李菁

[摘? ?要]在《祖暅原理及其應(yīng)用》教學(xué)中，采用啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)法，通過(guò)構(gòu)建環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題體系，運(yùn)用多媒體課件、微課、3D動(dòng)畫(huà)演示、模具展示、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)等教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生探究新知、突破難點(diǎn)、解決問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)小組合作交流，在完成猜想、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、總結(jié)等活動(dòng)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]祖暅原理及其應(yīng)用;問(wèn)題體系;實(shí)驗(yàn)探究;小組合作

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2018）35-0003-05

一、教學(xué)實(shí)錄

（一）引入課題

1.提出問(wèn)題

教師（出示圖1）：兩個(gè)半徑為a的圓柱正交（即兩圓柱的軸垂直相交），公共部分是什么樣的幾何體？

（學(xué)生想象圖形，思考問(wèn)題）

教師：公共部分是圓柱嗎？

學(xué)生：不是.

教師：是正方體嗎？

學(xué)生：不是.

教師：是球嗎？

學(xué)生：不是.

教師：它不是我們學(xué)習(xí)過(guò)的簡(jiǎn)單幾何體，它就是我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽熱衷于研究的“牟合方蓋”.如何求這個(gè)“牟合方蓋”的體積呢？

教師：我們學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單幾何體的體積公式，這些公式是怎么得到的呢？這節(jié)課我們一起來(lái)探討這些問(wèn)題.

2.介紹數(shù)學(xué)家祖暅

教師：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅將幫助我們解決這些問(wèn)題.

[播放視頻（如圖2），介紹相關(guān)數(shù)學(xué)史，板書(shū)課題：祖暅原理及其應(yīng)用]

教師：祖暅原理的提出比國(guó)外早了一千多年，非常了不起！同學(xué)們，你們知道祖暅與數(shù)學(xué)家祖沖之是什么關(guān)系嗎？

學(xué)生：祖暅?zhǔn)亲鏇_之的兒子.

教師：很好！看來(lái)大家對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的了解很多呀！

（二）課堂探究

1.初識(shí)原理

教師：通過(guò)預(yù)習(xí)，我們知道祖暅提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”的觀點(diǎn).其中的關(guān)鍵詞“冪”“勢(shì)”“積”分別是什么意思？

學(xué)生：“冪”指面積，“勢(shì)”指高，“積”指體積.

教師：這句話怎么解釋呢？

學(xué)生：如果兩個(gè)幾何體的高和底面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.

教師：大家同意嗎？

學(xué)生（發(fā)出質(zhì)疑聲 ，舉出反例）：高和底面積都相等的圓柱和圓錐體積不相等.

教師：原理中是指滿(mǎn)足怎樣的條件，才能得出體積相等的結(jié)論呢？

學(xué)生：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.

教師：解釋得非常好！

2.原理探究

教師：下面請(qǐng)第1小組的同學(xué)給我們舉個(gè)特例，來(lái)說(shuō)明祖暅原理.

學(xué)生（將完全相同的兩摞本子分別擺成特殊的幾何體——直棱柱和斜棱柱，且每摞本子數(shù)量相同，如圖3）：因?yàn)槊哭咀訑?shù)量相同，所以這兩個(gè)柱體的高相等.因?yàn)楸咀拥拇笮⊥耆嗤?，所以平行于底面的平面截得兩柱體的截面積總相等，故這兩個(gè)柱體的體積相等.

教師：很好！

教師（將兩摞本子改擺成高相同，但形狀任意的兩個(gè)柱體）：根據(jù)祖暅原理，現(xiàn)在擺成的這兩個(gè)任意柱體的體積相等嗎？為什么？

學(xué)生：相等.因?yàn)檫@兩個(gè)柱體的高相等，且被平行于底面的平面截得兩柱體的截面積總相等，所以這兩個(gè)柱體的體積相等.

教師：分析得很好！

教師（添加兩摞完全相同的小本子，改擺成兩個(gè)形狀任意的新幾何體）：根據(jù)祖暅原理，現(xiàn)在擺成的這兩個(gè)任意幾何體的體積相等嗎？為什么？

學(xué)生：相等.因?yàn)檫@兩個(gè)幾何體的高相等.雖然每個(gè)幾何體被平行于底面的平面截得的截面積會(huì)發(fā)生變化，但兩個(gè)幾何體被平行于底面的平面截得的截面積總相等，所以這兩個(gè)柱體的體積相等.

教師：解釋得很棒！

教師：把“兩個(gè)幾何體高相等”換成“兩個(gè)幾何體夾在平行的平面間”，結(jié)論成立嗎？

學(xué)生：成立.

