（蘭州市七里河區(qū) 王官營中心校，甘肅 蘭州 730050）

數(shù)的運(yùn)算是人們在日常生活中應(yīng)用最多的數(shù)學(xué)知識，因此它歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容，培養(yǎng)小學(xué)生的計(jì)算能力也一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一。現(xiàn)實(shí)的運(yùn)算教學(xué)中，通常以“熟能生巧”作為理論支撐，以“反復(fù)機(jī)械訓(xùn)練”作為提高學(xué)生運(yùn)算能力的基本方式，運(yùn)算教學(xué)更多地是追求“又對、又快、又準(zhǔn)”。不可否認(rèn)，這是一種提高測試效果的有效途徑。但另一方面，大量的機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練使師生的負(fù)擔(dān)無限制的增加，導(dǎo)致學(xué)生感到數(shù)學(xué)枯燥無味，讓其厭煩，嚴(yán)重地摧殘著學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，侵占了學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的時(shí)間，泯滅了學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和創(chuàng)造力，抑制了學(xué)生進(jìn)行思維提升和有意義學(xué)習(xí)的進(jìn)展。

運(yùn)算教學(xué)如何發(fā)揮其培養(yǎng)學(xué)生思維的教育價(jià)值？運(yùn)算教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的探究能力而不泯滅學(xué)生的求知欲望？如何充分挖掘運(yùn)算教學(xué)的教育價(jià)值而能仍然保持學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情？這些值得，也必須引起我們思考。

一、緣起

如今，信息技術(shù)讓世界變得平坦，知識不再是少數(shù)精英掌握的機(jī)密，思維方式的培養(yǎng)，為世界各國所共同重視。作為基礎(chǔ)教育工作者，尤其是作為培養(yǎng)思維的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，應(yīng)該深思：我們的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該肩負(fù)怎樣的使命！自恢復(fù)高考以來，全國各地共產(chǎn)生了二千多名“高考狀元”，但無一科技創(chuàng)新人才，大都在各自的崗位平庸地默默無聞，并未給祖國的建設(shè)提供過多于一般人的貢獻(xiàn)！究其緣由，他們只是考試的狀元、知識的狀元、技能的狀元，而不是實(shí)踐的狀元、創(chuàng)新的狀元。而且，中小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過重是困擾基礎(chǔ)教育階段全面實(shí)施素質(zhì)教育的重要問題，是關(guān)系能否培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力一代新人的重大問題，長期以來受到社會(huì)各界和人民群眾的廣泛關(guān)注。學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)從何而來？誠然課業(yè)負(fù)擔(dān)過重占了很大因素，但是無意義、低價(jià)值、機(jī)械重復(fù)的課業(yè)也是加重學(xué)生身體負(fù)擔(dān)和心理負(fù)荷的重要因素。

對比2001版《課程標(biāo)準(zhǔn)》和2011版《課程標(biāo)準(zhǔn)》的提出的核心概念，可以發(fā)現(xiàn)：運(yùn)算能力是核心概念中唯一新增的內(nèi)容（其他為原核心概念的分解或表達(dá)改變）?！稑?biāo)準(zhǔn)》的這種改變，增加了什么？弱化了什么？我們該以怎樣的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行取舍？是繼續(xù)強(qiáng)化在規(guī)則記憶下的機(jī)械訓(xùn)練呢？還是加強(qiáng)算理的理解和算法的探究呢？

二、“運(yùn)算能力”涵義界定

為了能遵循教育學(xué)和數(shù)學(xué)能力形成的規(guī)律，能準(zhǔn)確把握《標(biāo)準(zhǔn)（2011）》的理念，按照《標(biāo)準(zhǔn)（2011）》的真正意圖開展項(xiàng)目研究，我們需要站在歷史的和國際的數(shù)學(xué)教育發(fā)展平臺上解讀“運(yùn)算能力”應(yīng)有涵義。

