過程,只要能夠準確理解和熟練應用夾角公式|cosθ|=|cos|可以把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解,是否有規(guī)定范圍內的解”等問題。事實說明,空間向量法是探究立體幾何中存在性問題的強有力的方法。