教師：祖暅原理又稱(chēng)等積原理，即夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.

教師：從由兩個(gè)特殊棱柱舉例，到由一般幾何體進(jìn)行解釋說(shuō)明，我們采用了怎樣的數(shù)學(xué)研究方法？

學(xué)生：由特殊到一般.

【設(shè)計(jì)意圖：先由學(xué)生用本子舉出特例解釋說(shuō)明原理，再用本子舉出任意幾何體的實(shí)例，進(jìn)一步解釋說(shuō)明原理，強(qiáng)調(diào)原理的條件，使學(xué)生體驗(yàn)“由特殊到一般”的研究方法.】

教師（準(zhǔn)備三摞完全相同的本子，其中兩摞本子并排放在一起作為一個(gè)幾何體，第三摞本子單獨(dú)作為一個(gè)幾何體，改擺成兩個(gè)任意形狀的新幾何體）：顯然，現(xiàn)在擺成的這兩個(gè)新的任意幾何體的高相等，它們被平行于底面的平面截得的截面積相等嗎？

學(xué)生：不相等.

教師：它們被平行于底面的平面截得的截面積是什么關(guān)系？

學(xué)生：2倍.

教師：這兩個(gè)幾何體的體積是什么關(guān)系？

學(xué)生：2倍.

教師：通過(guò)剛才的引申，我們得到了新結(jié)論：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積之比總為t，那么這兩個(gè)幾何體的體積之比為t.

（總結(jié)“類(lèi)比推理”的研究方法）

【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)祖暅原理進(jìn)行引申，使學(xué)生體驗(yàn)“類(lèi)比推理”的研究方法.】

3.學(xué)以致用

教師：同學(xué)們對(duì)原理理解得很透徹.現(xiàn)在我們學(xué)以致用，運(yùn)用祖暅原理解決下面的問(wèn)題.首先，我們運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)柱體的體積公式.我們已知長(zhǎng)方體的體積等于底面積乘以高，根據(jù)原理，與長(zhǎng)方體等底等高的柱體的體積等于什么？（出示圖4）

學(xué)生：底面積乘以高.

教師：很好?。ò鍟?shū)公式：V柱體=sh）將未知的幾何體的體積轉(zhuǎn)化為已知幾何體的體積來(lái)求，體現(xiàn)了“化未知為已知”的轉(zhuǎn)化思想.

教師：接下來(lái)，我們運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)錐體的體積公式.請(qǐng)同學(xué)們思考問(wèn)題1：底面積和高分別相等的兩個(gè)錐體的體積相等嗎？為什么？

生（上講臺(tái)結(jié)合圖5講解）：兩個(gè)錐體的高相等，它們被平行于底面的截面所截得的截面圖形的面積之比等于相似比的平方，也相等，所以它們的體積相等.

教師：講解得很棒！請(qǐng)繼續(xù)思考問(wèn)題2：如圖6，錐體的體積和與它等底等高的柱體的體積之比是多少？為什么？

（學(xué)生小組討論交流）

教師：請(qǐng)第4組的同學(xué)結(jié)合他們自制的教具模型為大家講解推導(dǎo)過(guò)程.

第4組學(xué)生代表（上講臺(tái)畫(huà)出輔助線，用自制教具說(shuō)明推導(dǎo)過(guò)程）：連接C1A、C1B、C1A1、A1B，把三棱柱分成三個(gè)棱錐.棱錐B-AC1C與棱錐B-AC1A1等底等高，體積相等.棱錐C1-A1AB與棱錐C1-A1B1B等底等高，體積也相等，所以三個(gè)棱錐的體積相等，每個(gè)棱錐的體積等于三棱柱的體積的三分之一.

（板書(shū)推導(dǎo)出的公式： [V錐=13V柱=13sh] ）

教師：第4組的同學(xué)不僅模具制作得好，講解得也很好！我們將棱柱分割為棱錐來(lái)研究，運(yùn)用了怎樣的解題技巧？

學(xué)生：分割幾何體.

教師：很好！我們將錐體的體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為柱體的體積來(lái)研究，蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生：等體積轉(zhuǎn)化.

教師：非常好！

【設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步運(yùn)用祖暅原理，加深學(xué)生對(duì)祖暅原理的理解，使學(xué)生體會(huì)“化空間為平面”“等體積轉(zhuǎn)化”的轉(zhuǎn)化思想.】

教師：我們運(yùn)用祖暅原理，通過(guò)巧妙的轉(zhuǎn)化，推導(dǎo)了柱體和錐體的體積公式.球的體積公式也可以由祖暅原理推導(dǎo)，請(qǐng)大家課后探究.