（一）從歷史的視角解讀“運(yùn)算能力”的概念內(nèi)涵

1923年《算術(shù)科課程綱要》對于運(yùn)算的教學(xué)要求：（1）宜注意從學(xué)生生活里使學(xué)生發(fā)展需要工具的動(dòng)機(jī)；（2）計(jì)算宜注重練習(xí)，以便養(yǎng)成正確而迅速的習(xí)慣；（3）問題以切合學(xué)生生活的為主體；成人的事務(wù)，若是學(xué)生不能想象的，雖實(shí)用也不適宜；（4）方法、原理宜用歸納的建造，不宜用演繹的推展。1929年《小學(xué)算術(shù)科課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：一二學(xué)年計(jì)算的問題，要具體而有興趣，讓兒童直觀，第三學(xué)年以上也應(yīng)使問題兒童生活化。1940年《小學(xué)算術(shù)教學(xué)法》的教學(xué)注意事項(xiàng)和教學(xué)原則提到：（1）培養(yǎng)兒童計(jì)算的觀念于日常生活中，實(shí)現(xiàn)做學(xué)教合一；（2）設(shè)置算學(xué)的環(huán)境，將校內(nèi)走廊、運(yùn)動(dòng)場、學(xué)校校園，標(biāo)明長闊的尺寸及其面積，各教室中標(biāo)明長、闊、高及面積與體積等；（3）教學(xué)新方法，應(yīng)從實(shí)在的需要出發(fā)，使數(shù)目的計(jì)算有相當(dāng)?shù)囊罁?jù)，切忌選用無意義的問題；（4）練習(xí)時(shí)宜多方變化，能利用兒童的成功的興趣，使之自動(dòng)地努力，切忌苛責(zé)兒童過失。即使有錯(cuò)誤，應(yīng)循循善誘地推求其錯(cuò)誤的原因，設(shè)法消除它；（5）心算是算術(shù)的基礎(chǔ)，筆算、珠算是幫助心算的工具，所以三者應(yīng)充分地聯(lián)絡(luò)，切不可故意割裂，造成事倍功半的現(xiàn)象。1952年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對于運(yùn)算的教學(xué)要求是“在算術(shù)教學(xué)中，培養(yǎng)兒童有計(jì)算的熟練技巧是非常重要的。這主要依靠各種練習(xí)來完成。例如演算式題，解應(yīng)用題。演算式題和解應(yīng)用題的練習(xí)除在課內(nèi)進(jìn)行外還要在課外進(jìn)行，養(yǎng)成鞏固的熟練技巧。必須要求兒童在筆算和口算方面都要做到完全正確和準(zhǔn)確，書寫要工整，并對演算結(jié)果負(fù)責(zé)。2001版《課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于“數(shù)的運(yùn)算”要求是“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣化；應(yīng)減少單純的技能性訓(xùn)練，避免繁雜計(jì)算和程式化地?cái)⑹觥憷怼薄?011版《課程標(biāo)準(zhǔn)》對“運(yùn)算能力”的表述為運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。

（二）從國際數(shù)學(xué)教育的視角解讀“運(yùn)算能力”的概念內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教育改革歷來是國際教育改革中倍受關(guān)注的領(lǐng)域。對其他 國家和地區(qū)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的進(jìn)展進(jìn)行簡要梳理，可以更加清晰我們的思路，更有利于尋求有科學(xué)有效的行進(jìn)之路。

1.美國數(shù)學(xué)課程改革的新動(dòng)態(tài)

美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)于2008年3月提交了一份名為《成功的基礎(chǔ)》的報(bào)告，《報(bào)告》認(rèn)為，熟練的掌握整數(shù)是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的一個(gè)必要前提，分?jǐn)?shù)又是測量和幾何的前提。整數(shù)，分?jǐn)?shù)，測量和幾何的某些部分是代數(shù)的“三大基礎(chǔ)”。《報(bào)告》認(rèn)為，“學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)和百分?jǐn)?shù)）時(shí)遇到困難是很普遍的現(xiàn)象，這也是之后數(shù)學(xué)（包括代數(shù)）學(xué)習(xí)的一個(gè)主要障礙。和學(xué)習(xí)整數(shù)一樣，對分?jǐn)?shù)，小數(shù)概念的理解能促進(jìn)他們運(yùn)算能力的提高，同時(shí)，不斷的進(jìn)行他們之間的運(yùn)算，也有利于他們對概念的理解”。

2.德國數(shù)學(xué)教育改革的新進(jìn)展

德國教育的主導(dǎo)思想是通過改革與研究使學(xué)生在數(shù)學(xué)與科學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)中達(dá)到能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)、科學(xué)和技術(shù)知識來處理復(fù)雜世界多變的問題和要求；形成牢固的基礎(chǔ)知識，能夠應(yīng)用在多變的各種情景中；意識到數(shù)學(xué)和科學(xué)知識在理解客觀世界和參與社會(huì)決定中的意義；樂意向數(shù)學(xué)、科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域進(jìn)一步發(fā)展，并為深入理解和繼續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

