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傾斜角與斜率

2018-02-19 03:46:00山東省聊城市高唐縣高唐二中學(xué)校劉艷軍
衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2018年11期
關(guān)鍵詞:坡角鈍角傾斜角

山東省聊城市高唐縣高唐二中學(xué)校 劉艷軍

一、教學(xué)目標(biāo)

1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素。

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點的直線斜率的計算公式。

3.體會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用。

重點:斜率的概念,用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,過兩點的直線斜率的計算公式。

難點:直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系,即用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過程。

二、教學(xué)過程

(一)創(chuàng)設(shè)情境,揭示課題

問題1、(出示幻燈片)給出的兩點P、Q相同嗎?

從形的角度看,它們有位置之分,但無大小與形狀之分。

從數(shù)的角度看,如何區(qū)分兩個點?(用坐標(biāo)區(qū)分)

問題2、過這兩點可作什么圖形?唯一嗎?只經(jīng)過其中一點(如點P)可作多少條直線?它們的區(qū)別用什么來刻畫呢?

若只想定出其中的一條直線,除了再用一點外,還有其他方法嗎?可以增加一個什么樣的幾何量?(估計不少學(xué)生能意識到需要有一個角)

由此引導(dǎo)學(xué)生歸納,確定直線位置可有兩種方式

(1)已知直線上兩點

(2)已知直線上一點和直線的傾斜程度

問題3、角的形成還需一條線,也就是說要有刻畫傾斜程度的角,就必須還有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標(biāo)系下,以哪條軸線為基準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的角?(學(xué)生可能回答x軸或y軸)

以x軸或y軸為基準(zhǔn)都可以,習(xí)慣上我們用x軸。

問題4、過點P與x軸形成450角的直線有幾條?

(學(xué)生可能答一條或兩條,投影演示結(jié)果)如何區(qū)分清楚這兩條直線呢?估計學(xué)生能想到還需要確定方向。

選擇哪個角來描述直線的傾斜程度,就能保證坐標(biāo)系下的任何一條直線都有唯一的角與它對應(yīng)呢?

(教師引導(dǎo)學(xué)生選取不同的方向來描述角,并區(qū)分L1與L2)。

數(shù)學(xué)概念來刻畫事物時,講求統(tǒng)一美與簡潔美,如何用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述這個角呢?(揭示課題)

1.傾斜角的定義:在直角坐標(biāo)系下,以x軸為基準(zhǔn),當(dāng)直線l與x軸相交時,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α,叫做直線l的傾斜角。

學(xué)生練習(xí)畫出過點P的各種傾斜角的直線。

學(xué)生容易忽略與x軸平行的直線,補出圖(4),問傾斜角在哪兒?如何規(guī)定?

規(guī)定:當(dāng)直線l與c軸平行或重合時,它的傾斜角為0°。

(1)討論一下幾個問題

①直線傾斜角的范圍是多少?

②在平面直角坐標(biāo)系中,每一條直線都有確定的傾斜角嗎?

③傾斜角相同的直線相同嗎?

自然有傾斜角的范圍是[0°,180°)

這樣平面直角坐標(biāo)系中每條直線都有唯一一個確定的傾斜角α與它對應(yīng)。傾斜程度相同的直線,其傾斜角相等,傾斜程度不同的直線,其傾斜角不相等。

以上定義了一個從“形”的角度用傾斜角刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度。

(二)鞏固舊知,同化新知

生活中,我們都有過爬山、爬坡的體驗,對于斜坡的傾斜程度,可以用什么量來反映?(坡角與坡度)初中對坡度是如何定義的?

當(dāng)坡角α增大時,坡度如何變化?

當(dāng)坡角α=90°與0°時,升高量、前進(jìn)量分別是什么?坡度又分別是什么?

坡角、坡度都能反映傾斜程度,遷移到數(shù)學(xué)中,坡角相當(dāng)于直線的傾斜角,而坡度則對應(yīng)于直線的斜率。

2.斜率:傾斜角不是90°的直線,其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即k= t an α ( α ≠ 9 0°)

問題5、當(dāng)α為鈍角時,直線的斜率如何求?(轉(zhuǎn)化到其補角θ上)

問題6、當(dāng)α在[0°,180°)內(nèi)變化時,斜率k如何變化?

問題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度,哪個量更優(yōu)越呢?

傾斜角能從形的角度刻畫傾斜程度,而斜率是比值,實質(zhì)是數(shù)值,它能從數(shù)的角度反映傾斜的程度,顯然用斜率更細(xì)致入微些。

(三)嘗試推導(dǎo),深化認(rèn)識

兩點確定一條直線,可見由兩點也就確定了直線的傾斜程度,即傾斜角與斜率??磥?,直線上兩點與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系。

問題8、在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)且x1≠x2,能否用P1、P2的坐標(biāo)來表示直線斜率k?

(學(xué)生活動):隨意在坐標(biāo)系下畫兩點P1、P2及直線P1P2,探究各種圖形并嘗試推導(dǎo),可以先特殊再一般,也可先一般再特殊地去分析。教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中,類似升高量,前進(jìn)量,用點的坐標(biāo)表示線段長,并請同學(xué)敘述各個圖的推導(dǎo)過程與結(jié)果。

解:設(shè)直線P1P2傾斜角為α(α≠ 9 0°)當(dāng)直線P1P2方向向上時,過點P1作 軸的平行線,過點P2作 軸的平行線,兩線交于點Q,則點Q為(x2,y1)

(1)當(dāng)α 為銳角時,α=∠QP1P2,x1<x2,y1<y2

在RtΔP1P2Q中,

(2)當(dāng)α 為鈍角時,α = 1 80°-θ(設(shè)∠QP1P2=θ),x1<x2,y1<y2,tan α = t an(180°- θ ) = -tan θ

在RtΔP1P2Q中,(可讓學(xué)生分組推導(dǎo))

同理,當(dāng)直線P2P1方向向上時,無論α為銳角或鈍角,也有即

思考:1、各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎?與P1、P2這兩點坐標(biāo)順序有關(guān)系嗎?

2、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時,上述結(jié)論適用嗎?

3、斜率公式使用時應(yīng)注意什么問題?

鞏固練習(xí):求經(jīng)過下列兩點直線的斜率,并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。

(2)A(3,2),B(4,1)(kAB=-1)

(3)A(3,2),B(3,-1)(不存在)

(4)A(3,2),B(-4,2)(kAB=0)

(四)反思小結(jié),概括提煉(同學(xué)們這節(jié)課有何收獲?)

1.明確了確定直線位置的幾何要素。

2.理解了刻畫傾斜程度的量(傾斜角與斜率),知道了求斜率的兩種方法(定義法、坐標(biāo)法)

3.經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過程,感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想

(五)板書設(shè)計

(六)作業(yè)

①自學(xué)課本 P85:例1、例2;

②作業(yè)本: P89:1、2、3。

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