4.拓展提升

教師：生活中，兩個(gè)水管正交對(duì)接、機(jī)械加工中的零件中（如圖7）都能見(jiàn)到“牟合方蓋”.接下來(lái)，我們繼續(xù)運(yùn)用祖暅原理，揭開(kāi)“牟合方蓋”的體積之謎.

【設(shè)計(jì)意圖：介紹生活中的“牟合方蓋”，直觀形象，讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活”.】

教師：下面請(qǐng)各小組同學(xué)合作，動(dòng)手切出“牟合方蓋”，看一下它究竟是怎樣的幾何體？

（學(xué)生實(shí)驗(yàn)，教師巡視，給予適當(dāng)指導(dǎo)）

教師（在學(xué)生用花泥現(xiàn)場(chǎng)切出“牟合方蓋”后）：請(qǐng)第1組學(xué)生代表上臺(tái)展示實(shí)驗(yàn)過(guò)程.

教師：正如之前同學(xué)們的判斷，“牟合方蓋”不是我們學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單幾何體.那它與哪種簡(jiǎn)單幾何體最接近？

學(xué)生：球.

教師：若要直接求出“牟合方蓋”的體積，好不好求？

學(xué)生：不好求.

教師：我們可不可以運(yùn)用祖暅原理，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單幾何體的體積來(lái)求呢？

教師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察“牟合方蓋”模型，并思考問(wèn)題（1）：能否找到某種學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單幾何體，使它與“牟合方蓋”滿(mǎn)足如下條件：①高度相等，且被平行的平面截得的截面圖形的面積總相等;②高度相等，且被平行的平面截得的截面圖形的面積之比總相等？

學(xué)生思考猜想，小組討論，得出結(jié)論：面積總相等的沒(méi)有，面積之比總相等的可能是球.

教師：請(qǐng)繼續(xù)思考問(wèn)題（2）：若截得“牟合方蓋”的圓柱半徑為a，為了使“牟合方蓋”與球的高相等，選取半徑是多少的球最適合？

學(xué)生：半徑為a的球.

[教師播放視頻（如圖8），對(duì)學(xué)生的猜想加以肯定]

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)3D動(dòng)畫(huà)演示，學(xué)生動(dòng)手自制模具，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察.采用直觀感知的學(xué)習(xí)方式，增強(qiáng)了學(xué)生的空間想象力.符合新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)的“利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念”.】

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)觀察并思考問(wèn)題（3）：“牟合方蓋”和球被平行的截面截得的兩個(gè)截面圖形分別是什么圖形？

教師：球被平行的截面截得的截面圖形是什么？

學(xué)生：圓.

教師：那么“牟合方蓋”被平行的截面截得的截面圖形是什么呢？（展示模型，引導(dǎo)學(xué)生研究不同截面圖形）老師手中的“牟合方蓋”是由哪兩個(gè)方向的圓柱正交得到的？

學(xué)生：前后、左右兩個(gè)方向.

教師：用豎直的平面切“牟合方蓋”，把它分成前后完全相同的兩部分，截面是什么圖形？

學(xué)生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀）：截面圖形是圓形.

教師：? 這個(gè)圓的半徑是多少？

學(xué)生：半徑為a.

教師：將此截面前后平移，截面圖形還是原圖形嗎？

學(xué)生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀是否改變）：截面圖形改變了，不再是圓.

教師：用豎直的平面切“牟合方蓋”，把它分成左右完全相同的兩部分，截面a是什么圖形？

學(xué)生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀）：截面圖形是圓形.

教師：? 這個(gè)圓的半徑是多少？

學(xué)生：半徑為a.

教師：將此截面左右平移，截面圖形還是原圖形嗎？

學(xué)生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀是否改變）：截面圖形改變了，不再是圓.

教師：用水平的平面切“牟合方蓋”，把它分成上下完全相同的兩部分，截面是什么圖形？

學(xué)生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀）：截面圖形是正方形.

教師：? 這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？

學(xué)生：邊長(zhǎng)是2a.

教師：將此截面上下平移，截面圖形還是原圖形嗎？

學(xué)生（各小組按照提示切割“牟合方蓋”，觀察截面圖形的形狀是否改變）：截面圖形仍然是正方形，但變小了.

教師：根據(jù)實(shí)驗(yàn)分析，用其他方向的平行平面截“牟合方蓋”，截面圖形會(huì)不會(huì)總是同一種圖形？

學(xué)生：不會(huì)總是同一種圖形.