3.韓國數(shù)學(xué)課程改革的情況

2006年8月，韓國對第七次教育課程進(jìn)行了第三次修訂，其主導(dǎo)方向可以歸結(jié)為：學(xué)生的能力與將來的職業(yè)取向；基本的數(shù)學(xué)知識；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心；以計(jì)算器、計(jì)算機(jī)或具體材料為學(xué)具；能動(dòng)的活動(dòng)；運(yùn)用各種方法進(jìn)行教、學(xué)與評價(jià)?！皵?shù)與計(jì)算”領(lǐng)域的重點(diǎn)在于正確理解數(shù)概念，以基本的計(jì)算能力解決問題并靈活運(yùn)用于其他領(lǐng)域。

4.臺灣數(shù)學(xué)課程改革的脈絡(luò)及新進(jìn)展

2001年臺灣開始實(shí)行九年一貫課程，教育部公布的《暫綱》受建構(gòu)式數(shù)學(xué)的影響很大，在《暫綱》修訂之際，臺灣院士級的數(shù)學(xué)家積極介入，形成了數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家的對立面，數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)看成工具，強(qiáng)調(diào)習(xí)得知識的重要；數(shù)學(xué)教育家把數(shù)學(xué)看成解題，強(qiáng)調(diào)概念發(fā)展的重要。為回應(yīng)學(xué)校和家長的反響，臺灣教育部在2003年頒布的《正綱》中取消了建構(gòu)式教學(xué)?！墩V》在教學(xué)上重視的是觀念和演算，以及學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)（或數(shù)學(xué)感覺）的培養(yǎng)。

5.香港數(shù)學(xué)課程改革的進(jìn)程及新進(jìn)展

香港在2002年公布的《數(shù)學(xué)教育學(xué)習(xí)領(lǐng)域：數(shù)學(xué)課程指引（小一至中三）》提出，數(shù)學(xué)課程的宗旨是：使學(xué)生能夠在這個(gè)科技與資訊發(fā)達(dá)的社會(huì)從容的應(yīng)付日后在升學(xué)、工作或日常生活方面對數(shù)學(xué)的需求，并對終身學(xué)習(xí)有充足的準(zhǔn)備。香港提倡教師在教學(xué)時(shí)采用不同的教學(xué)方式，可以講解、討論、練習(xí)也可以，有實(shí)踐活動(dòng)、解決問題活動(dòng)和探究活動(dòng)，盡量讓學(xué)生有機(jī)會(huì)，自己進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)。

（三）運(yùn)算能力的內(nèi)涵

從數(shù)學(xué)的價(jià)值取向來分析，“運(yùn)算能力”是不是就是要求運(yùn)算的“又對又快”呢？現(xiàn)在已經(jīng)引起越來越多的數(shù)學(xué)教育界和數(shù)學(xué)界的質(zhì)疑。在信息技術(shù)如此發(fā)達(dá)的今天，是否還需要學(xué)生計(jì)算那樣難的題目，并且算得那樣快？現(xiàn)在有了計(jì)算機(jī)，所有的運(yùn)算都可以用計(jì)算機(jī)輔助實(shí)現(xiàn)，是不是可以解放學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生做一些更多有價(jià)值的學(xué)習(xí)？比如數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)？這有個(gè)價(jià)值取向的問題，我們要思考我們應(yīng)該培養(yǎng)什么樣的學(xué)生，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的什么能力。這是我們首先要思考和選擇的主要問題。其次，我們要清楚：運(yùn)算能力不能僅僅是算個(gè)數(shù)，應(yīng)該從更寬泛和更深入的視角來考慮這件事情，包括對于運(yùn)算對象的認(rèn)識，包括對于為什么要做這個(gè)運(yùn)算的思考，就是這些運(yùn)算的背景是什么，運(yùn)算法則和運(yùn)算規(guī)律的探究、方法的選擇，包括運(yùn)算在哪些地方有用，學(xué)運(yùn)算的目的是要解決一些什么問題，這對于我們理解和把握“運(yùn)算”的概念實(shí)質(zhì)都是極有幫助的。

