張彬，孫菁聰，王勝文

(中國傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京 100024)

1 引言

圖像復(fù)原的目的是將原始圖像從觀察到的降晰圖像中恢復(fù)出來。實(shí)際的降晰函數(shù)可以看作一個(gè)低通濾波器，使得原始圖像的高頻成分受到抑制甚至喪失。這個(gè)降質(zhì)過程可以描述為如下的數(shù)學(xué)模型：

(1)

其中，f(x，y)為原圖像，g(x，y)為觀測(cè)到的退化圖像，t(x，y)為空間不變的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，n(x，y)為高斯白噪聲。對(duì)該模型離散化后，將離散退化圖像、離散源圖像和離散噪聲圖像分別按照列字典序依次排列，可得三個(gè)列向量g、f和n，它們滿足如下的線性方程組：

g=T·f+n

(2)

其中T是一個(gè)分塊Toeplitz矩陣。

一般來說由于方程(2)是病態(tài)的，不能直接求解。因此必須添加一些先驗(yàn)約束以使問題正則化。為了更好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息，本文以圖像的全變差為約束項(xiàng)，求解下述泛函的極小化問題

(3)

2 全變差函數(shù)的離散化和基于共軛梯度法的正則化復(fù)原算法

對(duì)于二元函數(shù)f(x，y)，其全變差TV(f)定義為

在單位正方形的水平區(qū)間內(nèi)插入nx個(gè)等分點(diǎn)，在豎直區(qū)間內(nèi)插入ny個(gè)等分點(diǎn)，于是有分點(diǎn)(xi，yj)，xi=i·Δx，yj=j·Δy，0≤i≤nx，0≤j≤ny，取f(x，y)在這些離散點(diǎn)的值得離散圖像

將上述圖像按列字典序排列，得向量f。

f=(f0，0f1，0…fnx，0f0，1f1，1…

fnx，1…f0，nyf1，ny…fnx，ny)T

為方便計(jì)算，可將面積元素ΔxΔy合并到正則化參數(shù)α中，于是Jβ(f)離散化為

利用方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，可以求得Jβ(f)的梯度。

則有

上述梯度計(jì)算可按照分塊Toeplitz矩陣與向量乘積的計(jì)算.

從(4)式可以得到Jβ(f)的梯度，把它用矩陣表示為

(5)

對(duì)基于全變差正則化的極小問題

其梯度為TT·(T·f-g)+α·L(f)

從而該極小化問題等價(jià)于求解線性方程組

(TT·T+α·L(f))·f=TT·g

(6)

利用共軛梯度法求解該線性方程組時(shí)，需要計(jì)算梯度向量(TT·T+α·L(f))·f-TT·g

其中T是分塊Toeplitz矩陣，TT·T·f，TT·g都可按分塊Toeplitz矩陣與向量乘積的方法來計(jì)算[1]，而L(f)·f主要是計(jì)算Dx·f和Dy·f，顯然它們滿足下面的關(guān)系

(7)

線性方程組(6)可用共軛梯度法CGM(conjugate gradient method)來求解。它僅需利用一階導(dǎo)數(shù)信息，克服了最速下降法收斂慢的缺點(diǎn)，又避免了牛頓法需要存儲(chǔ)和計(jì)算Hesse矩陣并求逆的缺點(diǎn)，是解決大型線性方程組最有用的方法之一[2]。共軛梯度法的求解步驟如下：

1、給定迭代精度0≤ε≤1和初始點(diǎn)f0，計(jì)算初始梯度g0=(TTT+αL(f0))·f0-TT·g，令k：=0

2、若‖gk‖≤ε，停止計(jì)算，輸出f*≈fk

3、計(jì)算搜索方向dk，

gk+1=(TTT+αL(fk+1))·fk+1-TT·g

5、令k：=k+1，轉(zhuǎn)步2.

3 仿真實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

為方便計(jì)算，選取兩幅大小200×200的漢字“王”和“爺”的灰度圖像Wang和Ye，moonfcce圖像及rice圖像作為原始圖像。為了模擬因大氣湍流而導(dǎo)致的圖像模糊，選取高斯函數(shù)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，并取高斯函數(shù)的方差為0.03，并給模糊圖像附加方差為10的白噪聲。

圖1的(a)、(d)、(g)、(j)為原始圖像，(b)、(e)、(h)、(k)為模糊圖像，(c)、(f)、(i)、(l)分別為以模糊圖像為迭代初始向量，利用共軛梯度法迭代500次而得的復(fù)原的結(jié)果。為了得到較好的復(fù)原效果，四幅復(fù)原圖像的正則化參數(shù)分別選取為0.000089，0.000065，0.000035和0.000065。

(a) (d) (g) (j)

(b) (e) (h) (k)

(c) (f) (i) (l)圖1 四幅源圖像、模糊圖像和復(fù)原圖像

對(duì)復(fù)原圖像的客觀評(píng)價(jià)一般采用無參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)方法。無參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)方法就是在沒有一個(gè)可以進(jìn)行參考和對(duì)比的原始圖像的情況下，得出一個(gè)與人類視覺系統(tǒng)的視覺感知相一致的質(zhì)量分?jǐn)?shù)值的方法。近些年來，無參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)得到了越來越多的關(guān)注。常用的有灰度平均梯度(Gray Mean Grads，GMG)及拉普拉斯算子和(LS)。

灰度平均梯度是分別將圖像長度和寬度方向上的相鄰像素灰度值的差求平方和再求均方根，它能較好的反映圖像的對(duì)比度和紋理變化特征，其值越大表示圖像越清晰，圖像質(zhì)量越好。

拉普拉斯算子和是對(duì)每一個(gè)像素點(diǎn)在 3×3 的鄰域內(nèi)采用拉普拉斯算子得到8鄰域微分值，然后在圖像范圍內(nèi)求和。一幅圖像越清晰，輪廓越鮮明，則每一個(gè)像素點(diǎn)附近的灰度值變化越大，LS值就越大。

灰度平均梯度值與拉普拉斯算子和雖然都不用參照原始圖像進(jìn)行計(jì)算，但它們的值對(duì)于不同目標(biāo)所成的不同圖像由于背景、對(duì)比度及紋理結(jié)構(gòu)等成像條件不一樣差別是很大的，不具有可比性，因此只能用于對(duì)相同目標(biāo)圖像質(zhì)量的比較，也可以用于比較對(duì)同一幅圖像經(jīng)過不同處理手段后的質(zhì)量以判斷處理方法的效果和有效性。

表1給出了上面四幅圖像分別經(jīng)過500次迭代后的GMG值LS值。

表1 各圖像在Tikhonov正則化復(fù)原，全變差復(fù)原循環(huán)預(yù)條件的GMG值和LS值Table 1 GMG and LS of images

從表1可以看出，全變差圖像復(fù)原的GMG值及LS值顯然比Tikhonov正則化復(fù)原的GMG值和LS值要大，即圖像的復(fù)原效果要比較好。