[教師播放視頻（如圖9），驗(yàn)證學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及猜想]

教師：通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察及電腦動(dòng)畫(huà)演示，我們選用哪個(gè)方向的平行截面更便于研究？

學(xué)生：水平方向的平行截面.

教師：這樣截得的兩個(gè)截面圖形的面積之比是多少？

教師：這個(gè)“牟合方蓋”是由半徑為a的圓柱正交得到的，而球的半徑也是a，這個(gè)球是不是可以完全放在“牟合方蓋”的內(nèi)部？

學(xué)生：可以.

教師：根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn)，當(dāng)水平平面將這個(gè)“牟合方蓋”截成上下完全相同的兩部分時(shí)，截面正方形的中心是否是球心？

學(xué)生：是.

教師：此時(shí)“牟合方蓋”的截面正方形邊長(zhǎng)是多少？

學(xué)生：2a.

教師：此時(shí)球的截面圓的半徑是多少？

學(xué)生：a.

教師：此時(shí)兩個(gè)截面圖形是什么關(guān)系？

學(xué)生：圓內(nèi)切正方形.

教師：那么當(dāng)截面上下平移時(shí)，兩個(gè)截面圖形是否仍為正方形和它的內(nèi)切圓呢？請(qǐng)同學(xué)們分組討論交流一下.

教師：歡迎第3組的同學(xué)利用他們自制的教具來(lái)為我們演示說(shuō)明.

第3組學(xué)生代表：正交得到“牟合方蓋”的圓柱的半徑是a，球的半徑也是a，所以球在“牟合方蓋”的內(nèi)部.球面與“牟合方蓋”表面的公共點(diǎn)在這兩個(gè)大圓上（學(xué)生用手指著公共點(diǎn)位置），就是剛才實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)截面圓.（學(xué)生在黑板圖中畫(huà)出公共點(diǎn)軌跡）當(dāng)水平截面上下平移時(shí)截得的截面圓與截面正方形總有4個(gè)公共點(diǎn)，分別在正方形四條邊的中點(diǎn)，所以圓與正方形總相切.（學(xué)生在黑板圖中標(biāo)出切點(diǎn)位置）

[教師播放視頻（如圖10），驗(yàn)證學(xué)生的演示說(shuō)明]

教師：非常感謝第3小組的同學(xué)，他們的演示講解得十分形象直觀！

教師：通過(guò)觀察分析，我們了解了截面圖形間的關(guān)系.那么這兩個(gè)截面圖形的面積之比是多少呢？

學(xué)生：? [S牟合方蓋的截面圖形S內(nèi)切球的截面圖形=S正方形S內(nèi)切圓=（2a）2πa2=4π] .

教師：這個(gè)“牟合方蓋”與球的高相等，根據(jù)祖暅原理，它們的體積之比是多少？請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)案上補(bǔ)充完整求解過(guò)程，并求出這個(gè)“牟合方蓋”的體積.

學(xué)生：[V牟合方蓋V球=4π] ，[∴V牟合方蓋=4πV球=4π×43πa3] =[163a3] .

教師：同學(xué)們的計(jì)算結(jié)果相同嗎？

學(xué)生：相同.

教師：非常好！我們借助球的體積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化難為易，求出了這個(gè)“牟合方蓋”的體積.

教師：我們借助構(gòu)造內(nèi)切球，運(yùn)用祖暅原理，根據(jù)內(nèi)切球的體積計(jì)算得到“牟合方蓋”的體積，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.遵循了“猜想—實(shí)驗(yàn)—觀察—分析—總結(jié)”的解題思維流程.

（引導(dǎo)學(xué)生回顧解題思想方法和思維流程）

5.歸納總結(jié)（略）

6.課后鞏固（略）

二、教學(xué)感悟

本節(jié)課是在學(xué)生接觸立體幾何學(xué)習(xí)不久，空間想象能力還有待提高的學(xué)情下開(kāi)設(shè)的一節(jié)高一新授課，采用了師生互動(dòng)的開(kāi)放式教學(xué)模式，教師充分利用課堂這個(gè)主陣地，把“祖暅原理及其應(yīng)用”這一數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景、形成的過(guò)程和方法一一呈現(xiàn)，與學(xué)生一起重溫這段“歷程”，讓學(xué)生親歷了知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程，親自動(dòng)手發(fā)現(xiàn)鮮活的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)“學(xué)科知識(shí)與學(xué)科活動(dòng)是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的兩翼，學(xué)科知識(shí)是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要載體，學(xué)科活動(dòng)是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要路徑”的理念.