基于對我國運(yùn)算教學(xué)的歷史溯源，以及對國際上部分國家和地區(qū)有關(guān)運(yùn)算教學(xué)的改革歷程，尤其是對《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的解讀，關(guān)于運(yùn)算能力和通過運(yùn)算對學(xué)生除計(jì)算技能之外的發(fā)展，我們可以初步形成以下一些基本觀點(diǎn)：首先，運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。其次，運(yùn)算能力不僅僅會(huì)算和算正確，還包括對于運(yùn)算的本身要有理解，比如運(yùn)算對象、運(yùn)算的意義、算理等。最后，“運(yùn)算”就是“兩個(gè)得一個(gè)，結(jié)果唯一確定?！薄皟蓚€(gè)”是指兩個(gè)集合，“一個(gè)”是指對應(yīng)法則，這其中蘊(yùn)涵了函數(shù)的思想。

三、“運(yùn)算教學(xué)“觀念和教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變

（一）課改前后兩種不同的議論聲音

課改前，人們普遍認(rèn)為中國學(xué)生的計(jì)算能力全球最高，為什么要進(jìn)行改革；計(jì)算教學(xué)的訓(xùn)練單調(diào)枯燥，嚴(yán)重挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；過分強(qiáng)調(diào)精確計(jì)算，忽視了估算能力的培養(yǎng)；計(jì)算教學(xué)過于形式化、技巧化，嚴(yán)重脫離學(xué)生生活實(shí)際，等等。課改后，人們指出學(xué)生的計(jì)算能力（口算能力和筆算能力）嚴(yán)重下降；計(jì)算器的引入干擾了學(xué)生計(jì)算能力的形成；“算法多樣化”影響了課堂教學(xué)的效率；在計(jì)算目標(biāo)（速度和正確率）方面兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)重等。

（二）一線教師教學(xué)中的困惑

一些教師認(rèn)為，算理固然非常重要，說那么多，學(xué)生真的理解嗎？在計(jì)算過程中讓學(xué)生會(huì)說一整套的程序化的語言，以表明學(xué)生對算理的理解。也有一些老師認(rèn)為現(xiàn)在學(xué)生的計(jì)算能力下降了，算得慢了，結(jié)果也不準(zhǔn)了。計(jì)算教學(xué)學(xué)生只要把法則牢記于心，反復(fù)“演練”就可以達(dá)到正確、熟練的要求。還有一些教師疑惑這次新課標(biāo)修訂把“運(yùn)算能力”作為核心概念，目的僅是為了提高計(jì)算能力嗎？

