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導(dǎo)數(shù)考點“廣而告之”

2018-02-09 08:45江蘇省如皋市第二中學(xué)
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年23期
關(guān)鍵詞:切線最值單調(diào)

☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 黃 榮

縱覽歷年高考命題,對導(dǎo)數(shù)的考查力度不斷增大,尤其是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用通常以壓軸題的形式出現(xiàn),??疾凰?,并且??汲P拢c導(dǎo)數(shù)有關(guān)的基本運算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義也頻頻亮相.常言道:考場就是戰(zhàn)場,知己知彼,方可百戰(zhàn)百勝!考題年年變,考點卻“巋然不動”.那么哪些考點需要引起大家的注意呢?

一、導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計算

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問題,首先要學(xué)會對函數(shù)求導(dǎo),要牢記基本函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則.靈活應(yīng)用基本函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則,這是復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的第一步.

例1(1)(fx)=x(2018+lnx),若f(′x0)=2019,則x0等于______.

(2)設(shè)函數(shù)(fx)的導(dǎo)數(shù)為f(′x),且(fx)=f′)sinx+cosx,則f′()=______.

點評:本題靈活考查了求導(dǎo)公式的基本應(yīng)用,第(1)題中已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值求自變量的值體現(xiàn)了方程思想;而第(2)題中的f′()是個常數(shù),需求出它的值,解題過程同樣體現(xiàn)了方程思想.在導(dǎo)數(shù)問題中,函數(shù)思想與方程思想往往“結(jié)伴而行”.

二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是函數(shù)所表示的曲線在該點處的切線的斜率.導(dǎo)數(shù)的幾何意義每年必考,命題時常常以小題形式出現(xiàn),要么直接寫出切線方程,要么求某參數(shù)的值.

例2已知曲線f(x)=xlnx在點(e,f(e))處的切線與曲線y=x2+a相切,則a=______.

解析:因為f′(x)=lnx+1,所以曲線f(x)=xlnx在x=e處的切線斜率為k=2,則曲線f(x)=xlnx在點(e,f(e))處的切線方程為y=2x-e.

由于切線與曲線y=x2+a相切,故y=x2+a可聯(lián)立y=2xe,得x2-2x+a+e=0,由Δ=4-4(a+e)=0,解得a=1-e.

點評:函數(shù)解析式已知,切點也已知,所以利用導(dǎo)數(shù)法求出這條切線并非難事.又因為它與二次函數(shù)曲線y=x2+a相切,故可用二次函數(shù)判別式法求解.當然,對于二次函數(shù)問題,再次利用導(dǎo)數(shù)來解也不難,讀者可試一試!

三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或最值

導(dǎo)數(shù)的終極用途是研究函數(shù)的性質(zhì),其中包含利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(?。┲担约扒蠛瘮?shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或最值,這種解決函數(shù)問題的方法能使復(fù)雜問題變得簡單化、程序化,凸顯導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,深受命題者青睞,從而成為高考數(shù)學(xué)炙手可熱的命題熱點.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)的極小值為-e3,求f(x)在區(qū)間[-5,+∞)上的最大值.

令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因為ex>0,故y=f′(x)的零點就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零點且f′(x)與g(x)符號相同.

又因為a>0,所以當-3<x<0時,g(x)>0,即f′(x)>0,當x<-3或x>0時,g(x)<0,即f′(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞).

因為(fx)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞),所以(f0)=5為函數(shù)(fx)的極大值,故(fx)在區(qū)間[-5,+∞)上的最大值?。╢-5)和(f0)中的最大者,而(f-5)==5e5>5=(f0),所以函數(shù)(fx)在區(qū)間[-5,+∞)上的最大值是5e5.

點評:(1)求極值、最值時,要求步驟規(guī)范,含參數(shù)時,要討論參數(shù)的大小.(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調(diào)性,并通過單調(diào)性和極值情況,畫出函數(shù)的大致圖像,然后借助圖像觀察得到函數(shù)的最值.

四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

我們知道,導(dǎo)數(shù)最簡單的應(yīng)用就是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,而已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)式中特定字母的值或范圍,這種導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的“雙向性”一直是近年高考的必考點.

(1)若函數(shù)h(x)=(fx)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;

(2)若函數(shù)h(x)=(fx)-g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

由于h(x)在(0,+∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,故當x∈(0,+∞)時,-ax-2<0有解,即有解.設(shè)G(x)=,所以只要a>G(x)min即可.而,所以G(x)min=-1.所以a>-1.又因為a≠0,所以a的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞).

(2)因h(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,故當x∈[1,4]時,恒成立.

點評:可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是單增(或單減)函數(shù)?對于任意x∈(a,b),都有f′(x)≥0(或f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.這是解這類問題的理論依據(jù),利用這個理論依據(jù),我們可把原問題轉(zhuǎn)化為不等式能成立問題,或者不等式恒成立問題,這種轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想正是高考命題的考查目標,體現(xiàn)了高考“能力立意”的思想,在平時的復(fù)習(xí)中應(yīng)引起高度重視.

五、利用導(dǎo)數(shù)處理含參數(shù)的恒成立問題

恒成立問題中的參數(shù)取值范圍,也是高考的命題熱點之一,其解決方式較多,但導(dǎo)數(shù)法是首選,利用參變量分離法,再嘗試從導(dǎo)數(shù)知識入手,往往能鋒回路轉(zhuǎn)天地寬,柳暗花明又一村,這就再一次說明導(dǎo)數(shù)在教材中的引入,拓寬了高考的命題空間,這類問題具有一定思維層次的題目,我們同樣不可掉以輕心.

例5已知函數(shù)f(x)=alnx-bx2,a,b∈R.若不等式f(x)≥x對所有的b∈(-∞,0],x∈(e,e2]都成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解析:由題意可得bx2≤alnx-x.

因為x∈(e,e2],所以

由b∈(-∞,0],故對任意的x∈(e,e2],都有≥0,即alnx≥x對一切x∈(e,e2]恒成立,即對一切x∈(e,e2]恒成立.

點評:破解不等式恒成立問題通常需要“一構(gòu)造一分類”:“一構(gòu)造”是指通過不等式的同解變形,構(gòu)造一個與背景函數(shù)相關(guān)的函數(shù);“一分類”是指對不等式恒成立問題,常需對參數(shù)進行分類討論.有時也可以利用分離參數(shù)法,即將不等式分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值,一般地,a>f(x)對x∈D恒成立,只需a>f(x)max;a<f(x)對x∈D恒成立,只需a<f(x)max.本文最后值得一提的是,高考對導(dǎo)數(shù)的考查主要側(cè)重于導(dǎo)數(shù)的工具性和利用導(dǎo)數(shù)解決問題的靈活性.因此,我們只有多訓(xùn)練、多總結(jié)、多反思,才可達到理想的復(fù)習(xí)效果.H

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