云南省昆明第一中學(xué) 王在方

立足于解題研究是教師快速提高業(yè)務(wù)能力的有效途徑之一，也是優(yōu)化教師課堂設(shè)計(jì)，提高課堂效益的重要手段。

試題來源：2018年高考數(shù)學(xué)全國卷(Ⅲ)16題，題目：已知點(diǎn)M(-1 ,1)和拋物線C∶y2= 4x過C的點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，若 ∠AMB= 9 00，則k=____.

一、解法視角呈現(xiàn)

1.解析幾何視角

解得k=2.

2.平面幾何視角

解法③：如圖所示,設(shè)F為焦點(diǎn),取AB中點(diǎn)P,過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為G、H連接MF,MP, 因?yàn)?/p>

所以MP為直角梯形BHGA的中位線,所以所以

3.平面幾何與解析幾何結(jié)合的視角

解法④： 如圖所示,設(shè)F為焦點(diǎn),取AB中點(diǎn)P,過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為G、H

所以MP為直角梯形BHGA的中位線,

4.圓錐曲線常用結(jié)論的視角

定理1 以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。

5.圓錐曲線常用計(jì)算技巧的視角

解法⑥：取AB中點(diǎn)P，由拋物線C的焦點(diǎn)為(1,0),

6.圓錐曲線極點(diǎn)和極線的視角

極點(diǎn)與極線是射影幾何中研究圓錐曲線內(nèi)在性質(zhì)的基本理論,各地的高考試題中以此為背景的題目屢見不鮮.雖然在高考課標(biāo)中沒有要求,但作為圓錐曲線的一種基本特征,教師了解一些極點(diǎn)、極線理論,可以從較高的觀點(diǎn)去把握試題,有利于中學(xué)教學(xué).對(duì)于學(xué)生,掌握一些基本的結(jié)論,有利于降低一些圓錐曲線大題的計(jì)算難度,對(duì)有些圓錐曲線小題,會(huì)有非常簡潔的處理方法,在高考過程中能節(jié)約寶貴的考試時(shí)間.

（2）極點(diǎn)和極線的基本結(jié)論

定理2 ①當(dāng)P在圓錐曲線r上時(shí)，則極線l是曲線r在點(diǎn)P處的切線；（限于篇幅，證明略）

②當(dāng)P在圓錐曲線r外時(shí)，則極線l是曲線r從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）。（限于篇幅，證明略）

③當(dāng)P在圓錐曲線r內(nèi)時(shí)，則極線l是曲線r過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡。（限于篇幅，證明略）

定理3 設(shè)AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，則過切點(diǎn)A,B的的切線的交點(diǎn)軌跡是它的準(zhǔn)線；反過來，由拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引拋物線的兩切線，切點(diǎn)為A、B，則AB為焦點(diǎn)弦。

定理4 拋物線的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是它的準(zhǔn)線；反過來，由拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引拋物線的兩條切線互相垂直。

二、解法評(píng)析

解法①②綜合利用向量，直線與圓錐曲線位置關(guān)系，通過聯(lián)立方程，韋達(dá)定理建立直線斜率k的方程，得到k=2，方法常規(guī)簡單，易于想到，屬于通性通法，但計(jì)算量偏大；解法①與解法②主要區(qū)別在直線方程的設(shè)法，主要考慮拋物線的開口方向，在很多問題中，計(jì)算量有明顯差距；解法③利用拋物線的定義，梯形ABHG的性質(zhì)，三角形全等的證明得到MF⊥AB,從而得到k=2，計(jì)算量非常小，但平面幾何的知識(shí)要求較高；解法④是平面幾何與解析幾何的綜合運(yùn)用，是解法②③的綜合；解法⑤利用拋物線以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切的結(jié)論直接得出yP=yM=1,從而解出k=2，大量的減少了論證過程；解法⑥運(yùn)用圓錐曲線中點(diǎn)弦問題中的點(diǎn)差法，通過兩個(gè)方程相減，得到直線斜率與弦中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，即再由解法⑤可得從而快速的出k=2；解法⑦運(yùn)用極點(diǎn)與極線的理論，一步可以得出答案，這是最快的一種方法。