（三）專家對《標(biāo)準(zhǔn)》內(nèi)容變化的解讀

數(shù)的運(yùn)算是在人類的生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，由低級到高級、從簡單到復(fù)雜。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其是計(jì)算機(jī)和計(jì)算器的普及，“數(shù)的運(yùn)算”中哪些知識是大多數(shù)人最常用和最基礎(chǔ)的，也在發(fā)生著變化。江蘇省著名數(shù)學(xué)特級教師在《人民教育》撰文解讀了《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》關(guān)于“數(shù)的運(yùn)算“的變化，第一，加強(qiáng)的內(nèi)容包括注重計(jì)算與日常生活的聯(lián)系。與傳統(tǒng)的計(jì)算相比，《標(biāo)準(zhǔn)》注重了通過實(shí)際情境使學(xué)生體驗(yàn)、感受和理解運(yùn)算的意義。另外，加強(qiáng)計(jì)算器的運(yùn)用。借助計(jì)算器不僅有利于學(xué)生進(jìn)行較復(fù)雜的運(yùn)算，解決實(shí)際問題，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的能力。一方面，借助計(jì)算器可以引導(dǎo)學(xué)生探索一些復(fù)雜的、更為現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用問題；另一方面，學(xué)生可以用它進(jìn)行大數(shù)目的加、減、乘、除四則運(yùn)算，節(jié)約時(shí)間，提高計(jì)算的速度。計(jì)算器進(jìn)入課堂，能逐步把學(xué)生從繁瑣的技巧性計(jì)算中解放出來，以學(xué)習(xí)更多有用的數(shù)學(xué)內(nèi)容。此外，還強(qiáng)化了估算的作用。估算是人們在日常生活、工作和生產(chǎn)中，對一些無法或沒有必要進(jìn)行精確測量和計(jì)算的數(shù)量所進(jìn)行的近似或粗略估計(jì)的一種方法。如今，復(fù)雜的計(jì)算都可以由計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來完成，與此同時(shí)，日常生活和工作中估算的作用也越來越突出。如人們在使用工具進(jìn)行計(jì)算時(shí)，人們?nèi)艟哂幸欢ǖ墓浪隳芰?，就能對?jì)算結(jié)果的合理性進(jìn)行判斷，并對其合理性作出解釋。另外，在計(jì)算前對結(jié)果進(jìn)行估算，可以使學(xué)生合理、靈活地用多種方法去思考問題；在計(jì)算后對結(jié)果進(jìn)行估算，可以使學(xué)生獲得一種最有價(jià)值的檢驗(yàn)結(jié)果的方法。第二，在削弱的內(nèi)容方面，首先刪減珠算的內(nèi)容。珠算作為我國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其教學(xué)的形象性對于學(xué)生智力開發(fā)也有很大的促進(jìn)作用，在歷史上發(fā)揮了重要的作用。但是隨著計(jì)算機(jī)的不斷普及，人們基本上已經(jīng)不采用珠算計(jì)算的方法。其次，刪減繁瑣的運(yùn)算步驟。在整數(shù)運(yùn)算方面，《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出“進(jìn)行簡單的整數(shù)四則混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三步）?！痹谛?shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算方面，《標(biāo)準(zhǔn)》提出“會(huì)分別進(jìn)行簡單的小數(shù)，分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）加、減、乘、除運(yùn)算及混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三步）。”再次，刪減運(yùn)算的數(shù)目要求。在口算方面，《標(biāo)準(zhǔn)》提出“會(huì)口算百以內(nèi)一位數(shù)乘、除兩位數(shù)?！痹诠P算方面，提出“能筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。”

（四）專家對運(yùn)算教學(xué)建議

北京教育科學(xué)研究院著名數(shù)學(xué)特級教師吳正憲老師在對全國數(shù)學(xué)骨干教師的“‘運(yùn)算能力’的培養(yǎng)就是讓學(xué)生算得又對又快嗎？”的專題講座中，對“數(shù)的運(yùn)算”提出了如下教學(xué)建議：弄清楚運(yùn)算能力的內(nèi)涵（前方已經(jīng)述及，不再贅述）；理解算理，掌握算法；處理好算理直觀和算法抽象之間的關(guān)系；處理好算法多樣與算法優(yōu)化的關(guān)系。算法多樣化與優(yōu)化之間的關(guān)系，通性通法很重要；處理好技能訓(xùn)練與思維訓(xùn)練的關(guān)系；注重計(jì)算與日常生活及解決問題的聯(lián)系；整體把握估算教學(xué)，提出好問題，培養(yǎng)學(xué)生合理估算的意識和能力。

（五）適度發(fā)展計(jì)算的強(qiáng)項(xiàng)，在彌補(bǔ)弱項(xiàng)上下功夫

“木桶理論”告訴我們：一只木桶盛水的多少，并不取決于桶壁上最高的那塊木塊，而恰恰取決于桶壁上最短的那塊。因此要想提高水桶的整體容量，不是去加長最長的那塊木板，而是要下功夫依次補(bǔ)齊最短的木板。我們的運(yùn)算教學(xué)正面臨類似的境況。對多年的PISA測試數(shù)據(jù)分析，可以看出：在計(jì)算技能上，中國學(xué)生明顯勝于日本學(xué)生，這既反映了我國數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)和優(yōu)勢，可能也反映出在我國數(shù)學(xué)教學(xué)中對計(jì)算要求可能過高過嚴(yán)。另一方面，中國學(xué)生在掌握一些重要的數(shù)學(xué)概念方面不如日本學(xué)生扎實(shí)，如關(guān)于數(shù)軸和刻度的概念的理解與應(yīng)用，中國學(xué)生表現(xiàn)出明顯的差距。很明顯，計(jì)算已經(jīng)是我們的強(qiáng)項(xiàng)，但我們的弱項(xiàng)也很明顯，特別是在提問題、想辦法方面。20世紀(jì)最偉大，最有影響的荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾說：“教育不能成為類似于把人訓(xùn)練成計(jì)算機(jī)的教育，因?yàn)槿怂愕脑倏煲部觳贿^計(jì)算機(jī)，與其如此，不如讓孩子去做那些計(jì)算機(jī)不能做的事情”。所以我們在運(yùn)算教學(xué)上，應(yīng)弱化重復(fù)型、機(jī)械的技能訓(xùn)練，突出算理和算法探究的思維訓(xùn)練；降低運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容的難度，減少運(yùn)算教學(xué)占用的時(shí)間和精力，騰出時(shí)間，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。

