金夢迪，劉基偉，張輝

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

1 引言

由于對可靠小樣本統(tǒng)計的需求日益增長，小樣本預(yù)測是一個很重要的課題。多年來，學(xué)者們對小樣本非平穩(wěn)時間序列的預(yù)測問題做了深入研究，突出問題是，對于非平穩(wěn)時間序列，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾的嚴(yán)重影響時，過去的可用數(shù)據(jù)不能如實反映系統(tǒng)的規(guī)律。因此，為使預(yù)測模型的擾動界變小，引入分?jǐn)?shù)階經(jīng)典弱化緩沖算子，對原始序列進(jìn)行微調(diào)來提高預(yù)測精度；并且通過建立二次時變參數(shù)離散灰色模型對實例進(jìn)行研究驗證。

2 分?jǐn)?shù)階弱化緩沖算子的構(gòu)造

經(jīng)典弱化緩沖算子充分考慮每個數(shù)據(jù)的優(yōu)先性，而變權(quán)弱化緩沖算子只考慮最新一個數(shù)據(jù)的優(yōu)先性，所以從綜合利用原有數(shù)據(jù)信息的角度考慮，經(jīng)典弱化緩沖算子是一種不錯的緩沖算子。

容易證明，經(jīng)典弱化緩沖算子的階數(shù)越高，越能體現(xiàn)新信息的作用，提高預(yù)測質(zhì)量[2]。但是經(jīng)典弱化緩沖算子不能實現(xiàn)緩沖作用強(qiáng)度的微調(diào)，本文引入分?jǐn)?shù)階弱化緩沖算子。

一階弱化緩沖算子的矩陣形式為：

二階弱化緩沖算子的矩陣形式為：

若X(0)為單調(diào)衰減序列，因為A(X(0))T≤(X(0))T，A為可逆矩陣，可得A-1A(X(0))T≤A-1(X(0))T，即(X(0))T≤A-1(X(0))T，所以D-1為單調(diào)衰減序列的強(qiáng)化緩沖算子；同理D-1為單調(diào)增長序列的強(qiáng)化緩沖算子。

若X(0)為震蕩序列，x(0)(l)=max{x(0)(k)，k=1，2，…n}，x(0)(h)=min{x(0)(k)，k=1，2，…n}，

3 二次時變離散參數(shù)灰色預(yù)測模型介紹

對于實際應(yīng)用的數(shù)據(jù)，因為受到外界諸多沖擊因素的干擾而失真。為了能夠準(zhǔn)確的挖掘事物規(guī)律，針對以往模型使用連續(xù)時間響應(yīng)式進(jìn)行預(yù)測產(chǎn)生的跳躍性誤差，本文使用時變參數(shù)離散灰色模型。

引理1 設(shè)x(0)(k+1)d1=(β1+β2k)x(0)(k)d1+β3k+β4為線性時變參數(shù)離散灰色模型，其中x(0)(k)為原始序列觀測值，d1為經(jīng)典弱化緩沖算子。

下面使用經(jīng)典弱化緩沖算子d1作用后的序列建立二次時變參數(shù)離散灰色模型。

定義1設(shè)x(0)(k+1)d1=(β1+β2k+β3k2)x(0)(k)d1+β4k2+β5k+β6為二次時變參數(shù)離散灰色模型，其中x(0)(k)為原始序列觀測值，d1為經(jīng)典弱化緩沖算子。

定理1 對于二次時變含參離散灰色模型x(0)(k+1)d1=(β1+β2k+β3k2)x(0)(k)d1+β4k2+β5k+β6

該模型的最小二乘參數(shù)估計分別為：

為方便公示展示，記

因此有：

定理2 模型具有良好的性質(zhì)：

(1)伸縮變換一致性

(2)白指數(shù)規(guī)律重合性

(3)能夠完全模擬二次序列

(4)克服模擬值增長率恒定問題

(5)克服由連續(xù)響應(yīng)式產(chǎn)生的跳躍性誤差問題

證明過程不是本文重點，具體證明過程詳見文獻(xiàn)[3]。

二次時變離散參數(shù)灰色預(yù)測模型相比原有的一次時間項具有更高的預(yù)測值，在分?jǐn)?shù)階緩沖算子的參與下可以實現(xiàn)對模型的微調(diào)。

4 實例研究：不同分?jǐn)?shù)階預(yù)測結(jié)果比較

例1 以北京市年度科普經(jīng)費籌集額為例，比較不同階數(shù)經(jīng)典弱化緩沖算子對模型預(yù)測結(jié)果的影響。原始數(shù)據(jù)見表1，數(shù)據(jù)來源中華人民共和國國家統(tǒng)計局。

表1 2008～2015年 北京市年度科普經(jīng)費籌集額(萬元)

取2008～2014年的年度科普經(jīng)費籌集額為原始序列，分別建立0.6階，0.8階以及1階經(jīng)典弱化緩沖算子的二次時變參數(shù)離散模型，對2015年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果及誤差見表2。

由表2結(jié)果對比說明，0.6階經(jīng)典弱化緩沖算子可以實現(xiàn)模型的微調(diào)，擬精度較高，能較好的挖掘系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，得到比較好的預(yù)測精度。

表2 三種模型預(yù)測值與誤差比較

例2 以我國江蘇省科普專項經(jīng)費為例，比較不同階數(shù)經(jīng)典弱化緩沖算子對模型預(yù)測結(jié)果的影響。原始數(shù)據(jù)見表3，數(shù)據(jù)來源《中國統(tǒng)計年鑒》。

表3 2008～2015年 江蘇省年度科普經(jīng)費籌集額(萬元)

取2008-2014年江蘇省年度科普經(jīng)費籌集額為原始序列，同樣建立了0.3階，0.6階以及0.8階經(jīng)典弱化緩沖算子的線性時變參數(shù)離散模型，對2015年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果及誤差見表4。

表4 三種模型預(yù)測值與誤差比較

由表4結(jié)果對比說明，0.3階經(jīng)典弱化緩沖算子可以實現(xiàn)模型的微調(diào)，擬精度較高，能較好的挖掘系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，預(yù)測精度更好。

根據(jù)上面兩個實例分析可以看出，分?jǐn)?shù)階的二次時變參數(shù)離散模型的預(yù)測精度更高，預(yù)測效果確實優(yōu)于傳統(tǒng)的整數(shù)階模型。