本節(jié)課先提出問(wèn)題引入課題，后遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，依次設(shè)置了“初識(shí)原理—原理探究—學(xué)以致用—拓展提升—?dú)w納總結(jié)—課后鞏固”6個(gè)環(huán)節(jié).“原理探究”環(huán)節(jié)通過(guò)舉例的變化，體現(xiàn)了“由特殊到一般”“類(lèi)比推理”的研究方法.“學(xué)以致用”中推導(dǎo)柱體的體積公式，體現(xiàn)了“化未知為已知”的轉(zhuǎn)化思想.推導(dǎo)錐體的體積公式運(yùn)用了分割幾何體的解題技巧，且也體現(xiàn)了等體積轉(zhuǎn)化思想.“拓展提升”求“牟合方蓋”的體積.這個(gè)難題的攻克，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.運(yùn)用3D動(dòng)畫(huà)演示、模具演示、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，通過(guò)問(wèn)題逐層遞進(jìn)啟發(fā)，由“猜想—實(shí)驗(yàn)—觀察—分析—總結(jié)”，引導(dǎo)學(xué)生突破難點(diǎn)，解決問(wèn)題.其中運(yùn)用了構(gòu)造內(nèi)切球的解題技巧，且體現(xiàn)了“化難為易”“空間問(wèn)題平面化”的轉(zhuǎn)化思想，整節(jié)課處處體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

為了把這節(jié)課打造成使學(xué)生充滿(mǎn)興趣的高效課堂，我主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì).

第一，創(chuàng)設(shè)“疑”境，激發(fā)學(xué)生的探知欲望.本堂課一開(kāi)始根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，立足學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，首先解讀了祖暅原理，然后設(shè)疑：如何求“牟合方蓋”的體積？從而激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探究的欲望.這樣的設(shè)計(jì)，符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性.

第二，結(jié)合新課標(biāo)的要求，基于高一學(xué)生的已有知識(shí)水平，及學(xué)生個(gè)體的空間認(rèn)知能力不同等差異，采用了3D動(dòng)畫(huà)演示、模具展示、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的教學(xué)方式，使問(wèn)題的研究更直觀形象，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力.

第三，通過(guò)構(gòu)建環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題體系，逐層遞進(jìn)啟發(fā)，化難為易，既引導(dǎo)著學(xué)生深入探究，又同時(shí)解決了研究中不斷出現(xiàn)的新問(wèn)題.

第四，讓學(xué)生在“動(dòng)”中學(xué)，在合作交流中提高，發(fā)揮主體作用.本節(jié)課，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手制作幾何模具，并通過(guò)小組合作交流的形式完成教師交給的展示任務(wù)，充分體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體地位，不但給學(xué)生提供了一個(gè)自主探索的空間，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識(shí)和自主探索能力.

第五，通過(guò)數(shù)學(xué)幾何模具的割補(bǔ)及多媒體的動(dòng)態(tài)展示將“祖暅原理及其應(yīng)用”這一教學(xué)難點(diǎn)加以突破，使學(xué)生掌握了割補(bǔ)幾何體以及構(gòu)造內(nèi)切、外接幾何體的解題技巧，增強(qiáng)了學(xué)生的空間想象能力.

第六，在“學(xué)以致用”環(huán)節(jié)讓學(xué)生運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)柱體體積公式的過(guò)程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)了由“特殊”到“一般”的數(shù)學(xué)研究方法.在“拓展提升”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生由幾何體的體積相等的條件，進(jìn)而去探究體積成比例的條件，不僅為后面求“牟合方蓋”的體積提供了理論依據(jù)，做好知識(shí)上的鋪墊，而且在此過(guò)程中讓學(xué)生學(xué)會(huì)了類(lèi)比的數(shù)學(xué)研究方法.

第七，由祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體的體積公式，進(jìn)而解決“牟合方蓋”體積的過(guò)程中，教師一直力求有效地引導(dǎo)學(xué)生化“未知”為“已知”，化“難”為“易”，化“空間”為“平面”，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

整堂課，遵循“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的原則，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，倡導(dǎo)學(xué)生“自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，體現(xiàn)了教師的設(shè)計(jì)者、組織者和幫助者的地位，突出學(xué)生的主體地位.在教學(xué)中，既重視知識(shí)和技能的形成過(guò)程，又重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)、探究能力的訓(xùn)練和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧妙，體驗(yàn)求知的樂(lè)趣，并且通過(guò)學(xué)生之間的合作交流，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)激情.整個(gè)課堂氣氛熱烈，教學(xué)效果比較好.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）