（六）運(yùn)算教學(xué)的改革刻不容緩

中央民族大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究所孫曉天教授認(rèn)為：算的又對、又快固然好，但讓“對”和“快”從“慢”、“笨”一點(diǎn)點(diǎn)發(fā)展起來更好。學(xué)生通過自己的發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)探究過程中領(lǐng)悟運(yùn)算的來龍去脈及用途，有助于把運(yùn)算從一套供記憶復(fù)制的、孤立的概念和程序的結(jié)合體，轉(zhuǎn)化成一個(gè)充滿思考和探索的、思想和應(yīng)用相互交織的整體。他認(rèn)為，這就是《標(biāo)準(zhǔn)（2011）》新增“運(yùn)算能力”的意義。孫曉天教授表示，具有探究特質(zhì)的運(yùn)算能力，反映了數(shù)學(xué)作為“成長載體”的教育價(jià)值，它有助于那些可以普遍遷移的，如興趣、好奇心（洞察力）、質(zhì)疑能力、探究能力、反思精神、合作精神的養(yǎng)成成為現(xiàn)實(shí)。孫曉天教授建議：無緣無故的“算”可以有，但應(yīng)適度，要重視“算”的理由。他指出：“快”不僅要考慮學(xué)習(xí)者的耐受性，更要把“快”的教育價(jià)值想清楚；運(yùn)算能力一定要與時(shí)俱進(jìn)，我們應(yīng)當(dāng)站在新的歷史起點(diǎn)上為運(yùn)算的教育價(jià)值定位；我們要從學(xué)生的全面發(fā)展、健康成長出發(fā)思考運(yùn)算能力的培養(yǎng)問題；練習(xí)無疑是必要的，但要重視研究以重復(fù)型、機(jī)械性、速率式為標(biāo)志的訓(xùn)練的科學(xué)尺度。

四、關(guān)于運(yùn)算教學(xué)實(shí)踐的建議

在廣泛聽取數(shù)學(xué)專家、數(shù)學(xué)教育專家、數(shù)學(xué)教科研人員、一線教師意見的基礎(chǔ)上，逐步宣傳項(xiàng)目理念和擬改革、改進(jìn)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式。項(xiàng)目組初步形成以下共識：

（一）教學(xué)內(nèi)容設(shè)置的建議

首先，各年段降低運(yùn)算的難度（刪減大數(shù)目的計(jì)算），讓學(xué)生充分經(jīng)歷運(yùn)算的全過程。其次，從第二年段開始，在解決問題時(shí)，準(zhǔn)許學(xué)生使用計(jì)算器獲得運(yùn)算結(jié)果，以便學(xué)生有更多地時(shí)間和精力探求真正的數(shù)學(xué)。

（二）教師教學(xué)方式的建議

在教師教學(xué)方式方面，要做到：（1）在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識能力形成過程的特點(diǎn)進(jìn)行，即數(shù)的運(yùn)算的意義及四則運(yùn)算之間的關(guān)系；獲得運(yùn)算的結(jié)果（包括估算、精確計(jì)算）；運(yùn)算律及運(yùn)算性質(zhì)；運(yùn)用運(yùn)算解決實(shí)際問題。（2）要重視對運(yùn)算意義的教學(xué)。加、減、乘、除運(yùn)算的意義是核心概念，要讓學(xué)生積累原型，讓學(xué)生清楚在什么時(shí)候用加、減、乘、除運(yùn)算。比如：加法可以作為合并、移入、增加、繼續(xù)往前數(shù)等的模型；減法可以作為剩余、比較、往回?cái)?shù)、減少或加法逆運(yùn)算等的模型；乘法可以作為相等的數(shù)的和、面積計(jì)算、倍數(shù)、組合等的模型；除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運(yùn)算等的模型。（3）要重視算理的教學(xué)。算理是四則運(yùn)算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)等構(gòu)成的；運(yùn)算法則是四則運(yùn)算的基本程序和方法。運(yùn)算是基于法則進(jìn)行的，而法則又要滿足一定的道理。在實(shí)際教學(xué)時(shí)，要使學(xué)生理解法則背后的道理。不僅要讓學(xué)生知道該怎么計(jì)算，而且還應(yīng)該讓學(xué)生明白為什么要這樣計(jì)算，使學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算法則。（4）通過多種方式幫助學(xué)生理解算理。為了幫助學(xué)生更好地理解算理，教師要善于選擇多種方式。常用的理解算理的方式有實(shí)物原型、已有知識、直觀模型等。其中直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料，如小棒、計(jì)數(shù)器、長方形或圓形圖、數(shù)直線；而實(shí)物原型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的實(shí)物材料，如元、角、分等人民幣，千米、米、分米等測量單位。（5）在運(yùn)算教學(xué)過程中，要讓學(xué)生親自經(jīng)歷和體驗(yàn)運(yùn)算的全過程。教師要了解學(xué)生想法中所蘊(yùn)涵的道理，鼓勵(lì)學(xué)生個(gè)性化、主動(dòng)地學(xué)習(xí)。鼓勵(lì)學(xué)生自己探索如何進(jìn)行運(yùn)算，并且嘗試說明自己這樣算的道理。這些個(gè)性化、多樣化的運(yùn)算方法往往蘊(yùn)涵著學(xué)生心目中的“算理”，對這些方法的比較和交流有助于學(xué)生理解算理。在此基礎(chǔ)上教師再引導(dǎo)學(xué)生向通用的和經(jīng)過現(xiàn)實(shí)檢驗(yàn)的“公認(rèn)法則”靠攏，學(xué)生對于算理的理解就會(huì)加深了。在探索和理解算理的過程中，學(xué)生獲得了不只是運(yùn)算的技能，學(xué)生的推理能力、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題的能力都得到了發(fā)展，學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法的積累也在穩(wěn)步遞增，因?yàn)閷W(xué)生探索的過程正是數(shù)學(xué)家經(jīng)歷過的，或者是數(shù)學(xué)應(yīng)該經(jīng)歷的過程。（6）對于計(jì)算法則的“熟練”，并不是要求學(xué)生對于所有的計(jì)算法則的使用都必須達(dá)到一定的速度，而是指形成必要的計(jì)算技能，從而在以后遇到此類計(jì)算時(shí)，學(xué)生能“自動(dòng)地”使用法則。當(dāng)學(xué)生面對精確計(jì)算的題目時(shí)，能夠回憶起法則進(jìn)行“自動(dòng)”的運(yùn)算，而當(dāng)詢問法則背后的道理時(shí)，學(xué)生又能運(yùn)用自己的方式正確地加以表達(dá)。（7）有效利用學(xué)生的困難和錯(cuò)誤。教師不能將學(xué)生的困難和錯(cuò)誤簡單地歸為“粗心”，而要通過訪談等手段了解學(xué)生的真實(shí)想法，準(zhǔn)確診斷學(xué)生困難和錯(cuò)誤的原因，并力圖去發(fā)現(xiàn)其中的原因和積極成分，把困難和錯(cuò)誤當(dāng)成資源來利用。如果教師不了解學(xué)生的真正困難，設(shè)計(jì)有效的活動(dòng)幫助學(xué)生克服困難，學(xué)生可能只會(huì)機(jī)械記住法則。

（三）教學(xué)評價(jià)的建議

首先，在紙質(zhì)學(xué)業(yè)水平測試時(shí)，減少純粹計(jì)算的題目。把數(shù)學(xué)運(yùn)算置于具體的問題情境中，考查學(xué)生對其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，能否在具體情境中進(jìn)行合理應(yīng)用。其次，在紙質(zhì)學(xué)業(yè)水平測試時(shí)，探索對“算理”和“算法”測試的途徑，形成有利教學(xué)導(dǎo)向，讓運(yùn)算教學(xué)向重視算理的路上行進(jìn)。再次，在紙質(zhì)學(xué)業(yè)水平測試時(shí)，增加借助計(jì)算器探索運(yùn)算規(guī)律的題目，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思考和發(fā)現(xiàn)問題等方面的能力。